基于能量最優(yōu)的敏捷遙感衛(wèi)星在軌任務(wù)規(guī)劃

趙琳， 王碩， 郝勇， 劉源

哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 哈爾濱 150001

基于能量最優(yōu)的敏捷遙感衛(wèi)星在軌任務(wù)規(guī)劃

趙琳， 王碩， 郝勇*， 劉源

哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 哈爾濱 150001

針對敏捷遙感衛(wèi)星對多個(gè)離散觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題，在考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程耦合性的基礎(chǔ)上，將問題分解為空間資源調(diào)度問題和連續(xù)最優(yōu)控制問題，進(jìn)而提出了一種結(jié)合偽譜法和遺傳算法的混合求解算法。該算法針對基于行商問題(TSP)模型建立的空間資源調(diào)度問題模型，選用二維編碼結(jié)構(gòu)對觀測順序和相對觀測時(shí)間進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼，并采用遺傳算法求解觀測序列和觀測時(shí)間；針對判斷觀測時(shí)間可行性時(shí)涉及的時(shí)間最優(yōu)控制問題、以及姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中涉及的最小能量消耗問題，將其歸結(jié)為連續(xù)最優(yōu)控制問題，并基于Gauss偽譜協(xié)態(tài)變量映射定理，采用Gauss偽譜法進(jìn)行求解。通過與基于單純遺傳算法的規(guī)劃算法進(jìn)行對比試驗(yàn)，本文所提出的基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略針對目標(biāo)問題，在典型工況下姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中能量消耗降低60%。

行商問題(TSP)； 能量消耗； 時(shí)間最優(yōu)； 遺傳算法； Gauss偽譜法

相比于傳統(tǒng)的成像衛(wèi)星，敏捷遙感衛(wèi)星具有姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)的能力[1]?；诿艚葸b感衛(wèi)星的敏捷快速機(jī)動(dòng)能力，敏捷遙感衛(wèi)星具有更大的觀測范圍和更強(qiáng)的觀測能力。目前成像衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)多是在管控模式下完成的，管控模式是指地面控制系統(tǒng)根據(jù)任務(wù)需求對衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行規(guī)劃并向衛(wèi)星發(fā)射控制指令，但是由于信道占用、通信延遲、時(shí)間窗口等限制因素，衛(wèi)星無法在短時(shí)間內(nèi)對動(dòng)態(tài)的觀測任務(wù)需求做出響應(yīng)，因此，針對敏捷遙感衛(wèi)星敏捷機(jī)動(dòng)的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的管控模式不能充分發(fā)揮敏捷遙感衛(wèi)星的觀測效能。因此為了解決上述問題，基于觀測任務(wù)需求和衛(wèi)星自身資源能力的敏捷遙感衛(wèi)星在軌自主規(guī)劃是十分必要的[2-4]。

針對敏捷遙感衛(wèi)星對地觀測任務(wù)規(guī)劃問題，Gabrel等[5-6]提出了圖論問題模型,將任務(wù)規(guī)劃問題表示成一個(gè)加權(quán)有向無環(huán)圖G，并將G的路徑作為問題的解，但是對于區(qū)域觀測或立體觀測等復(fù)雜約束則無法在該模型中體現(xiàn)；Vasquez和Hao[7]提出背包問題模型，以簡單的形式表示任務(wù)規(guī)劃問題的約束，但是該模型不適用于多星任務(wù)規(guī)劃問題；Bensana等[8]提出線性整數(shù)規(guī)劃模型，該模型可以描述所有線性約束，但是不能有效處理非線性約束，且其求解效率隨著問題規(guī)模的增加而降低；Lemaitre 等[9]提出約束滿足問題模型，能有效地處理線性和非線性約束，增強(qiáng)問題描述的完整性，但是該模型的求解效率低；Verfaillie等[10]提出序貫決策模型，采用決策理論處理問題中的不確定因素，但是模型復(fù)雜度隨著問題約束的增加而增加；賀仁杰[11]提出了具有時(shí)間約束的并行機(jī)制調(diào)度問題模型，將問題中的衛(wèi)星和觀測任務(wù)分別映射為機(jī)器和工件，并將觀測任務(wù)的總收益作為調(diào)度目標(biāo)?；谏鲜瞿Ｐ停趯Φ赜^測任務(wù)規(guī)劃問題進(jìn)行求解中，Lemaitre等[9]采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法對衛(wèi)星對地觀測任務(wù)規(guī)劃問題進(jìn)行求解，但是當(dāng)問題規(guī)模較大時(shí)，其求解時(shí)間過長；Xhafa[12]和Wolfe[13]等采用遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)對問題進(jìn)行求解并與優(yōu)先級調(diào)度構(gòu)造算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明遺傳算法可以大幅度地提高問題求解速度；Cordeau[14]、陳英武[15]和Sarkheyli[16]等采用禁忌搜索算法對問題進(jìn)行求解，其中，文獻(xiàn)[15-16]在采用禁忌算法的同時(shí)也考慮了轉(zhuǎn)移時(shí)間約束；Wu等[17]采用模擬退火算法將任務(wù)目標(biāo)均假設(shè)為點(diǎn)目標(biāo)，進(jìn)而對問題進(jìn)行求解；賀仁杰等[4,11]采用禁忌與列生相結(jié)合算法，增強(qiáng)任務(wù)規(guī)劃問題的魯棒性。

目前，由于衛(wèi)星上燃料資源的限制，基于能量最優(yōu)的敏捷遙感衛(wèi)星在軌自主規(guī)劃成為研究熱點(diǎn)。能量最優(yōu)問題實(shí)質(zhì)是最優(yōu)控制問題，針對最優(yōu)控制問題，劉富鈺[18]和Kusuda[19]等根據(jù)遺傳算法等智能算法對問題進(jìn)行求解，但是智能算法求出的最優(yōu)解具有隨機(jī)性，和真正最優(yōu)解之間存在誤差；張秋華等[20]基于龐德里亞金極小值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)Hamilton邊值問題(Hamilton Boundary Value Problem, HBVP)，但是利用該算法推導(dǎo)一階最優(yōu)條件與橫截條件過程繁瑣，且對未知條件的初值難以準(zhǔn)確估計(jì)；文獻(xiàn)[21-26]采用偽譜法對最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[18,24-25]根據(jù)固定時(shí)間姿態(tài)機(jī)動(dòng)的任務(wù)需求，以姿態(tài)機(jī)動(dòng)消耗能量最小為優(yōu)化指標(biāo)，只考慮了固定起止時(shí)間、固定起止姿態(tài)一次姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量最優(yōu)控制，因此上述3類最優(yōu)控制問題的求解方法，對于基于能量最優(yōu)的敏捷遙感衛(wèi)星在軌自主規(guī)劃問題的求解存在局限性。

針對上述局限性，本文基于行商問題(Travelling Salesman Problem, TSP)模型建立了多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型，在考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程耦合性的基礎(chǔ)上，將問題分解為空間資源調(diào)度問題和連續(xù)最優(yōu)控制問題，并提出了基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略。針對任務(wù)層面的空間資源調(diào)度問題，采用遺傳算法求解；針對規(guī)劃層面的連續(xù)最優(yōu)控制問題采用Gauss偽譜法求解，進(jìn)而使得單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定觀測時(shí)間區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)對多個(gè)地面靜止離散觀測點(diǎn)的完全觀測，并且在整個(gè)完全觀測過程中衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)所消耗的能量最小。

1 敏捷遙感衛(wèi)星任務(wù)規(guī)劃問題描述

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

1) 基于修正的羅德里格斯參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters, MRP)的運(yùn)動(dòng)方程

衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程[27]為

(1)

(2)

采用MRP表示衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)姿態(tài)為σ，則衛(wèi)星的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[28]為

(3)

(4)

式中：I3為3×3的單位矩陣。

2) 基于MRP的誤差運(yùn)動(dòng)方程

σe和ωe分別表示衛(wèi)星的姿態(tài)誤差、角速度誤差，誤差動(dòng)力學(xué)方程和誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別為

(5)

(6)

(7)

1.2 能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃描述

基于能量最優(yōu)的單顆敏捷遙感衛(wèi)星對地面多離散觀測點(diǎn)進(jìn)行在軌自主任務(wù)規(guī)劃滿足以下幾點(diǎn)假設(shè)：

1) 衛(wèi)星運(yùn)行軌道固定。

2) 地面觀測點(diǎn)為離散靜止觀測點(diǎn)。

3) 完成觀測任務(wù)的時(shí)間區(qū)間和起始時(shí)間固定。

多觀測點(diǎn)任務(wù)規(guī)劃是軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對多個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)實(shí)現(xiàn)完全觀測的空間資源調(diào)度優(yōu)化問題，其實(shí)質(zhì)是TSP。

TSP的一般性描述為[29]：已知n個(gè)城市和n個(gè)城市間的距離，一位旅行商要找到一條能夠訪問所有n個(gè)城市，且除第一個(gè)被訪問的城市外其余每個(gè)城市只被訪問一次，最終回到第一個(gè)城市的路線，并使得該路線的長度最短，或表述為在有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全圖中找出最短的Hamilton回路。

基于能量最優(yōu)的單顆敏捷遙感衛(wèi)星對地面多觀測點(diǎn)進(jìn)行在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題描述為：已知n個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)，單顆敏捷遙感衛(wèi)星從規(guī)定的起始時(shí)間開始以星載相機(jī)視軸指向星下點(diǎn)的初始姿態(tài)在固定的時(shí)間區(qū)域內(nèi)完成對n個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的完全觀測，且每個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)僅被觀測一次，并最終回歸星載相機(jī)視軸指向星下點(diǎn)的姿態(tài)，使得該姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中敏捷遙感衛(wèi)星所消耗的能量最低。

1.3 能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃模型

根據(jù)1.2節(jié)中能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃描述，基于能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題與TSP的映射關(guān)系如下：

1) 觀測姿態(tài)對應(yīng)TSP中的城市

軌道信息、任務(wù)順序序列中第i個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)信息及其對應(yīng)的觀測時(shí)間點(diǎn)共同決定了衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第i個(gè)觀測點(diǎn)的姿態(tài)，因此衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第i個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的姿態(tài)可以表示成軌道、地面靜止觀測點(diǎn)、時(shí)間的函數(shù)，表達(dá)式為

aηi=φ(o,Oηi,Tηi)

(8)

式中：ηi為任務(wù)順序序列的第i個(gè)任務(wù)；o表示軌道信息；Oηi表示任務(wù)順序序列中第i個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)信息；Tηi表示衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第i個(gè)觀測點(diǎn)的時(shí)間點(diǎn)；aηi表示衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第i個(gè)觀測點(diǎn)的姿態(tài)。

由于軌道在完全觀測過程中始終固定，即軌道信息為定值，因此姿態(tài)函數(shù)可以表示為觀測點(diǎn)信息和時(shí)間的函數(shù)，式(8)可以簡化為

aηi=φ(Oηi,Tηi)

(9)

當(dāng)軌道信息、地面靜止觀測點(diǎn)及其對應(yīng)的觀測時(shí)間點(diǎn)確定時(shí)，衛(wèi)星對應(yīng)的觀測姿態(tài)確定，確定的觀測姿態(tài)a對應(yīng)TSP中的城市c。映射關(guān)系為

a→c

(10)

2) 姿態(tài)間機(jī)動(dòng)能耗對應(yīng)城市間距離

衛(wèi)星從一個(gè)觀測姿態(tài)到另一個(gè)觀測姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)所消耗的能量對應(yīng)城市間距離，映射關(guān)系為

E(aηi-1,aηi)→d(cγi-1,cγi)

(11)

(12)

式中：E(aηi-1,aηi)為衛(wèi)星從觀測任務(wù)順序序列中第i-1個(gè)觀測點(diǎn)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)到觀測任務(wù)順序序列中第i個(gè)觀測點(diǎn)的姿態(tài)所消耗的能量；C=[c1c2…cn](i=1,2,…,n)為TSP中的所有城市；γi為訪問城市序列的第i個(gè)城市；d(cγi-1,cγi)為城市cγi-1到城市cγi的距離。

將式(9)代入式(11)可得

E(φ(Oηi-1,Tηi-1),φ(Oηi,Tηi))→d(cγi-1,cγi)

(13)

基于上述映射關(guān)系，基于能量最優(yōu)的單顆敏捷遙感衛(wèi)星對地面多個(gè)離散觀測點(diǎn)進(jìn)行在軌自主任務(wù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型具體描述如下。

求得一個(gè)最優(yōu)任務(wù)順序序列和時(shí)間序列，分別表示為R=[η1η2…ηn]和T=[Tη1Tη2…

Tηn]，滿足如下目標(biāo)函數(shù)：

φ(Oηi,Tηi))+E(as,φ(Oη1,Tη1))+

E(φ(Oηn,Tηn),at)

(14)

s.t.

Ts

(15)

TtTe

(16)

式中：as為衛(wèi)星在起始時(shí)間星載相機(jī)視軸指向星下點(diǎn)的初始姿態(tài)；E(as,φ(Oη1,Tη1))為衛(wèi)星從規(guī)定的起始時(shí)間開始以星載相機(jī)視軸指向星下點(diǎn)的初始姿態(tài)機(jī)動(dòng)到衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第一個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)所消耗的能量；Tt為衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)對多地面觀測點(diǎn)完全觀測的結(jié)束時(shí)刻；at為衛(wèi)星在Tt時(shí)刻星載相機(jī)視軸指向星下點(diǎn)的終止姿態(tài)；E(φ(Oηn,Tηn),at)為衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中最后一個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)到星載相機(jī)視軸指向星下點(diǎn)的終止姿態(tài)所消耗的能量；Ts為固定時(shí)間區(qū)域的起始時(shí)間；Te為固定時(shí)間區(qū)域的終止時(shí)間。

TSP是NP(Non-deterministic Polynomial)問題，本文涉及的多觀測點(diǎn)在軌自主規(guī)劃問題同樣也屬于NP問題。TSP在求解過程中只涉及訪問順序，若設(shè)置需要訪問的城市數(shù)目為n，則所有訪問順序的組合數(shù)為(n-1)!/2，其對應(yīng)的找到最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度的數(shù)量級為O(n!)。而對于多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題，根據(jù)其目標(biāo)函數(shù)式(14)，可知其求解過程既包括觀測順序又包括觀測時(shí)間。若設(shè)置需要觀測的目標(biāo)數(shù)目為n，則所有訪問順序的組合數(shù)為(n-1)!/2，所有觀測時(shí)間的組合為(n-1)!/2，則其對應(yīng)的找到最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度的數(shù)量級為O((n!)2)，可以看出其求得最優(yōu)解的時(shí)間復(fù)雜度是傳統(tǒng)TSP的n!倍，其求解難度成平方型增長。

2 基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略

針對第1節(jié)提出的基于能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，其目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，因此，軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對多個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)實(shí)現(xiàn)完全觀測的空間資源調(diào)度優(yōu)化問題是一個(gè)具有時(shí)間依賴性的調(diào)度問題。問題的求解不但與地面靜止觀測點(diǎn)的觀測順序有關(guān)，也依賴于各個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的觀測時(shí)間，同時(shí)需要保證敏捷遙感衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中相鄰兩地面靜止觀測點(diǎn)對應(yīng)的觀測姿態(tài)間機(jī)動(dòng)所消耗的能量最小，增加了TSP求解復(fù)雜性。文獻(xiàn)[4,9,11-17]采用智能算法對任務(wù)規(guī)劃問題進(jìn)行求解時(shí)，對于轉(zhuǎn)換時(shí)間約束的處理過于工程化，其轉(zhuǎn)移時(shí)間的計(jì)算只是考慮了轉(zhuǎn)移姿態(tài)與轉(zhuǎn)移平均角速度的線性比，沒有考慮衛(wèi)星實(shí)際運(yùn)行過程中角加速度呈上升和下降趨勢分布的實(shí)際機(jī)理，不能保證轉(zhuǎn)換時(shí)間是最優(yōu)的，進(jìn)而導(dǎo)致任務(wù)規(guī)劃結(jié)果不一定是最優(yōu)的，因此，為增強(qiáng)任務(wù)規(guī)劃結(jié)果的合理性，在處理轉(zhuǎn)換時(shí)間約束時(shí)，考慮衛(wèi)星從一個(gè)觀測姿態(tài)機(jī)動(dòng)到另一個(gè)觀測姿態(tài)所需要的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間，進(jìn)而為觀測地面靜止觀測點(diǎn)的觀測時(shí)間點(diǎn)提供更大的選擇空間。

綜合問題模型的復(fù)雜性和轉(zhuǎn)換時(shí)間約束計(jì)算的合理性，傳統(tǒng)的單一智能求解方法已經(jīng)不能滿足該問題的復(fù)雜需求，因此，針對該問題的上述特點(diǎn)本文提出了基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略，其求解思路如圖1所示。

圖1 混合求解策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of hybrid solution strategy

2.1 遺傳算法設(shè)計(jì)

1) 編碼方式設(shè)計(jì)

編碼即為解的表現(xiàn)型空間到基因型空間的映射，解碼即為解的基因型空間到表現(xiàn)型空間的映射。

敏捷遙感衛(wèi)星對多個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的觀測順序和敏捷遙感衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)完全觀測過程中姿態(tài)機(jī)動(dòng)所消耗的能量，是基于能量最優(yōu)的軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對多個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)實(shí)現(xiàn)完全觀測的空間資源調(diào)度優(yōu)化問題的解。

根據(jù)式(13)敏捷遙感衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)所耗能量可以表示為地面靜止觀測點(diǎn)信息和觀測時(shí)間的函數(shù)，而地面靜止觀測點(diǎn)的選擇與敏捷遙感衛(wèi)星的觀測順序有關(guān)，進(jìn)而敏捷遙感衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)所耗能量這一表現(xiàn)型可以映射為敏捷遙感衛(wèi)星的觀測順序和觀測時(shí)間這兩個(gè)基因型。

對每一個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)，在不同的任務(wù)順序序列中所處的位置不同，若對其對應(yīng)的觀測時(shí)間直接編碼，每次經(jīng)過交叉算子后，將產(chǎn)生大量觀測順序和觀測時(shí)間相悖的不可行解，降低種群多樣性，甚至一次迭代后沒有可行解，為解決這一問題，本文采用相對觀測時(shí)間代替絕對觀測時(shí)間作為基因型進(jìn)行編碼。表現(xiàn)型到基因型的映射關(guān)系如圖2所示。

根據(jù)上述映射關(guān)系，本文基于觀測順序和相對觀測時(shí)間這兩個(gè)基因型對問題的解進(jìn)行編碼。若采用一維編碼結(jié)構(gòu)對含有兩個(gè)基因型的解進(jìn)行編碼必然會導(dǎo)致相當(dāng)數(shù)量的信息丟失，因此，本文基于實(shí)數(shù)編碼方式選用二維編碼結(jié)構(gòu)對上述兩個(gè)基因型進(jìn)行編碼，染色體結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖中：ΔTηi為任務(wù)順序序列中第i個(gè)觀測點(diǎn)相對第i-1個(gè)觀測點(diǎn)的相對觀測時(shí)間，當(dāng)i=1時(shí)，ΔTη1為第1個(gè)觀測點(diǎn)相對衛(wèi)星初始觀測時(shí)刻的相對觀測時(shí)間。

圖2 表現(xiàn)型和基因型的映射關(guān)系Fig.2 Mapping relationship of phenotype and genotype

圖3 染色體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of chromosome structure

2) 初始種群生成

設(shè)種群大小為N，種群中的每一條染色體代表問題的一個(gè)解，根據(jù)編碼方式，隨機(jī)生成一條染色體，并判斷染色體對應(yīng)的基因型作為問題的解的可行性，直到生成種群大小的滿足可行性的染色體。

染色體觀測順序可行性檢驗(yàn)準(zhǔn)則為：任務(wù)順序序列中的基因位由1-n范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)、無重復(fù)排列。

染色體相對觀測時(shí)間可行性檢驗(yàn)準(zhǔn)則為：根據(jù)式(15)，每一條染色體的相對觀測時(shí)間序列需要滿足

Ts

(17)

且敏捷遙感衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第i個(gè)觀測點(diǎn)相對第i-1個(gè)觀測點(diǎn)的相對觀測時(shí)間需要大于或等于衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中第i-1個(gè)觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)到衛(wèi)星觀測第i個(gè)觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)所需要的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間，具體可表示為

min ΔTtrans ηi-1,ηi≤ΔTηi

(18)

生成初始種群的步驟為

步驟1隨機(jī)生成任務(wù)順序序列。

步驟2判斷任務(wù)順序序列可行性，若不可行返回步驟1，若可行執(zhí)行步驟3。

步驟3隨機(jī)生成相對觀測時(shí)間序列。

步驟4判斷相對觀測時(shí)間可行性，若不可行返回步驟3，若可行執(zhí)行步驟5。

步驟5將可行的任務(wù)順序序列和相對觀測時(shí)間序列作為滿足可行性的染色體放入種群中，執(zhí)行步驟6。

步驟6計(jì)算當(dāng)前種群大小m，并判斷m與N的關(guān)系，若m=N則執(zhí)行步驟7，若m

步驟7初始種群生成結(jié)束。

3) 適應(yīng)度函數(shù)建立

適應(yīng)度函數(shù)是遺傳算法收斂性和穩(wěn)定性的重要影響因素。由于敏捷遙感衛(wèi)星的燃料有限，因此姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中能量消耗是調(diào)度問題尋優(yōu)的重要影響因素。本文根據(jù)單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對多地面靜止觀測點(diǎn)實(shí)現(xiàn)完全觀測所消耗的能量，即式(14)建立適應(yīng)度函數(shù)為

F0=1/f(R,T)

(19)

式中：F0為單個(gè)染色體的適應(yīng)度函數(shù)值，F(xiàn)0越大，則染色體的能耗函數(shù)f(R,T)值越小，衛(wèi)星在整個(gè)調(diào)度過程中能量消耗最小，該染色體的性能越好，其適應(yīng)度越大。

4) 遺傳算子設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)了3個(gè)遺傳算子，分別是選擇算子、交叉算子、變異算子。

選擇算子采用精英保留策略和輪盤賭算法。該方法保留每一代種群中染色體適應(yīng)度函數(shù)值最高的，即適應(yīng)度函數(shù)值最高的染色體一定會被選擇，保證優(yōu)秀個(gè)體的基因可以遺傳到下一代；并根據(jù)每個(gè)染色體的適應(yīng)度函數(shù)值，計(jì)算該染色體在整個(gè)種群中被選中的概率和累計(jì)概率，其表示為

(20)

(21)

式中：Pi為第i個(gè)染色體被選中的概率；Qi為第1個(gè)染色體到第i個(gè)染色體的累計(jì)概率。產(chǎn)生一個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)r∈(0,1)，滿足Qi-1

針對TSP具有排列性質(zhì)的編碼方式，交叉算子采用部分匹配交叉算法。該方法隨機(jī)選擇兩個(gè)位置點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的基因位作為匹配基因片段，采用位置交換操作交換這兩段匹配基因片段的內(nèi)容，交換匹配基因片段后，若匹配基因片段區(qū)域外出現(xiàn)訪問重復(fù)，則按照匹配基因片段區(qū)域內(nèi)對應(yīng)的位置映射關(guān)系逐一進(jìn)行交換，直至整條染色體無重復(fù)排列，如圖4所示。

圖4 部分匹配交叉算子Fig.4 Partially matched crossover operators

針對TSP具有排列性質(zhì)的編碼方式，變異算子采用對換變異算法。該方法簡單地隨機(jī)選擇兩個(gè)位置并交換其內(nèi)容，如圖5所示。

當(dāng)運(yùn)算經(jīng)過上述針對具有排列性質(zhì)的編碼方式設(shè)計(jì)的交叉算子和變異算子后，需要分別對交叉和變異后得到的新的染色體的相對觀測時(shí)間的可行性進(jìn)行檢驗(yàn)，其步驟為

步驟1根據(jù)新染色體的相對觀測時(shí)間序列和任務(wù)順序序列，計(jì)算任務(wù)順序序列中每一個(gè)觀測點(diǎn)的絕對觀測時(shí)間，并根據(jù)式(15)判斷觀測序列中最后一個(gè)觀測點(diǎn)ηn的絕對觀測時(shí)間Tηn是否滿足條件Tηn

圖5 點(diǎn)位變異算子Fig.5 Points mutation operator

步驟2根據(jù)任務(wù)順序序列和序列中每一個(gè)觀測點(diǎn)的絕對觀測時(shí)間，計(jì)算序列中每一個(gè)觀測點(diǎn)的觀測姿態(tài)，并采用Gauss偽譜法計(jì)算兩個(gè)相鄰姿態(tài)間的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間，并根據(jù)式(18)判斷其是否滿足要求，若滿足執(zhí)行步驟5，若不滿足執(zhí)行步驟4。

步驟3重新進(jìn)行交叉算子或變異算子運(yùn)算，執(zhí)行步驟1，若交叉算子或變異算子執(zhí)行10次后仍沒有可行解，則將父代個(gè)體作為新的染色體，執(zhí)行步驟5。

步驟4當(dāng)不滿足式(18)的相對觀測時(shí)間的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，則將該基因位的相對觀測時(shí)間置換為該基因位父代的相對觀測時(shí)間，并判斷其可行性，若可行執(zhí)行步驟5，若不可行執(zhí)行步驟3。當(dāng)不滿足式(18)的相對時(shí)間的個(gè)數(shù)大于或等于2個(gè)時(shí)，按照掃描交換法交換不滿足條件的相對觀測時(shí)間在相對觀測時(shí)間序列中的位置，如圖6所示。將不可行的相對觀測時(shí)間從新染色體相對觀測時(shí)間序列中剔除，并將剔除的不可行相對觀測時(shí)間加入其他不可行相對觀測時(shí)間基因位的候選集合中。按照不可行相對觀測時(shí)間基因位在相對觀測時(shí)間序列中位置的前后順序，對該基因位候選集中剩余的相對觀測時(shí)間候選方案進(jìn)行隨機(jī)選取，并判斷其可行性。若可行，剔除其后位置中不可行基因位的相對觀測時(shí)間候選集中與該基因位相同的相對觀測時(shí)間，然后在其后位置的不可行基因位候選集中進(jìn)行隨機(jī)掃描工作，直至新的相對觀測時(shí)間序列生成，執(zhí)行步驟5；若不可行，則在該基因位剩余的候選方案中重新進(jìn)行隨機(jī)掃描操作，直至挑選到滿足條件的方案，執(zhí)行步驟5。若觀測方案候選集都不符合，則執(zhí)行步驟3。

圖6 掃描交換相對觀測時(shí)間Fig.6 Exchanging relative observation time by scanning

步驟5輸出經(jīng)過交叉算子或變異算子后新的染色體序列，作為新種群的個(gè)體。

2.2 基于Gauss偽譜法的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間生成

針對轉(zhuǎn)換時(shí)間約束的處理，傳統(tǒng)的處理方法過于工程化，其計(jì)算結(jié)果較真值存在一定的誤差且不具有最優(yōu)性，本文考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程耦合性和轉(zhuǎn)移姿態(tài)角加速度的呈上升和下降趨勢分布的實(shí)際機(jī)理，采用Gauss偽譜法替代傳統(tǒng)的線性方法計(jì)算敏捷遙感衛(wèi)星最小轉(zhuǎn)移時(shí)間。敏捷遙感衛(wèi)星最小轉(zhuǎn)移時(shí)間問題，即為敏捷遙感衛(wèi)星從任務(wù)順序序列中的第i-1個(gè)觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)到衛(wèi)星觀測第i個(gè)觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)所需要的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間，是一個(gè)時(shí)間最優(yōu)控制問題，即衛(wèi)星從一個(gè)姿態(tài)躍遷到另一個(gè)姿態(tài)的過程中滿足時(shí)間最優(yōu)性要求，其轉(zhuǎn)移過程如圖7所示，圖中Sat代表衛(wèi)星。

敏捷遙感衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題可以描述為多約束條件下的連續(xù)最優(yōu)控制問題。連續(xù)最優(yōu)控制問題的一般性描述見文獻(xiàn)[30]，在此不再贅述。敏捷遙感衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題與連續(xù)最優(yōu)控制問題的映射如下：

圖7 衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)示意圖Fig.7 Schematic diagram of satellite attitude maneuver

1) 系統(tǒng)方程

相比于傳統(tǒng)的初始狀態(tài)、終止?fàn)顟B(tài)、初始時(shí)刻固定、終止時(shí)刻不固定的衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題[30],本文涉及的衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題的初始狀態(tài)、初始時(shí)刻固定，終止時(shí)刻、終止?fàn)顟B(tài)不固定，是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，其表達(dá)式為

xf=ψ(tf)

(22)

式中：xf為終止?fàn)顟B(tài)；tf為終止時(shí)刻。

傳統(tǒng)的選用絕對運(yùn)動(dòng)方程作為系統(tǒng)方程的方法針對終止?fàn)顟B(tài)不固定的時(shí)間最優(yōu)控制問題已經(jīng)不再適用。為解決上述問題本文選取基于MRP的誤差運(yùn)動(dòng)方程式(5)、式(6)作為系統(tǒng)方程，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為初始狀態(tài)為衛(wèi)星在初始時(shí)刻觀測第i-1個(gè)觀測點(diǎn)相對衛(wèi)星在初始時(shí)刻觀測第i個(gè)觀測點(diǎn)的相對姿態(tài)，終止?fàn)顟B(tài)為零、初始時(shí)刻固定、終止時(shí)刻不固定的衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題。則系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

(23)

2) 約束條件

x(t0)=x0

(24)

x(tf)=[0 0 0 0 0 0]T

(25)

(26)

(27)

式中：x0為衛(wèi)星在t0時(shí)刻觀測任務(wù)順序序列中的第i-1個(gè)觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)相對t0時(shí)刻衛(wèi)星觀測任務(wù)順序序列中的第i個(gè)觀測點(diǎn)對應(yīng)的姿態(tài)的初始誤差姿態(tài)，t0為定值；x(tf)為衛(wèi)星在tf時(shí)刻的終止誤差姿態(tài)，tf不是定值；umax為敏捷遙感衛(wèi)星所配置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能提供的最大力矩；ωmax為敏捷遙感衛(wèi)星機(jī)動(dòng)過程中最大角速度。式(24)、式(25)為邊界條件，式(26)、式(27)為路徑約束。

3) 性能指標(biāo)

性能指標(biāo)Jc的表達(dá)式為

(28)

針對具有強(qiáng)耦合性和強(qiáng)非線性系統(tǒng)方程的衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題，其解析解是無法求得的。目前求解含有約束條件的最優(yōu)控制問題的數(shù)值解的主要方法包括直接法和間接法。間接法求解最優(yōu)控制問題主要是基于龐德里亞金極小值原理和變分原理，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)Hamilton邊值問題，進(jìn)而求得最優(yōu)控制問題的數(shù)值解，但是利用該算法推導(dǎo)一階最優(yōu)必要條件與橫截條件的過程較為繁瑣，且對未知條件的初值和不具有實(shí)際物理意義的協(xié)態(tài)變量的初值難以準(zhǔn)確估計(jì)，因此，通過間接法求解最優(yōu)控制問題的數(shù)值解十分困難。直接法求解最優(yōu)控制問題的數(shù)值解時(shí)不需要求解問題的一階最優(yōu)必要條件,而是采用參數(shù)化方法將連續(xù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為離散的非線性規(guī)劃(NLP)問題，其收斂域較間接法寬，對初值不敏感。傳統(tǒng)的直接法在求解最優(yōu)控制問題時(shí)其求解精度低、收斂速度慢，而Gauss偽譜法可以彌補(bǔ)上述傳統(tǒng)直接法的不足，近年來在最優(yōu)控制問題求解中備受關(guān)注[21-26,31-35]。

Gauss偽譜法選擇LG(Legendre-Gauss)點(diǎn)作為配點(diǎn)，采用拉格朗日全局插值多項(xiàng)式作為基函數(shù)近似狀態(tài)變量和控制變量在LG點(diǎn)處的值，采用拉格朗日全局插值多項(xiàng)式對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)作為微分方程中狀態(tài)變量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的近似，采用Gauss積分作為性能指標(biāo)中積分項(xiàng)的近似。

通過Gauss偽譜法的轉(zhuǎn)換可以將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為離散的NLP問題，通過高斯離散化轉(zhuǎn)換的NLP問題滿足Benson等[30]提出的高斯偽譜協(xié)態(tài)變量映射定理：NLP問題的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件與采用Gauss偽譜法離散化方法離散的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題的一階最優(yōu)必要條件是完全等價(jià)的。其等價(jià)關(guān)系如圖8 所示。

圖8 KKT條件與一階最優(yōu)必要條件等價(jià)性示意圖Fig.8 Equivalence schematic of KKT conditions and the first order optimal necessary conditions

上述定理中KKT條件與一階最優(yōu)必要條件的等價(jià)性證明了基于Gauss偽譜法求得的最優(yōu)控制問題的解與基于間接法求得的最優(yōu)控制問題的解的一致性，因此，本文采用基于Gauss偽譜法的直接法求解敏捷遙感衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題。求解過程如下：

1) 時(shí)間域變換

采用LG點(diǎn)作為配點(diǎn)，則需要做時(shí)域變換處理，將優(yōu)化系統(tǒng)的時(shí)間區(qū)域t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)換為τ∈[-1,1]區(qū)間，則時(shí)間變量表示為

(29)

2) 基函數(shù)選取

選擇τ=-1和K個(gè)LG點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，其分別為{τ0,τ1,τ2,…,τK}，采用拉格朗日全局插值多項(xiàng)式作為基函數(shù)，其表達(dá)式為

(30)

式中：Li為在第i個(gè)點(diǎn)處的拉格朗日全局插值多項(xiàng)式。

3) 狀態(tài)變量和控制變量近似

基于上述插值近似的基函數(shù)，狀態(tài)變量和控制變量在整個(gè)時(shí)域的連續(xù)函數(shù)可由基函數(shù)表達(dá)，其表達(dá)式為

(31)

(32)

式中：x(τi)為狀態(tài)變量在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的真值，i=0,1,…,K；u(τj)為控制變量在第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的真值，j=1,2,…,K；X(τ)為離散的狀態(tài)變量；U(τ)為離散的控制變量。

4) 微分方程近似

通過對狀態(tài)變量函數(shù)求導(dǎo)逼近的方法，得到微分方程表達(dá)式為

(33)

式中：k=1,2,…,K；Dki為微分矩陣D∈RK×(K+1)中第k行、第i列元素，其定義為

(34)

其中：g(τ)為確定區(qū)間上第K個(gè)點(diǎn)處的插值基函數(shù)，與拉格朗日插值基函數(shù)式(30)的關(guān)系為

(35)

基于LG點(diǎn)，可將微分方程動(dòng)態(tài)約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束，其表達(dá)式為

(36)

式中：F為關(guān)于X(τk)、U(τk)和τk的函數(shù)。

在選取節(jié)點(diǎn)時(shí)不包括終端時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)，因此系統(tǒng)的終端狀態(tài)變量可以通過高斯積分來近似，其表達(dá)式為

(37)

式中：wk為高斯積分權(quán)重。

5) 性能指標(biāo)近似

采用Gauss積分作為性能指標(biāo)中積分項(xiàng)的近似，則性能指標(biāo)可以表示為

Jc=h(X(tf),tf)+

(38)

式中：h為關(guān)于X(tf)和tf的函數(shù)；H為關(guān)于X(τk)、U(τk)和τk的函數(shù)。

基于LG點(diǎn)，邊界條件G和路徑約束C可以離散為

G(X(t0),t0；X(tf),tf)=0

(39)

C(X(τk),U(τk),τk)≤0

(40)

根據(jù)上述變換可以將連續(xù)最優(yōu)控制問題離散化為NLP問題。

本文基于MATLAB，采用求解最優(yōu)控制問題的開源程序GPOPS-II[36]對敏捷遙感衛(wèi)星時(shí)間最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解。

2.3 基于Gauss偽譜法的能量最優(yōu)姿態(tài)轉(zhuǎn)移路徑

敏捷遙感衛(wèi)星能量最優(yōu)姿態(tài)轉(zhuǎn)移路徑生成問題即為敏捷遙感衛(wèi)星從一個(gè)觀測姿態(tài)機(jī)動(dòng)到另一個(gè)觀測姿態(tài)所需要的最小能量。

為保證姿態(tài)間轉(zhuǎn)移能量消耗最小，并考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程的耦合性，敏捷遙感衛(wèi)星能量最優(yōu)姿態(tài)轉(zhuǎn)移路徑生成問題同樣可以描述為多約束條件下的連續(xù)最優(yōu)控制問題。映射關(guān)系如下：

1) 系統(tǒng)方程

本文涉及的衛(wèi)星能量最優(yōu)姿態(tài)轉(zhuǎn)移軌跡生成問題的初始狀態(tài)、終止?fàn)顟B(tài)、初始時(shí)刻、終止時(shí)刻均固定，選用絕對運(yùn)動(dòng)方程式(1)、式(3)作為系統(tǒng)方程，取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

x=[σTωT]T

(41)

2)約束條件

x(t0)=x0

(42)

x(tf)=xf

(43)

(44)

(45)

式中：tf為定值。式(42)、式(43)為邊界條件，式(44)、式(45)為路徑約束。

3) 性能指標(biāo)

(46)

敏捷遙感衛(wèi)星能量最優(yōu)姿態(tài)轉(zhuǎn)移路徑生成問題求解過程按照2.2節(jié)所述，在此不再贅述。

2.4 基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略計(jì)算

綜合2.1～2.3節(jié)內(nèi)容，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略計(jì)算流程如圖9所示。

圖9 基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略流程圖Fig.9 Flow chart of hybrid solution strategy based on pseudospectral and GA

基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略，在遺傳運(yùn)算過程中，針對轉(zhuǎn)移時(shí)間約束問題，考慮本文涉及的最優(yōu)控制問題終止?fàn)顟B(tài)不固定的條件，選擇基于MRP的誤差運(yùn)動(dòng)方程，結(jié)合誤差運(yùn)動(dòng)方程的耦合性和Gauss偽譜法解的最優(yōu)性，采用Gauss偽譜法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性方法計(jì)算兩個(gè)相鄰姿態(tài)間的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間，進(jìn)而處理轉(zhuǎn)移時(shí)間約束，能夠使兩相鄰姿態(tài)間轉(zhuǎn)移角加速度符合上升和下降趨勢的實(shí)際機(jī)理，并為衛(wèi)星觀測地面靜止觀測點(diǎn)的觀測時(shí)間提供更大的求解區(qū)間。

在對多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題的適應(yīng)度函數(shù)求解中，選擇基于MRP的運(yùn)動(dòng)方程，同樣考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)方程耦合性和Gauss偽譜法解的最優(yōu)性，采用Gauss偽譜法對兩個(gè)相鄰姿態(tài)間的最小能量消耗進(jìn)行求解。

對于多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題，在求解過程中，每一條染色體的表現(xiàn)型不相同，即任務(wù)順序序列和絕對觀測時(shí)間序列都不相同，且每次迭代后新生成的可行染色體的表現(xiàn)型與其父代個(gè)體不同。根據(jù)式(9)，任務(wù)順序序列和絕對觀測時(shí)間序列的不同決定了觀測姿態(tài)序列不同，且觀測姿態(tài)序列在每次迭代過程中都是高動(dòng)態(tài)變化的，若采用傳統(tǒng)的單一遺傳算法進(jìn)行求解，對于嵌套了姿態(tài)間時(shí)間最優(yōu)控制問題和最小能量消耗問題的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題，其編碼方式較為復(fù)雜，且求得的結(jié)果精度不一定滿足最優(yōu)性要求；而采用結(jié)合Gauss偽譜法和遺傳算法的混合求解算法，可以通過高斯偽譜協(xié)態(tài)變量映射定理證明，在觀測姿態(tài)序列高動(dòng)態(tài)變化條件下，該算法可以對姿態(tài)間時(shí)間最優(yōu)控制問題和姿態(tài)間能量最優(yōu)問題求得最優(yōu)解，進(jìn)而降低了對遺傳算法編碼方式的要求，提高了計(jì)算精度。

3 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 仿真條件與優(yōu)化結(jié)果

1) 仿真參數(shù)設(shè)置

本文以MATLAB 2014b為實(shí)驗(yàn)平臺，采用CPU為3.40 GHz/i3-3240，內(nèi)存為4.0 G，操作系統(tǒng)為Windows 7的計(jì)算機(jī)做優(yōu)化計(jì)算?；谀芰孔顑?yōu)的敏捷遙感衛(wèi)星對多個(gè)離散觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題的參數(shù)設(shè)置為：地球半徑為6 378.136 55 km，地球曲率半徑為 1.0/298.257 22，地球引力常數(shù)為398 600.44 km3/s2。

敏捷遙感衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[200 0 0;0 200 0;0 0 200] kg·m2,其配置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能提供的最大控制力矩為125 N·m，衛(wèi)星機(jī)動(dòng)過程中所能達(dá)到的最大角速度為0.2 rad/s。衛(wèi)星從一個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)到另一個(gè)姿態(tài)時(shí)的初始和終止角速度和角加速度分別為[0 0 0]Trad/s、[0 0 0]Trad/s2。

采用本文提出的基于偽譜法和遺傳算法混合求解策略，求解第1節(jié)所描述的能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題時(shí)，遺傳參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模為50，迭代次數(shù)為100；交叉概率為 0.7，變異概率為0.01。

Raja等[37]以能量最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法對運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行優(yōu)化。本文基于文獻(xiàn)[37]所提單純遺傳算法方法對第1節(jié)所描述的能量最優(yōu)的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題進(jìn)行求解，并與本文提出算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比。其仿真參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模為50，迭代次數(shù)為5 000；對觀測順序和觀測時(shí)間進(jìn)行交叉和變異操作時(shí)，其交叉概率和變異概率分別為0.7和0.01；對姿態(tài)路徑規(guī)劃時(shí)，其交叉概率和變異概率分別為0.8和0.05。

2) 仿真結(jié)果

對3個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的簡單成像任務(wù)進(jìn)行規(guī)劃，初始軌道對應(yīng)的時(shí)刻為2016年4月14日0時(shí)0分0秒，初始軌道參數(shù)、衛(wèi)星觀測時(shí)間區(qū)間、觀測目標(biāo)參數(shù)如表1～表3所示。表1中：a表示軌道半長軸；e表示軌道偏心率；i表示軌道傾角；Ω表示升交點(diǎn)赤徑；W表示近地點(diǎn)幅角；M表示平近點(diǎn)角。

基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的仿真結(jié)果如表4、圖10所示。實(shí)現(xiàn)軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對3個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的完全觀測所消耗能量為14.599 6 N2·m2·s。

表1 簡單任務(wù)初始軌道參數(shù)Table 1 Initial parameters of orbit for simple misson

表2 簡單任務(wù)觀測時(shí)間窗Table 2 Time window of observation for simple misson

表3簡單任務(wù)觀測目標(biāo)信息

Table3Informationofobservationtargetforsimplemisson

ObservationtargetLongitude/(°)Latitude/(°)Nanjing119．732Yinchuan106．2738．33Harbin125．744．5

表4基于混合求解策略的簡單任務(wù)觀測順序和時(shí)間

Table4Sequenceandtimeofobservationbasedonhybridsolutionstrategyforsimplemission

ObservationtargetDateHourMinuteSecondNanjing2016?04?144101．8Yinchuan2016?04?1441156．2Harbin2016?04?1441310．1

圖10 基于混合求解策略的簡單任務(wù)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑 Fig.10 Path of attitude maneuver based on hybrid solution strategy for simple misson

基于文獻(xiàn)[37]中所提單純遺傳算法求解得到的仿真結(jié)果如表5、圖11所示。實(shí)現(xiàn)軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對3個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的完全觀測所消耗能量為34.336 8 N2·m2·s。且兩種算法迭代過程如圖12所示。

在其他仿真參數(shù)保持不變的前提下，考慮對7個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的復(fù)雜成像任務(wù)進(jìn)行規(guī)劃，其中，初始軌道的時(shí)刻為2016年4月14日0時(shí)0分0秒，初始軌道參數(shù)、觀測時(shí)間窗、觀測目標(biāo)信息如表6～表8所示。

表5基于遺傳算法的簡單任務(wù)觀測順序和時(shí)間

Table5SequenceandtimeofobservationbasedonGAforsimplemisson

ObservationtargetDateHourMinuteSecondYinchuan2016?04?144949．7Nanjing2016?04?1441142．5Harbin2016?04?1441226．3

圖11 基于遺傳算法的簡單任務(wù)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑 Fig.11 Path of attitude maneuver based on GA for simple misson

圖12 簡單任務(wù)的兩種算法迭代過程Fig.12 Iterative processes of two algorithms for simple mission

表6 復(fù)雜任務(wù)初始軌道參數(shù)Table 6 Initial parameters of orbit for complex mission

基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的仿真結(jié)果如表9、圖13所示。實(shí)現(xiàn)軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對7個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的完全觀測所消耗能量為21.576 0 N2·m2·s。

基于文獻(xiàn)[37]中所提單純遺傳算法求解得到的仿真結(jié)果如表10、圖14所示。實(shí)現(xiàn)軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對7個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的完全觀測所消耗能量為52.842 2 N2·m2·s。兩種算法迭代過程如圖15所示。

表7 復(fù)雜任務(wù)觀測時(shí)間窗Table 7 Time window of observation for complex mission

表8復(fù)雜任務(wù)觀測目標(biāo)信息

Table8Informationofobservationtargetforcomplexmission

ObservationtargetLongitude/(°)Latitude/(°)Harbin125．744．5Shenyang123．3841．8Tianjin117．1239．02Yinchuan106．2738．33Taiyuan112．5337．87Nanjing119．732Wuhan114．3230．52

表9基于混合求解策略的復(fù)雜任務(wù)觀測順序和時(shí)間

Table9Sequenceandtimeofobservationbasedonhybridsolutionstrategyforcomplexmission

ObservationtargetDateHourMinuteSecondWuhan2016?04?144827．93Nanjing2016?04?14494．59Tianjin2016?04?144944．99Shenyang2016?04?1441016．18Taiyuan2016?04?1441141．18Yinchuan2016?04?1441334．12Harbin2016?04?1441455．96

圖13 基于混合求解策略的復(fù)雜任務(wù)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑 Fig.13 Path of attitude maneuver based on hybrid solution strategy for complex mission

表10基于遺傳算法的復(fù)雜任務(wù)觀測順序和時(shí)間

Table10SequenceandtimeofobservationbasedonGAforcomplexmission

ObservationtargetDateHourMinuteSecondHarbin2016?04?144841．32Shenyang2016?04?1441032．24Yinchuan2016?04?1441221．33Wuhan2016?04?1441325．39Nanjing2016?04?1441348．41Taiyuan2016?04?1441528．32Tianjin2016?04?1441615．23

圖14 基于遺傳算法的復(fù)雜任務(wù)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑Fig.14 Path of attitude maneuver based on GA for complex mission

3) 能量消耗

針對3個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)(3個(gè)城市)的簡單成像任務(wù)規(guī)劃問題和7個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)(7個(gè)城市)的復(fù)雜成像任務(wù)規(guī)劃問題，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解算法與單純遺傳算法分別進(jìn)行了50次測試，計(jì)算兩個(gè)算法50次仿真輸出結(jié)果中的能量值，并做平均值處理，計(jì)算結(jié)果如圖16 所示。

圖15 復(fù)雜任務(wù)的兩種算法迭代過程 Fig.15 Iterative processes of two algorithms for complex mission

圖16 兩種算法能量消耗Fig.16 Energy consumption of two algorithms

4) 仿真時(shí)間

針對3個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的簡單成像任務(wù)規(guī)劃問題和7個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的復(fù)雜成像任務(wù)規(guī)劃問題，采用兩種算法分別進(jìn)行了50次測試，并得到50次測試的仿真時(shí)間見表11和表12所示。

表11 簡單任務(wù)仿真時(shí)間Table 11 Time of simulation for simple mission

表12 復(fù)雜任務(wù)仿真時(shí)間Table 12 Time of simulation for complex mission

針對3個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的成像任務(wù)規(guī)劃問題，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略求解的平均仿真時(shí)間為222.41 s，基于單純遺傳算法求解的平均仿真時(shí)間為305.71 s。

針對7個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的成像任務(wù)規(guī)劃問題，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略求解的平均仿真時(shí)間為483.06 s，基于單純遺傳算法求解的平均仿真時(shí)間為680.56 s。

3.2 結(jié)果分析

根據(jù)圖10、圖11和圖13、圖14，分別對比兩組算例中兩種優(yōu)化算法得到的姿態(tài)路徑轉(zhuǎn)移軌跡，其中，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略規(guī)劃得到的姿態(tài)路徑轉(zhuǎn)移軌跡明顯較為平滑，避免了單純遺傳算法中編碼點(diǎn)數(shù)隨機(jī)性造成的求解結(jié)果中姿態(tài)路徑轉(zhuǎn)移軌跡抖動(dòng)的現(xiàn)象，進(jìn)而降低實(shí)現(xiàn)完全觀測姿態(tài)轉(zhuǎn)移所消耗的能量。且根據(jù)圖12、圖15和仿真結(jié)果，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略實(shí)現(xiàn)軌道固定的單顆敏捷遙感衛(wèi)星在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)對多個(gè)地面靜止觀測點(diǎn)的完全觀測所消耗能量小于基于遺傳算法的求解策略實(shí)現(xiàn)完全觀測所消耗的能量，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述結(jié)論。

進(jìn)一步對比兩組算例中兩種優(yōu)化算法得到的姿態(tài)路徑轉(zhuǎn)移軌跡，在偏航軸上兩組仿真曲線差別較大，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略考慮了衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程的耦合性，當(dāng)偏航軸的起始和終止姿態(tài)相同、起始和終止角速度相同時(shí)，偏航軸姿態(tài)路徑會發(fā)生姿態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，而在采用單純遺傳算法對姿態(tài)轉(zhuǎn)移路徑進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，沒有考慮衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程的耦合性，當(dāng)偏航軸的起始和終止姿態(tài)相同、起始和終止角速度相同時(shí)，偏航軸姿態(tài)路徑不會有姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程。

根據(jù)圖12和圖15，從兩個(gè)算例中兩種算法迭代過程可以看出，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略的求解過程迭代次數(shù)小，優(yōu)化時(shí)間較短；基于單純遺傳算法的求解策略的求解過程迭代次數(shù)高，需要幾千次甚至上萬次迭代，其優(yōu)化時(shí)間長，求解效率低。根據(jù)表11和表12，通過分別對兩個(gè)算例采用兩種算法進(jìn)行50次測試，得到50次測試仿真時(shí)間的平均值可以看出，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略平均仿真時(shí)間小于單純遺傳算法的平均仿真時(shí)間。通過仿真曲線和仿真結(jié)果可以看到，基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略優(yōu)于基于遺傳算法的求解策略，且其求解效率明顯高于基于遺傳算法的求解策略。

根據(jù)圖16(a)，對于3個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的簡單成像任務(wù)進(jìn)行規(guī)劃問題，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的平均能量約為13.349 7 N2·m2·s，采用單純遺傳算法得到的平均能量約為32.976 9 N2·m2·s，采用混合求解策略在姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中能量消耗降低約為60%；根據(jù)圖16(b)，對于7個(gè)離散靜止觀測點(diǎn)的復(fù)雜成像任務(wù)規(guī)劃問題，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略得到的平均能量約為21.123 3 N2·m2·s，采用單純遺傳算法得到的平均能量約為53.576 0 N2·m2·s，采用混合求解策略在姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中能量消耗降低約為60%。因此，綜合上述兩個(gè)算例的仿真結(jié)果，采用基于偽譜法和遺傳算法的混合求解策略在姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中能量消耗相對于采用單純遺傳算法的能量消耗降低約為60%。

根據(jù)上述仿真結(jié)果分析，采用結(jié)合Gauss偽譜法和遺傳算法的混合求解算法的優(yōu)勢如下：

1) 避免了單純遺傳算法中編碼點(diǎn)數(shù)隨機(jī)性造成的求解結(jié)果中姿態(tài)路徑轉(zhuǎn)移軌跡抖動(dòng)的現(xiàn)象，進(jìn)而降低實(shí)現(xiàn)完全觀測姿態(tài)轉(zhuǎn)移所消耗的能量；

2) 該混合求解策略考慮了衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程的耦合性，當(dāng)偏航軸的起始和終止姿態(tài)相同、起始和終止角速度相同時(shí)，偏航軸姿態(tài)路徑會發(fā)生姿態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，更加符合衛(wèi)星實(shí)際的運(yùn)動(dòng)特性；

3) 該混合求解策略在每次迭代過程中觀測姿態(tài)序列高動(dòng)態(tài)變化條件下，可以對姿態(tài)間時(shí)間最優(yōu)控制問題和姿態(tài)間能量最優(yōu)問題求得最優(yōu)解，避免單純遺傳算法求解嵌套了姿態(tài)間時(shí)間最優(yōu)控制問題和姿態(tài)間最小能量消耗問題的多觀測點(diǎn)在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題時(shí)其編碼方式較為復(fù)雜的情況，降低了對遺傳算法編碼方式的要求，提高計(jì)算精度以及求解效率。

4 結(jié) 論

1) 本文解決了敏捷遙感衛(wèi)星對多個(gè)離散觀測點(diǎn)觀測的在軌自主任務(wù)規(guī)劃問題。即在固定時(shí)間區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)對地面多個(gè)離散觀測點(diǎn)的完全觀測。

2) 在考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程耦合性的基礎(chǔ)上，以能量最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)，將問題分解為任務(wù)層面的空間資源調(diào)度問題和規(guī)劃層面的連續(xù)最優(yōu)控制問題，提出了一種結(jié)合偽譜法和遺傳算法的混合求解算法。對任務(wù)層選用二維編碼結(jié)構(gòu)對觀測順序和相對觀測時(shí)間進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼，并采用遺傳算法求解觀測序列和觀測時(shí)間；對時(shí)間最優(yōu)控制問題、規(guī)劃層的最小能量消耗問題這兩個(gè)連續(xù)最優(yōu)控制問題，基于Benson提的Gauss偽譜協(xié)態(tài)變量映射定理，采用Gauss偽譜法進(jìn)行求解。

3) 與單純遺傳算法的仿真對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的高效性。該方法規(guī)劃出的姿態(tài)路徑轉(zhuǎn)移曲線更加平滑，有效降低了單純遺傳算法編碼點(diǎn)數(shù)隨機(jī)性造成的曲線抖動(dòng)性，進(jìn)而降低了實(shí)現(xiàn)完全觀測姿態(tài)轉(zhuǎn)移所消耗的能量，在典型工況下，經(jīng)過多次仿真實(shí)驗(yàn)，姿態(tài)轉(zhuǎn)移過程中能量消耗降低約為60%。

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(責(zé)任編輯： 張玉， 王嬌)

Energy-optimal in orbit mission planning for agile remotesensing satellites

ZHAOLin,WANGShuo,HAOYong*,LIUYuan

CollegeofAutomation,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China

A new hybrid algorithm combining pseudospectral method and genetic algorithm is presented in this work to solve the in orbit autonomous mission planning problem for the agile remote sensing satellite at multiple discrete observation points. The problem is broken into space resource scheduling problem and continuous optimal control problem based on the coupling of attitude motion equations. This algorithm, according to the space resource scheduling model built based on the travelling salesman problem (TSP) model, encodes the observation sequence and the relative observation time by a two-dimensional real coding structure, and calculates the observation sequence and the observation time by the genetic algorithm. The time optimal control problem in judging the observation time feasibility and the minimal energy consumption in attitude maneuvering are considered as the continuous optimal control problem, which is then solved by Gauss pseudospectral method based on Gauss pseudospectral costate mapping theorem. A comparative simulation test is carried out for the simple genetic algorithm and the proposed algorithm. The simulation results show that the energy consumption obtained by the proposed algorithm is reduced by 60% compared with that obtained by the simple genetic algorithm under typical simulation conditions.

travelling salesman problem (TSP); energy consumption; time optimal; genetic algorithm; Gauss pseudospectral method

2016-07-28；Revised2016-09-07；Accepted2016-11-14；Publishedonline2016-11-211439

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161121.1439.010.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61273081);PostdoctoralScientificResearchDevelopmentalFundofHeilongjiangProvinceofChina(LBH-Q14054);theFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversitiesofChina(HEUCFD1503)

2016-07-28；退修日期2016-09-07；錄用日期2016-11-14； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-11-211439

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161121.1439.010.html

國家自然科學(xué)基金 (61273081)； 黑龍江省博士后科研啟動(dòng)金 (LBH-Q14054)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金 (HEUCFD1503)

*

.E-mailhaoyong@hrbeu.edu.cn

趙琳， 王碩， 郝勇， 等． 基于能量最優(yōu)的敏捷遙感衛(wèi)星在軌任務(wù)規(guī)劃J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(6):320654.ZHAOL,WANGS,HAOY,etal.Energy-optimalinorbitmissionplanningforagileremotesensingsatellitesJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):320654.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0298

V249.122

A

1000-6893(2017)06-320654-19

*Correspondingauthor.E-mailhaoyong@hrbeu.edu.cn