金屬梯度多孔夾芯板振動(dòng)特性分析

肖登寶， 趙桂平

西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710049

金屬梯度多孔夾芯板振動(dòng)特性分析

肖登寶， 趙桂平*

西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710049

金屬梯度多孔材料芯層的胞孔壁厚度及半徑沿芯層厚度方向逐漸變化，使得芯層的材料參數(shù)如密度和彈性模量等逐漸變化；采用金屬梯度多孔材料代替?zhèn)鹘y(tǒng)均質(zhì)多孔芯層會(huì)影響夾芯板的振動(dòng)特性?；诟唠A夾芯板理論且考慮梯度多孔芯層密度和彈性模量的耦合影響，建立了復(fù)合材料面層-金屬梯度多孔夾芯板的振動(dòng)方程。分析了3種密度的梯度芯層：?jiǎn)蜗蚍植?、正梯度?duì)稱(chēng)分布和負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布對(duì)夾芯板固有頻率的影響；最后討論了3種梯度夾芯板在相同三角脈沖載荷作用下的振動(dòng)響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果表明梯度芯層密度對(duì)稱(chēng)分布的夾芯板固有頻率大于單向分布的夾芯板固有頻率。

金屬梯度多孔材料； 夾芯板； 高階板理論； 振動(dòng)特性； 脈沖載荷

復(fù)合材料夾芯結(jié)構(gòu)的面層通常由高密度、高剛度的各向異性薄板組成，芯層由輕質(zhì)均勻多孔材料或梯度多孔材料組成。面層承受切向載荷和彎矩，芯層承受橫向剪切和垂直載荷。由于力學(xué)性能優(yōu)越，復(fù)合材料夾芯結(jié)構(gòu)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于飛機(jī)和高超聲速飛行器。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)梯度材料進(jìn)行了許多研究。梯度材料可分為兩種類(lèi)型：功能梯度材料和梯度多孔材料。功能梯度材料通過(guò)改變各組分材料沿厚度方向的含量分布,使得材料在空間位置上呈現(xiàn)梯度變化,從而獲得沿厚度方向逐漸變化的力學(xué)性能。目前對(duì)功能梯度芯層夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性研究已有許多成果[1-4]。在這些研究中，功能梯度材料芯層密度和彈性模量沿厚度方向的分布通常采用指數(shù)或冪函數(shù)描述，且二者之間相互獨(dú)立。梯度多孔材料一般是孔壁厚度或孔徑沿厚度方向逐漸變化，使得芯層的材料參數(shù)如密度和彈性模量等也沿厚度方向逐漸變化。Gibson和Ashby[5]基于相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析并構(gòu)建正方體模型模擬閉孔泡沫材料的受力性能，認(rèn)為多孔材料的密度和彈性模量不是相互獨(dú)立的。因而繼續(xù)采用分析功能梯度材料的方法描述梯度多孔材料的密度和彈性模量分布是不可行的。Ashby[6]通過(guò)對(duì)理論模型的推導(dǎo)，給出了一個(gè)二次項(xiàng)函數(shù)來(lái)描述密度和彈性模量之間的耦合關(guān)系。但是在Ashby給出的公式中有需要根據(jù)研究者經(jīng)驗(yàn)取值的參量，這制約著該公式的進(jìn)一步應(yīng)用。謝蘭生等[7]采用十四面體結(jié)構(gòu)模型(Kelvin結(jié)構(gòu)模型[8-9])研究了泡沫金屬?gòu)椥猿?shù)與其基體材料性能之間的關(guān)系。王嵩和盧子興[10]采用Voronoi分析了泡沫材料相對(duì)密度對(duì)彈性性能的影響。Xiao等[11]通過(guò)對(duì)Gibson和Ashby[5]理論模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的深入分析，給出了一個(gè)描述金屬多孔材料彈性模量和密度之間耦合關(guān)系的多項(xiàng)式函數(shù)，并且進(jìn)一步將該公式發(fā)展用來(lái)描述金屬梯度多孔材料彈性模量分布與密度分布函數(shù)之間的耦合關(guān)系。

梯度多孔芯層材料對(duì)夾芯結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，目前較少有學(xué)者做過(guò)分析。Rahmani等[12]給出了一個(gè)適用于梯度多孔芯層夾芯結(jié)構(gòu)的高階理論，在該模型中梯度芯層的密度是常量，彈性模量隨厚度方向逐漸變化。Liu等[13]采用一階剪切變形理論和高階位移場(chǎng)理論來(lái)分別描述面板和梯度芯層的變形，建立了梯度芯層夾芯板的振動(dòng)模型。在該模型中，密度和彈性模量是相互獨(dú)立的。Xiao等[11]采用高階夾芯板理論，獲得了梯度多孔芯層夾芯板的振動(dòng)方程，該模型中密度和彈性模量相互耦合；同時(shí)分析了密度線(xiàn)性分布的梯度多孔芯層夾芯板固有頻率的特性。研究結(jié)果表明考慮芯層密度和彈性模量耦合的夾芯板固有頻率隨梯度范圍的增加而降低，這與考慮芯層密度和彈性模量相互獨(dú)立的夾芯板固有頻率特性相反。因此在分析梯度多孔芯層夾芯板振動(dòng)特性時(shí)必須考慮芯層密度和彈性模量的相互耦合。目前對(duì)于梯度多孔芯層密度非線(xiàn)性分布的夾芯板振動(dòng)特性研究還較少，需要進(jìn)一步深入研究。

本文給出了適用于梯度多孔夾芯板的振動(dòng)方程，重點(diǎn)分析了3種金屬梯度多孔芯層(單向分布、正梯度對(duì)稱(chēng)分布和負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布)對(duì)夾芯板固有頻率的影響。同時(shí)也討論了這3種金屬梯度多孔夾芯板受到相同沖擊載荷作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，并比較研究了它們的變化特點(diǎn)，為梯度多孔夾芯板的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 金屬梯度多孔夾芯板振動(dòng)方程的建立

應(yīng)用在飛機(jī)副翼上的夾芯結(jié)構(gòu)，其沿翼展方向的幾何尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向尺寸，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將其等效為平面應(yīng)變問(wèn)題處理，如圖1所示。圖1所示的3種梯度多孔芯層分別是單向分布、正梯度對(duì)稱(chēng)分布和負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布。其中正梯度對(duì)稱(chēng)分布型是指芯層密度分布關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)密度由芯層中心面向其上下面逐漸增加；負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布則反之。

圖1 金屬梯度多孔芯層夾芯板示意圖Fig.1 Schematic diagram of sandwich panel with gradient metallic cellular core

在模型中tt和tb分別表示上下面層厚度,tc表示芯層厚度，夾芯板的長(zhǎng)度為l。模型基本假設(shè)：① 復(fù)合材料面層很薄剛度很大，承受切向載荷和彎矩，遵循Kirchhoff假設(shè)；② 金屬泡沫芯層剛度較弱，承受橫向正應(yīng)力和剪切應(yīng)力，具有橫向壓縮和剪切特性；③ 不考慮金屬泡沫夾芯結(jié)構(gòu)的缺陷，認(rèn)為面層和芯層理想粘接。采用與厚度方向有關(guān)的2級(jí)冪級(jí)數(shù)描述芯層沿x的位移；采用與厚度方向有關(guān)的1級(jí)冪級(jí)數(shù)描述芯層沿z方向的位移。模型滿(mǎn)足芯層和面層交界處位移連續(xù)條件。

上面層的位移場(chǎng)表示為

(1)

下面層的位移場(chǎng)表示為

(2)

中間芯層的非線(xiàn)性高階位移場(chǎng)表示為[14]

(3)

(4)

將式(1)～式(4)代入哈密爾頓方程中：

(5)

式中：δT為動(dòng)能的變分形式；δU為應(yīng)變能的變分形式；δW為虛功的變分形式。相比z方向動(dòng)能，整個(gè)結(jié)構(gòu)x方向的動(dòng)能可以忽略，因此δT可寫(xiě)為

(6)

應(yīng)變能變分δU可表達(dá)為

(7)

(8)

(9)

式中：質(zhì)量矩陣各個(gè)元素詳細(xì)附錄參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

2 金屬梯度多孔芯層的密度和彈性模量的耦合關(guān)系

金屬梯度多孔芯層密度分布分為3種：?jiǎn)蜗蚍植?、正梯度?duì)稱(chēng)分布和負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布。分布函數(shù)分別為

(10a)

(10b)

(10c)

表1 梯度多孔芯層下面層的密度Table 1 Mass density of bottom face on gradient cellular core

圖2 金屬梯度多孔芯層密度沿厚度方向的分布 Fig.2 Mass density distribution of gradient metallic cellular core varies along thickness direction

金屬梯度多孔芯層取梯度泡沫鋁，其彈性模量和密度的耦合關(guān)系為[11]

(11)

將式(10)和式(11)代入振動(dòng)方程式(9)即可得到適用于分析金屬梯度多孔芯層夾芯板的振動(dòng)方程。面層的材料參數(shù)為

3 芯層密度梯度變化對(duì)夾芯板振動(dòng)特性的影響

3.1 振動(dòng)方程可靠性驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)比本文振動(dòng)方程和ABAQUS軟件計(jì)算的梯度泡沫夾芯板固有頻率和相應(yīng)振型，從而驗(yàn)證本文理論模型的可靠性。取梯度泡沫芯層的密度分布函數(shù)為式(10a),n=1，證明本文理論模型的可信性可靠性。夾芯板的固有頻率詳細(xì)附錄參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]，前2階振型如表2所示。通過(guò)振型對(duì)比可以看出本文理論模型計(jì)算的振型和ABAQUS計(jì)算的振型一致。

表2梯度夾芯板理論和ABAQUS計(jì)算的前2階振型對(duì)比

Table2ComparisonofthefirstsecondmodeshapescomputedusinggradientsandwichtheoryandABAQUS

OrderModeshapePredictedusingpresentmodelComputedu?singABAQUS12

3.2 芯層密度梯度變化對(duì)夾芯板固有頻率的影響

金屬梯度多孔芯層夾芯板第1、2階固有頻率隨芯層密度梯度指數(shù)的變化如圖3所示;金屬梯度多孔芯層夾芯板的第1、2階固有頻率如表3所示。

圖3 金屬梯度多孔夾芯板第1、2階固有頻率隨梯度指數(shù)的變化Fig.3 Fundamental and second frequencies of sandwich panels vary with gradient index n

表3 金屬梯度多孔芯層夾芯板第1、2階固有頻率Table 3 Fundamental and second frequencies of sandwich panels with gradient metallic cellular core

Note: @ represents relative error, i.e., (Maximum value of frequency-Minimum value of frequency)/Maximum value of frequenc×100%

從圖3(a)中可以看到單向分布梯度夾芯板的第1、2階固有頻率隨梯度指數(shù)的增加而降低；圖3(b)正梯度對(duì)稱(chēng)分布夾芯板第1、2階固有頻率隨梯度指數(shù)的變化近似線(xiàn)性變化；圖3(c)中負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布夾芯板的第1、2階固有頻率隨梯度指數(shù)的增加而降低。

從表3中可以看出：在本文給出的n值范圍內(nèi)，芯層密度梯度對(duì)稱(chēng)分布的夾芯板固有頻率明顯大于單向分布的夾芯板固有頻率。另外，對(duì)單向分布梯度夾芯板，不同的梯度指數(shù)分布情況下第1階固有頻率的最大值和最小值的相對(duì)差值為25.8%，由此可見(jiàn)改變單向分布的梯度指數(shù)對(duì)單向分布金屬梯度多孔芯層夾芯板固有頻率有較大的影響。但是，負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布夾芯板的第1階固有頻率最大值和最小值之間的相對(duì)差值僅為0.04%，說(shuō)明負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布梯度夾芯板固有頻率受梯度分布變化的影響非常小。

3.3 脈沖激勵(lì)下芯層密度梯度變化對(duì)夾芯板最大撓度的影響

對(duì)兩端固支夾芯板上面層施加均布的三角脈沖載荷, 其表達(dá)式為

(12)

從圖4(b)可以看出單向梯度芯層夾芯板的最大撓度隨梯度指數(shù)的增加而增加，同時(shí)撓度衰減速度隨梯度指數(shù)的增加而降低。

從圖5中可以看出當(dāng)梯度指數(shù)n<1時(shí)，負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值；當(dāng)梯度指數(shù)n>1時(shí)，正梯度對(duì)稱(chēng)分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值。因此，夾芯板芯層的梯度模式和梯度指數(shù)對(duì)其振動(dòng)的最大撓度有較大影響，在工程應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際需要選擇合適的梯度模式和梯度指數(shù)。

圖4 單向金屬梯度多孔夾芯板的振動(dòng)特性Fig.4 Vibration response of sandwich panels with unidirectional distribution cellular core

圖5 3種梯度多孔芯層夾芯板的最大撓度Fig.5 Maximum deflections of sandwich panels with three gradient metallic cellular cores

4 結(jié) 論

針對(duì)金屬梯度多孔夾芯板，采用高階夾芯板理論同時(shí)考慮金屬梯度多孔芯層彈性模量和密度的耦合作用得到金屬梯度多孔芯層夾芯板的振動(dòng)方程。在此基礎(chǔ)上分析了金屬梯度多孔芯層密度單向分布、正梯度對(duì)稱(chēng)分布、負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布對(duì)夾芯板固有頻率特性和振動(dòng)響應(yīng)的影響。結(jié)論如下：

1) 梯度指數(shù)變化對(duì)單向分布夾芯板固有頻率影響最大，負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布夾芯板固有頻率受梯度分布變化的影響最小。另外在本文給出的密度梯度n值范圍內(nèi)，梯度芯層密度對(duì)稱(chēng)分布的夾芯板固有頻率大于單向分布的夾芯板固有頻率。

2) 當(dāng)梯度指數(shù)n<1時(shí)，負(fù)梯度對(duì)稱(chēng)分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值；當(dāng)著梯度指數(shù)n>1時(shí)，正梯度對(duì)稱(chēng)分布芯層夾芯板的最大撓度值小于其他兩種梯度分布夾芯板的最大值。

本文結(jié)果為金屬梯度多孔夾芯結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)，可供工程應(yīng)用參考。

[1] SURESH S, MORTENSEN A. Fundamentals of functionally graded materials[M]. London: IOM Communications Limited, 1998: 1-40.

[2] DAI H T, CHENG W, LI M Z. Static/dynamic analysis of functionally graded and layered magneto-electro-elastic plate/pipe under Hamiltonian system[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2008, 21(1): 35-42.

[3] 賀爾銘，胡亞琪，張釗，等． FGM板三維層合模型及熱-噪聲載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)研究[J]． 航空學(xué)報(bào), 2013, 34(6): 1293-1300.

HE E M, HU Y Q, ZHANG Z, et al. 3-D laminated model and dynamic response analysis of FGM panels in thermal-acoustic environments[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sininca, 2013, 34(6): 1293-1300 (in Chinese).

[5] GIBSON L J, ASHBY M F. Cellular solids: Structure and properties[M]. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1997: 185-196.

[6] ASHBY M F. Metal foams: A design guide[M]. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000: 53-54.

[7] 謝蘭生， 童國(guó)權(quán)， 高霖. Kelvin結(jié)構(gòu)開(kāi)孔泡沫材的彈性性能研究[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 24(1): 75-78.

XIE L S, TONG G Q, GAO L.Elastic properties of the Kelvin type with open-cells[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2007, 24(1): 75-78 (in Chinese).

[8] THOMOSON W S. On the division of space with minimum partitional area[J]. Acta Mathematica, 1887, 11(1): 121-134.

[9] 盧子興, 黃紀(jì)翔, 陳鑫. 各向異性Kelvin開(kāi)孔泡沫模型的彈性性能[J]. 航空學(xué)報(bào), 2009, 30(6): 1017-1022.

LU Z X, HUANG J X, CHEN X. Elastic properties of anisotropic Kelvin model for open-cell foams[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(6): 1017-1022 (in Chinese).

[10] 王嵩, 盧子興. 閉孔Voronoi泡沫的彈性性能分析 [J]. 航空學(xué)報(bào), 2007, 28(3): 574-578.

WANG S, LU Z X. Investigation into elastic properties of closed-cell Voronoi foam[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2007, 28(3): 574-578 (in Chinese).

[11] XIAO D B, MU L, ZHAO G P. The influence of correlating material parameters of gradient foam core on free vibration of sandwich panel[J]. Composites Part B: Engineering, 2015, 77: 153-161.

[12] RAHMANI O, KHALILI S M R, MALEKZADEH K, et al. Free vibration analysis of sandwich structures with a flexible functionally graded syntactic core[J]. Composite Structure, 2009, 91(2): 229-235.

[13] LIU M, CHENG Y S, LIU J. High-order free vibration analysis of sandwich plates with both functionally graded face sheets and functionally graded flexible core[J]. Composite Part B: Engineering, 2015, 72: 97-107.

[14] HOHE J, LIBRESCU L, OH S Y. Dynamic buckling of flat and curved sandwich panels with transversely compressible core[J]. Composite Structure, 2006, 74(1): 10-24.

[15] QIN Z, BATRA R C. Local slamming impact of sandwich composite hulls[J]. International Journal of Solids and Structures, 2009, 46(10): 2011-2035.

(責(zé)任編輯： 徐曉)

Vibration response of sandwich panels with gradient metalliccellular core

XIAODengbao,ZHAOGuiping*

StateKeyLaboratoryforStrengthandVibrationofMechanicalStructures,SchoolofAerospace,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China

The gradient metallic cellular material has gradient pore structures from one surface of the material to the other one resulting in varying material properties，such as mass density and elastic modulus. The vibration response of sandwich panels may be influenced when the traditional homogeneous cellular core is replaced by gradient metallic cellular core. Based on the high-order plate theory and considering the coupling effect between the density and the elastic module of gradient metallic cellular materials, the vibration equation for the sandwich panel with composite face sheet and gradient metallic cellular core is developed. The influence of three gradient types of cores (unidirectional distribution, positive gradient symmetrical distribution and negative gradient symmetrical distribution) on the natural frequency of sandwich panels is discussed. The vibration responses of sandwich panels with three gradient metallic cellular cores under the same impulsive loading are discussed.

gradient metallic cellular material; sandwich panel; high-order plate theory; vibration response; impulse load

2016-06-30；Revised2016-09-05；Accepted2016-12-27；Publishedonline2017-02-171322

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1322.008.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(11372237)

2016-06-30；退修日期2016-09-05；錄用日期2016-12-27； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-02-171322

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1322.008.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (11372237)

*

.E-mailzhaogp@mail.xjtu.edu.cn

肖登寶， 趙桂平. 金屬梯度多孔夾芯板振動(dòng)特性分析J. 航空學(xué)報(bào),2017,38(6):220576.XIAODB,ZHAOGP.VibrationresponseofsandwichpanelswithgradientmetalliccellularcoreJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(6):220576.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.220576

V214.8; O327

A

1000-6893(2017)06-220576-08

*Correspondingauthor.E-mailzhaogp@mail.xjtu.edu.cn