非線性代數(shù)方程式與線性代數(shù)方程組求解方法的啟示

李占松

【摘 要】自然界的所有現(xiàn)象嚴(yán)格來講都是非線性的。非線性代數(shù)方程式是描述自然現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)形式。牛頓—拉普森切線法是求解非線性代數(shù)方程式常用方法之一。線性代數(shù)方程組常用的求解方法有迭代法和列主元消去法。非線性代數(shù)方程式和線性代數(shù)方程組求解方法可分別給出如下啟示：事物的發(fā)展可能會(huì)有不同的結(jié)果，立足點(diǎn)不同發(fā)展結(jié)果可能不同，能且高效地得到理想的結(jié)果必須適時(shí)調(diào)整立足點(diǎn)；凡事都有先后順序，做事必須按部就班、循序漸進(jìn)，切忌一蹴而就的心態(tài)。

【關(guān)鍵詞】非線性代數(shù)方程式；線性代數(shù)方程組；求解方法；啟示

0 引言

自然界所有的現(xiàn)象嚴(yán)格來講都是非線性的。描述非線性現(xiàn)象最簡單的數(shù)學(xué)模型就是非線性代數(shù)方程式。非線性代數(shù)方程式存在多解性。迭代法是求解非線性方程式常用的方法之一。初值的選取對(duì)迭代結(jié)果有著決定性的影響。推而廣之，與時(shí)間相關(guān)的微分方程解對(duì)初始條件具有敏感依賴性的特征，這兩者之間有著密切的聯(lián)系。為了使問題得以簡化，非線性代數(shù)方程式通常都先簡化成線性代數(shù)方程式的形式。多個(gè)相聯(lián)系的線性代數(shù)方程式就構(gòu)成了線性代數(shù)方程組。迭代法和高斯列主元消去法是線性代數(shù)方程組常用的兩種求解方法[1]。迭代法求解線性代數(shù)方程組時(shí)，未知量是逐個(gè)進(jìn)行迭代的。高斯列主元消去法，是將方程排序之后，逐列消元然后逆序回代的。先期進(jìn)行的計(jì)算一般都會(huì)對(duì)后續(xù)計(jì)算產(chǎn)生影響。對(duì)這些數(shù)學(xué)問題求解過程進(jìn)行思考，能夠給我們的思維方式以有益的啟示。

1 非線性代數(shù)方程式求解過程及其特征

1.1 求解過程

迭代法通常包括簡單迭代法和牛頓—拉普森切線法等。現(xiàn)選取后者，并以求非線性代數(shù)方程式x4-1=0的解為例進(jìn)行分析。

該非線性方程式理論有四個(gè)解分別為：1，-1，i，-i。

用復(fù)數(shù)x=a+bi的形式表示這四個(gè)解，其實(shí)部和虛部分別為：

a=1，b=0a=-1，b=0a=0，b=1a=0，b=-1（1）

令f（x）=x4-1，則f'（x）=4x3。牛頓—拉普森切線法迭代公式通式為：

x1=x0-（2）

其中，x0表示迭代的初值，x1表示迭代的結(jié)果。其原理可用圖1示意。

圖1 牛頓拉普森切線法示意圖

圖2 迭代精度為0.001時(shí)的圖形

那么，該例迭代公式的具體形式為：

x1=x0-（3）

化簡得

x1=3x+（4）

而x0=a0+b0i（5）

x20=a20-b20+2a0b0i（6）

x30=（a30-a0b20-2a0b20）+[（a20-b20）b0+2a20b0]i

=（a30-3a0b20）+（3a20b0-b30）i（7）

則

=i（8）

那么

（9）

所以

（10）

（10）式中的第一式即為復(fù)數(shù)實(shí)部的迭代公式，第二式即為復(fù)數(shù)虛部的迭代公式。

1.2 計(jì)算結(jié)果的圖形顯示及其特征

每個(gè)解用一種顏色表示。四個(gè)解分別用紅黃藍(lán)綠表示。將解對(duì)應(yīng)的顏色涂在相應(yīng)的迭代初值位置上。若迭代過程中超出設(shè)置的實(shí)部和虛部絕對(duì)值之和最大限值，則在初值位置上顯示為背景色。不同迭代精度則會(huì)呈現(xiàn)出不一樣的美妙圖形。圖2為迭代精度為0.001時(shí)的圖形。

從圖形可以看出，收斂于四個(gè)解的區(qū)域犬牙交錯(cuò)。在相鄰兩個(gè)解對(duì)應(yīng)收斂初值區(qū)域邊緣，收斂解對(duì)初值具有高度的敏感依賴性。

2 線性代數(shù)方程組求解方法及其特征

2.1 迭代法

以三元一次方程組為例闡述迭代法求解線性代數(shù)方程組的過程：

a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3（11）

先構(gòu)造迭代方程組的形式：

x1=（b1-a12x2-a13x3）/a11x2=（b2-a21x1-a23x3）/a22x3=（b3-a31x1-a32x2）/a33（12）

選取初值：x、x和x，即可進(jìn)行第一步迭代計(jì)算。

若選取雅可比迭代法，其迭代公式形式為：

x=（b1-a12x-a13x）/a11x=（b2-a21x-a23x）/a22x=（b3-a31x-a32x）/a33（13）

若選取賽德爾迭代法，其迭代公式形式為：

x=（b1-a12x-a13x）/a11x=（b2-a21x-a23x）/a22x=（b3-a31x-a32x）/a33（14）

當(dāng)然，根據(jù)方程組的不同性質(zhì)，為了使迭代穩(wěn)定或加快收斂速度，可以分別采用欠松弛迭代法或超松弛迭代法。此處不再一一贅述。

可以視具體情況選擇絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差中的一種形式，設(shè)置一定的精度，當(dāng)進(jìn)行一次迭代之后，比較所有未知量迭代初值和迭代結(jié)果之間的誤差，判別是否滿足要求。如果滿足精度要求，迭代結(jié)束；否則，本次迭代結(jié)果作為下次迭代初值，繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿足精度要求為止。

2.2 高斯列主元消去法

以n元一次方程組為例，闡述其求解過程。

a11x1+a12x2+…+a1nxn=a1，n+1a21x1+a22x2+…+a2nxn=a2，n+1 ……an1x1+an2x2+…+annxn=an，n+1（15）

求解過程的計(jì)算步驟為：

（1）選主元（第k步）（k=1，2，…，n-1）

假設(shè)主元在第l行，也就是從第k行至第n行比較所有第k列的系數(shù)，第l行的絕對(duì)值最大。即endprint

a=maxa（i=k，k+1，…，n）（16）

換元：把a(bǔ)換為主元

b=aa=aa=bj（j=k，k+1，…n，n+1）（17）

（2）消元（第k步）（k=1，2，…，n）

a=a/a（j=k，k+1，…，n，n+1）（18）

a=a/aa（19）

選主元換元與消元的過程是交替進(jìn)行的，整體上需要進(jìn)行n步。僅僅是第n步由于僅剩一個(gè)方程（第n個(gè)方程），就沒有了選主元換元的過程，消元也僅僅是將其主系數(shù)化為1即可。

進(jìn)行到第n步得：

x+ax+ax+…+ax=ax+ax+…+ax=a ┇x+ax=ax=a（20）

（3）回代：

xn=a（21）

xk=a-ax（k=n-1，n-2，…，2，1）（22）

2.3 求解方法的特征

迭代法求解線性代數(shù)方程組，無論是（13）式對(duì)應(yīng)的雅克比迭代法，還是（14）式對(duì)應(yīng)的賽德爾迭代法，求解時(shí)都是由第一個(gè)方程至第三個(gè)方程順序進(jìn)行，雅克比迭代法各未知量的本次迭代結(jié)果相互之間沒有影響，僅對(duì)下次迭代結(jié)果相互之間有影響；而賽德爾迭代法及其松弛迭代法，本次迭代時(shí)迭代結(jié)果之間就有相互影響，以第一個(gè)方程式至第三個(gè)方程式順序求解，則第一個(gè)未知量的迭代值將影響第二個(gè)未知量的迭代值，依此類推，并可推廣至n元一次方程組。

高斯列主元消去法求解線性代數(shù)方程組時(shí)，第（1）步選主元換元之后，第（2）步消元時(shí)是從第k+1列直至第n列，將所有系數(shù)行列式左下角的元素均消為零，第（3）步回代是由第n-1個(gè)方程直至第1個(gè)方程求出相應(yīng)的未知量。也就是說，整個(gè)的求解過程也是有先后順序的。實(shí)際編程計(jì)算時(shí)，可把線性代數(shù)方程組作為矩陣方程式，利用矩陣進(jìn)行運(yùn)算，表面上看是所有未知量同時(shí)求解的，其實(shí)矩陣運(yùn)算的（下轉(zhuǎn)第52頁）（上接第6頁）原理和線性代數(shù)方程組求解方法之間并沒有實(shí)質(zhì)性的不同，只是程序結(jié)構(gòu)不同而已。

可見，無論是采用賽德爾迭代法還是采用高斯列主元消去法求解線性代數(shù)方程組，都不可能所有未知量并行同時(shí)求解。每一步求解時(shí)，后求解的未知量都要受已求解未知量的影響；每一步求解都是在上一步求解的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。這樣按順序一步一步求解下去，才能得出最終的結(jié)果。

當(dāng)然，如果最終是要求解非線性代數(shù)方程組，而非線性代數(shù)方程組解對(duì)初值有敏感的依賴性，求解順序不同其求解過程亦不相同，初值所包含的不可避免的誤差傳播特性也不相同，也有可能得到不同的結(jié)果。這屬于另外一個(gè)研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域。

4 結(jié)語

對(duì)非線性代數(shù)方程式與線性代數(shù)方程組求解過程及其特征分析，可分別得到如下啟示：（1）對(duì)于復(fù)雜問題，可以有不同的結(jié)果。想要得到理想的結(jié)果，就必須有相應(yīng)的理想的出發(fā)點(diǎn)，然后堅(jiān)持不懈的走下去。如果有質(zhì)的或量的偏差，就要及時(shí)的調(diào)整，前者可以改變結(jié)果，后者可以提高工作效率。（2）無論做什么事情，都是有先后順序的。切忌做事情一開始就抱著一蹴而就的心態(tài)。凡事都要按部就班、腳踏實(shí)地，分步驟分階段，循序漸進(jìn)一步一步解決，集階段成果才能得到最終整體的成果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊景芳編著.微機(jī)水力學(xué)[M].大連理工大學(xué)出版社，1991年5月第1版：1-21.endprint