聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式及應(yīng)用

(長(zhǎng)江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式及應(yīng)用

蘇海濤

(長(zhǎng)江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北荊州434023)

運(yùn)用惠更斯-菲涅爾原理，分析了軸線點(diǎn)光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射，通過(guò)對(duì)平行次波間光程差的計(jì)算，計(jì)算出各次波在會(huì)聚點(diǎn)的光程，由此導(dǎo)出了上述條件下衍射合振動(dòng)的積分式。這一積分式在一定條件下(小張角時(shí))，可以求出其原函數(shù)，這為合振幅(光強(qiáng))計(jì)算帶來(lái)了很大的方便。由于夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射相當(dāng)于點(diǎn)光源距離圓孔很遠(yuǎn)時(shí)的菲涅爾圓孔衍射，完全符合小張角的條件，由這一函數(shù)式導(dǎo)出了夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式。

聚焦；菲涅爾圓孔衍射；合振動(dòng)；積分式；函數(shù)式

在傳統(tǒng)光學(xué)教材中，聚焦條件下夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)積分式的推導(dǎo)并解出原函數(shù)，是一個(gè)數(shù)學(xué)的范例[1]。對(duì)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的研究現(xiàn)在普遍處于非聚焦條件下，主要分2種情況，一是非聚焦條件下合振動(dòng)積分式的推導(dǎo)并在特殊條件下解出原函數(shù)[2]；二是非聚焦條件下合振動(dòng)積分式的數(shù)值計(jì)算[3～6]。由以上原函數(shù)與數(shù)值計(jì)算所得到的合振幅(亦即光強(qiáng))分布，對(duì)應(yīng)于直接在光屏上形成的衍射圖樣，但它不能對(duì)應(yīng)于經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)或人眼后的成像(衍射圖樣)；而聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射的合振幅分布則對(duì)應(yīng)于經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)或人眼后的成像，有更大的應(yīng)用意義。筆者的研究旨在解決聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的計(jì)算問(wèn)題。夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射可以看作菲涅爾圓孔衍射的一個(gè)特例，筆者分析了軸線點(diǎn)光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射，并導(dǎo)出了其合振動(dòng)的積分式，在小張角的條件下這一積分式可以解出原函數(shù)，夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式就可以由這一原函數(shù)導(dǎo)出。

1 聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射分析

圖1 菲涅爾圓孔衍射的光路分析

如圖1所示，點(diǎn)光源O發(fā)出的球面波經(jīng)圓孔產(chǎn)生衍射，點(diǎn)O位于小孔的中心軸線上，AB為圓孔直徑。點(diǎn)光源對(duì)圓孔的張角∠AOB=2φ0，OA=OB=q0。DE為平行于圓孔面的球冠截面的直徑，且DE∥AB，P為該截面的圓心。顯然，OP為圓孔中心軸。C為該截面圓周上的任意一點(diǎn)，l1、l2、l3為透過(guò)圓孔的波面發(fā)出的3列次波，相互平行。次波l1的波源為B點(diǎn)，它與圓孔面法線n的夾角(即衍射角)為θ；次波l2的波源為D點(diǎn)；次波l3的波源為C點(diǎn)，∠COP=φ， ∠CPE=α。波線l1、l2位于經(jīng)過(guò)圓孔中心軸的截面OAEDB內(nèi)。

圖2 l3與l2的光程差分析示意圖

衍射角為θ的各平行次波經(jīng)透鏡會(huì)聚于觀察點(diǎn)，計(jì)算它們到達(dá)會(huì)聚點(diǎn)的光程時(shí)以l1的光程為比較，l3與l1的光程差等于l3與l2的光程差加上l2與l1的光程差。

先計(jì)算l3與l2的光程差。如圖2所示，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥DE，過(guò)F作l4∥l3，可以證明l3與l2的光程差等于l4與l2的光程差[1]。由OD=OE=q0、三角關(guān)系以及空氣的折射率近似等于1，算得l4與l2的光程差為：

δ1=q0sinφ(1+cosα)sinθ

(1)

再計(jì)算l2與l1的光程差。圖3是包括l1與l2的球扇形的軸截面圖，圖中BF⊥l2，DF即為l2與l1的光程差。令δ2=DF，可求得：

δ2=q0[cos(φ0-θ)-cos(φ-θ)]

(2)

于是次波l3與l1的光程差：

δ=δ1+δ2=q0sinφ(1+cosα)sinθ+q0cos(φ0-θ)-q0cos(φ-θ)

(3)

圖3 l2與l1的光程差分析示意圖

2 合振動(dòng)的積分式

設(shè)次波l1到達(dá)觀察點(diǎn)的光程為s(θ)，則次波l3到達(dá)觀察點(diǎn)的光程為：

RC=s(θ)+δ=s(θ)+q0sinφ(1+cosα)sinθ+q0cos(φ0-θ)-q0cos(φ-θ)

(4)

則C點(diǎn)的面元ds發(fā)出的次波l3到達(dá)觀察點(diǎn)的振動(dòng)可表示為：

dyC=C0cos[ωt-kRC]ds

(5)

(6)

將式(4)代入式(6)，得到波面上沿θ方向的各次波經(jīng)透鏡會(huì)聚于觀察點(diǎn)的合振動(dòng)的積分式：

(7)

3 小張角時(shí)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式

C0影響著合振動(dòng)振幅極值的大小和位置，在φ0與θ不大的情況下，β、RC隨θ、φ、α的變化不大，從而使得C0隨θ、φ、α的變化不大，因此在近似的情況下，C0可以取常數(shù)(依然以C0表示)。在C0取常數(shù)時(shí)，可以用數(shù)值方法算出式(7)合振動(dòng)的振幅分布，而在以下條件下，則能完成積分，求出式(7)的原函數(shù)。

當(dāng)2φ0為小角時(shí)，sinφ0≈φ0、cosφ0≈1、sinφ≈φ、cosφ≈ 1，代入式(7)并將cos(φ0-θ)展開(kāi)得：

(8)

(9)

由此得到小張角時(shí)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式：

y=H0cos[ωt-ks(θ)-kq0φ0sinθ]

(10)

4 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式

夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射相當(dāng)于光源距離很遠(yuǎn)時(shí)的菲涅爾圓孔衍射，滿足2φ0→0，且此時(shí)q0φ0=r(r為衍射圓孔的半徑)，于是由式(10)得到夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式：

y=H0cos[ωt-ks(θ)-krsinθ]

(11)

5 結(jié)語(yǔ)

推導(dǎo)聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式的關(guān)鍵在于平行次波間光程差的計(jì)算，由此可以算出各平行次波在會(huì)聚點(diǎn)的光程。實(shí)際上，傾斜因數(shù)K(β)完全可以近似地等于cosβ，使積分表達(dá)式(7)成為具有確定函數(shù)形式的計(jì)算式，從而進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)值計(jì)算。由積分表達(dá)式(7)可以導(dǎo)出小張角時(shí)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式，由這一函數(shù)式可以直接導(dǎo)出夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式，這對(duì)傳統(tǒng)光學(xué)教材中的相關(guān)內(nèi)容是一個(gè)很好的補(bǔ)充。

[1]母國(guó)光，戰(zhàn)元齡. 光學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2009:218～221.

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[編輯]洪云飛

2017-08-12

蘇海濤(1966-)，男，講師，現(xiàn)主要從事物理基本理論與實(shí)驗(yàn)方面的教學(xué)與研究工作；htsu@yangtzeu.edu.cn。

引著格式蘇海濤.聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式及應(yīng)用[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2017,14(21)：69～71.

O436.1

A

1673-1409(2017)21-0069-03