巖心滲透率的精確計算方法及其適用范圍實驗研究

李 奇，高樹生，劉華勛，葉禮友，蓋兆賀

(1.中國科學院 滲流流體力學研究所，河北 廊坊 065007； 2.中國石油勘探開發(fā)研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007；3.大慶鉆探工程公司 鉆井工程技術研究院，黑龍江 大慶 163413)

巖心滲透率的精確計算方法及其適用范圍實驗研究

李 奇1,2，高樹生1,2，劉華勛1,2，葉禮友1,2，蓋兆賀3

(1.中國科學院 滲流流體力學研究所，河北 廊坊 065007； 2.中國石油勘探開發(fā)研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007；3.大慶鉆探工程公司 鉆井工程技術研究院，黑龍江 大慶 163413)

通過對非達西二項式滲流方程推導，建立了計算高速非達西滲透率的方法，并結合400塊巖心的氣體單相滲流實驗結果，明確了不同滲透率計算方法的適用范圍：儲層滲透率小于10×10-3μm2時，滑脫效應對氣體滲流產生了較大影響，應進行克氏滲透率校正計算；大于50×10-3μm2時，高速非達西滲流對氣體滲流產生了較大影響，達西定律不再適用，應采用高速非達西滲透率的計算方法；介于(10～50)×10-3μm2時，需要同時考慮兩種滲流規(guī)律的影響而采用復合計算方法。經與巖心分析資料對比，用此計算方法得到的滲透率值更加接近實際地層情況。

滲透率計算方法；高速非達西滲流；適用范圍；滑脫效應

滲透率是十分重要的儲層物性參數(shù)，是確定生產速率、優(yōu)化完井射孔方案以及選擇最佳排液位置的基礎。測試計算儲層滲透率的主要方法有：測井或地震反演處理法[1-2]、試井分析法[3]以及室內巖心實驗測試法[4]。目前，氣體穩(wěn)態(tài)測試法是最常用的巖心滲透率測試方法，通過該方法測得的滲透率值在多大程度上逼近地層的真實滲透率，將直接影響石油工程師制定油氣田開發(fā)方案的合理性[5]。因此，對于不同的巖心選擇何種滲流模型來計算滲透率是工程師面對的首要問題。自從1856年法國工程師HenriDarcy[6]提出滲流力學的基本定律——達西定律以來，國內外眾多學者都對滲透率的計算方法與影響因素開展了理論計算與實驗研究，Klinkenberg、Fulton、姚約東等[7-11]研究了氣體在低速滲流時滑脫效應對滲透率的影響規(guī)律，Geertsma、Ruth、張烈輝等[12-16]研究了氣體發(fā)生高速非達西滲流時滲透率的變化規(guī)律。然而對于不同滲透率級別的儲層巖心，在測試其滲透率值時究竟應該考慮哪些影響因素、采用何種計算方法相關文獻并沒有明確說明。本文設計了物理模擬實驗研究了不同滲透率級別儲層巖心的單相氣體滲流特征，并且通過大量的實驗數(shù)據(jù)和理論計算明確了巖心滲透率的準確計算方法及其適用范圍。

1 滲透率的3種穩(wěn)態(tài)計算方法

1.1 達西定律

滲透率是任何給定的多孔介質的一種物理特性，它表征多孔介質允許流體通過的能力。對于給定的儲層巖心，其滲透率是一個固定數(shù)值，它只取決于該巖心孔隙的大小與幾何形狀。實驗室測試巖心滲透率的計算方法為HenriDarcy提出的滲流方程——達西定律，即

(1)

由于達西定律只適用于穩(wěn)態(tài)法，如果采用液體進行測試，整個實驗系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)條件所需的時間較長，所以室內實驗一般采用氣體測試的方法?？紤]到氣體和液體具有不同的性質，并且氣體在多孔介質中的滲流規(guī)律與液體相比存在著很大的差別，因此氣體測滲透率的計算公式和液體的并不相同。在恒溫條件下，考慮了氣體的強壓縮性，對達西定律的微分形式進行推導，得出氣測滲透率的計算方程

(2)

式中：Q為通過巖心的流量，cm3/s；Kg為表觀滲透率，μm2；A為巖心的截面積，cm2；L為巖心的長度，cm；p1為通過巖心的進口壓力，10-1MPa；p2為通過巖心的出口壓力，10-1MPa；psc為標準大氣壓力，10-1MPa；μ為流體的黏度，mPa·s。

應用達西定律計算儲層巖心的滲透率時，發(fā)現(xiàn)測得的表觀滲透率盡管反映了巖石滲透能力的強弱，但其值隨著孔隙平均壓力的降低而逐漸升高(圖1)，說明表觀滲透率是測量壓力的函數(shù)，這與滲透率是儲層定值物性參數(shù)的認識相違背。應當尋求新的計算方法進行校正計算。

圖1 10塊巖心表觀滲透率Kg與孔隙平均壓力p的關系曲線

1.2 克氏滲透率校正計算方法

氣體在低滲多孔介質中滲流時會發(fā)生滑脫效應，這是由于氣體與固體之間的分子作用力較小，在管壁處的氣體分子仍有部分處于運動狀態(tài)，并不全部粘附于管壁上，并且相鄰層的氣體分子由于動量交換的原因也一起沿管壁方向作定向流動，這種管壁處流速不為零的微觀運動體現(xiàn)在宏觀上就是氣體在滲流過程中產生了滑脫效應?；撔箤嶒灉y得的表觀滲透率隨著孔隙平均壓力的降低而逐漸升高，并且其值都偏大于儲層的真實滲透率。

Klinkenberg[17]從孔隙內流體流速分布的角度出發(fā)，設想了一種簡單的多孔介質毛管模型，并結合實驗研究得到了表觀滲透率Kg與克氏滲透率K∞的關系式

Kg=K

(3)

式(3)中的滑脫因子b取決于氣體的性質以及巖石的孔隙結構，當氣體在一根毛管內流動時，滑脫因子b的表達式為

(4)

常規(guī)克氏滲透率校正計算的方法為：擬合表觀滲透率與平均壓力倒數(shù)的關系曲線，擬合曲線的Y軸截距即為巖心的克氏滲透率。但實驗結果表明：在低滲儲層中，公式(3)可以起到很好的校正作用，所得克氏滲透率偏小于表觀滲透率，并且更加接近于儲層的真實滲透率。但在高滲儲層中，如果仍然進行克氏滲透率校正計算，所得克氏滲透率的值會出現(xiàn)負數(shù)(圖2)，表觀滲透率為158.69×10-3μm2的巖心，進行校正計算后克氏滲透率為-14.684×10-3μm2，說明在高滲儲層此校正計算方法不再適用，應當尋求新的計算方法。

圖2 3塊巖心表觀滲透率Kg與平均壓力倒數(shù)p-1的關系曲線

1.3 高速非達西滲透率計算方法

由于達西定律只考慮了黏滯力而忽略了慣性力，因此達西定律只在一定的滲流條件下才適用。當流體的滲流速度增大到一定程度之后，流體分子具有較大的慣性力，滲流速度與壓力梯度將偏離達西滲流的線性規(guī)律，這種現(xiàn)象稱為高速非達西滲流。此時達西定律將不再適用，一般采用Forchheimer[18]提出的二項式滲流方程來表述這種非達西滲流關系，即

(5)

本文以滲流方程(5)為理論基礎，推導出高速非達西滲透率Kn的計算公式。首先將滲流方程轉換成流量形式，即

(6)

將真實氣體的狀態(tài)方程

(7)

帶入式(6)，得

(8)

(9)

將式(9)變換得

(10)

式中：Q為通過巖心的流量，cm3/s；v為流體的流速，cm/s；Kn為高速非達西滲透率，μm2；β為非達西滲流系數(shù)，m-1；A為巖心的截面積，cm2；L為巖心的長度，cm；pL為巖心的進口壓力，10-1MPa；p0為巖心的出口壓力，10-1MPa；psc為標準大氣壓力，10-1MPa；μ為流體的黏度，mPa·s；ρ為流體的密度，g/cm3；Bg為流體的體積系數(shù)，無因次；Z為流體的壓縮因子，無因次；V(Vsc)為流體在地層(標準)條件下的體積，cm3；T(Tsc)為流體在地層(標準)條件下的溫度，K。

因此，對于高滲儲層的巖心，可以先測量巖心進出口端的壓力平方差與通過流量，從而通過二項式擬合計算出高速非達西滲透率Kn和非達西滲流系數(shù)β。

2 不同的滲透率計算方法的適用范圍

2.1 實驗樣品、方法與流程

為了明確不同滲透率計算方法的適用范圍，筆者選取了大慶油田同一區(qū)塊的400塊巖心，開展了單相氣體滲流物理模擬實驗研究。所選巖樣地層條件下的覆壓滲透率在(0.01～1 000)×10-3μm2，基本上涵蓋了儲層滲透率的分布范圍，所得實驗結果能夠反映整個區(qū)塊的滲流特征。

本次實驗采用了穩(wěn)態(tài)法，實驗所用氣體為高純度氮氣，巖心進口端注入氣體的壓力由精密調節(jié)閥控制，出口壓力為大氣壓。具體的實驗方法為：通過氣體質量流量計來記錄巖心出口端的流量，當氣體流量達到穩(wěn)定狀態(tài)時，記錄巖心的進口壓力和流量，隨后逐步改變進口壓力，記錄不同壓力下對應的穩(wěn)態(tài)流量。為了保證實驗結果的精確性，每塊巖心均記錄4組不同驅替壓力下的實驗數(shù)據(jù)，并計算其表觀滲透率平均值、克氏滲透率和高速非達西滲透率，從而分析不同滲透率級別巖心的單相氣體滲流規(guī)律以及不同的滲透率計算方法的適用范圍。實驗流程如圖3所示。

圖3 單相氣體滲流物理模擬實驗流程

2.2 克氏滲透率校正計算的適用范圍

通過分析克氏滲透率K∞與表觀滲透率Kg的關系曲線(圖4)，明確了克氏滲透率校正計算方法對于不同滲透率級別巖心的適用情況：當巖心表觀滲透率小于10×10-3μm2時，克氏滲透率與表觀滲透率的比值隨表觀滲透率的增大逐漸增大。說明巖心越致密，其喉道半徑r越小，根據(jù)公式(4)其滑脫因子b越大，滑脫效應造成了顯著的影響，使測得的表觀滲透率更加大于儲層的真實滲透率，無法準確應用于儲層特征的評價，需要進行克氏滲透率校正計算。

當表觀滲透率在(10～50)×10-3μm2時，部分巖心的比值逐漸減小。說明此類巖心滲透率越高滑脫效應就越顯著，這與已經取得的理論認識相違背。因此計算此級別巖心的滲透率時，不能僅僅只考慮滑脫效應的影響。

當表觀滲透率大于50×10-3μm2時，由于高滲儲層的孔喉半徑比氣體分子自由行程要大很多，氣體分子自身已經很容易產生流動，氣體的滑脫對整個流動的影響就顯得微乎其微。因此，計算此級別巖心的滲透率時，可以忽略滑脫效應的影響，克氏滲透率校正計算方法不再適用。

圖4 克氏滲透率K∞與表觀滲透率Kg的關系曲線

2.3 高速非達西滲透率計算方法的適用范圍

通過分析高速非達西滲透率Kn與表觀滲透率Kg的關系曲線(圖5)，明確了高速非達西滲透率計算方法對于不同級別巖心的適用情況：當巖心表觀滲透率小于10×10-3μm2時，低滲儲層的孔喉半徑較小，較大程度限制了氣體的滲流速度，使其難以達到發(fā)生紊流所需的速度，因此，氣體滲流時幾乎不會產生高速非達西滲流。對于此級別巖心高速非達西滲透率計算方法并不適用，計算得到的高速非達西滲透率要遠高于儲層的真實滲透率。

圖5 高速非達西滲透率Kn與表觀滲透率Kg的關系曲線

當表觀滲透率在(10～50)×10-3μm2時，部分巖心高速非達西滲透率與表觀滲透率的比值逐漸增大。說明隨著儲層滲透率的增大，部分巖心的流速與壓力梯度開始逐漸偏離線性規(guī)律，并且這種偏離程度越來越大。因此，計算此級別巖心的滲透率時，需要考慮高速非達西滲流的影響。

當表觀滲透率大于50×10-3μm2時，由于高滲儲層的孔喉半徑較大，氣體分子在該儲層中較易發(fā)生高速流動，氣體的流速ν越大，其符合達西滲流的線性項μ/Kv就越小，偏離達西滲流的慣性項βρv2就越大，氣體的滲流特征就會較大程度地偏離達西滲流的線性特征。因此，氣體在此級別巖心內會產生較明顯的高速非達西滲流，達西定律將不再適用，需要應用方程(10)計算高速非達西滲透率。

1953年Cornell[19]從氣體質量流速恒定的角度出發(fā)，提出了非達西滲流系數(shù)與滲透率的關系式

(11)

國內外已經有多位學者[20-21]應用此方程計算出任意已知滲透率油氣藏的非達西滲流系數(shù)。

Cornell計算的關系曲線與本文實驗結果擬合度較好，說明本文提出的高速非達西滲透率計算方法具有理論依據(jù)。高速非達西滲透率與非達西滲流系數(shù)的關系曲線(圖6)表明：非達西滲流系數(shù)隨著滲透率的升高而逐漸減小，當非達西滲流系數(shù)小于5.81×108m-1時，高速非達西滲流對氣體的滲流產生了較大影響。

圖6 高速非達西滲透率Kn與非達西滲流系數(shù)β的關系曲線

2.4 滲透率復合計算方法

由于幾種滲透率計算方法的適用范圍各不相同，為了選取計算方法的便捷性與準確性，將其統(tǒng)一為實驗室?guī)r心滲透率的復合計算公式

(12)

當巖心表觀滲透率小于10×10-3μm2時，高速非達西滲流對氣體的滲流特征產生的影響較小，非達西滲流系數(shù)β可以近似等于0，復合計算公式可以整理為式(3)進行克氏滲透率校正計算；當滲透率大于50×10-3μm2時，滑脫效應對氣體的滲流特征產生的影響較小，滑脫因子b同樣可以近似等于0，公式可以整理為式(10)計算巖心的高速非達西滲透率；當滲透率在(10～50)×10-3μm2時，氣體的滑脫效應與高速非達西滲流同時產生影響，應當按照式(12)進行復合計算。

圖7為本次實驗400塊巖心復合計算后儲層真實滲透率K與表觀滲透率Kg的關系曲線，圖8為實驗室常規(guī)校正計算后克氏滲透率K∞與表觀滲透率Kg的關系曲線。通過對比分析兩組計算結果，表明本文提出的滲透率復合計算方法不僅考慮了氣體在低滲儲層中滑脫效應產生的影響，還考慮了高滲儲層中高速非達西滲流產生的影響，從而彌補了常規(guī)克氏滲透率校正計算方法的不足。通過將實驗結果與巖心分析資料進行對比，表明應用復合計算方法得到的滲透率值更加接近實際地層情況，具有更好的準確性與實用性。

圖7 復合計算后滲透率K與表觀滲透率Kg的關系曲線

圖8 常規(guī)校正計算后滲透率K∞與表觀滲透率Kg的關系曲線

3 結 論

(1)當測得的巖心表觀滲透率小于10×10-3μm2時，滑脫效應對氣體的滲流特征產生了較大的影響，使測得的滲透率值偏大于儲層真實滲透率，無法正確應用于儲采特征的評價，應進行克氏滲透率校正計算。

(2)當測得的巖心表觀滲透率大于50×10-3μm2時，巖心的孔喉半徑較大，氣體的滲流速度較大，高速非達西滲流對氣體的滲流特征產生了較大影響，此時流速與壓力梯度已經偏離了線性規(guī)律，達西定律不再適用，應采用高速非達西滲透率的計算方法。

(3)當測得的巖心表觀滲透率介于(10～50)×10-3μm2時，滑脫效應與高速非達西滲流同時對氣體的滲流特征產生影響，應采用滲透率復合計算方法。

[1] 楚澤涵，謝京.用測井方法估算滲透率的評述[J].石油勘探與開發(fā)，1994，21(1)：46-52. CHU Ze-han，XIE Jing.The evaluation of the permeability by well logging information [J].Petroleum Exploration and Development，1994，21(1)：46-52.

[2] 何琰，彭文，殷軍.利用地震屬性預測滲透率[J].石油學報，2001，22(6)：34-36. HE Yan，PENG Wen，YIN Jun.Permeability prediction by seismic attribute data [J].Acta Petrolei Sinica，2001，22(6)：34-36.

[3] 張楓，王振升，馬立軍，等.一種檢驗試井解釋有效滲透率合理性的方法[J].天然氣地球科學，2010，21(3)：367-370. ZHANG Feng，WANG Zhen-sheng，MA Li-jun，et al.A method of testing reasonability of effective permeability by well test interpretation [J].Natural Gas Geoscience，2010,21(3)：367-370.

[4] 楊勝來，魏俊之.油層物理[M].北京：石油工業(yè)出版社，2004：138-140.

[5] 何自新，郝玉鴻.滲透率對氣井產能方程及無阻流量的影響分析[J].石油勘探與開發(fā)，2001，28(5)：46-48. HE Zi-xin，HAO Yu-hong.Analysis of effects of permeability on gas well productivity equation and open flow capacity [J].Petroleum Exploration and Development，2001，28(5)：46-48.

[6] 孔祥言.高等滲流力學[M].合肥:中國科學技術大學出版社，1999：31-37.

[7] Klinkenberg L J.The permeability of porous media to liquids and gases [C].Drilling and Production Practices.New York：American Petroleum Institute，1941：200-213.

[8] Fulton P F.The effect of gas slippage on relative permeability measurements[J].Producers Monthly，1951，15(12)：14-19.

[9] Jones F O，Owens W W.A laboratory study of low-permeability gas sands [J].Journal of Petroleum Technology，1980，32(9)：1631-1640.

[10] 王勇杰，王昌杰，高家碧.低滲透多孔介質中氣體滑脫行為研究[J].石油學報1995，16(3)：101-105. WANG Yong-jie，WANG Chang-jie，GAO Jia-bi.A research of gas slip in low permeability porous media [J].Acta Petrolei Sinica，1995，16(3)：101-105.

[11] 姚約東，李相方，葛家理，等.低滲氣層中氣體滲流克林貝爾效應的實驗研究[J].天然氣工業(yè)，2004，24(11)：100-102. YAO Yue-dong，LI Xiang-fang，GE Jia-li，et al.Experimental research for Klinkenberg effect of gas percolation in low permeable gas reservoirs [J].Natural Gas Industry，2004，24(11)：100-102.

[12] Geertsma J.Estimating the coefficient of inertial resistance in fluid flow through porous media [J].Society of Petroleum Engineers Journal，1974(10)：445-450.

[13] Ruth D，Ma H.On the derivation of the forchheimer equation by means of the average theorem [J].Transport in Porous Media，1992，7(3)：255-264.

[14] Liu X，Civan F，Evans R D.Correlation of the non-Darcy flow coefficient [J].Journal of Canadian Petroleum Technology，1995，34(10)：50-54.

[15] 張烈輝，朱水橋，王坤，等.高速氣體非達西滲流數(shù)學模型[J].新疆石油地質，2004，25(2)：165-167. ZHANG Lie-hui，ZHU Shui-qiao，WANG Kun，et al.A mathematic model for non-Darcy flow at high flow rate [J].Xinjiang Petroleum Geology，2004，25(2)：165-167.

[16] 趙曉燕，姚軍，崔傳智，等.考慮真實氣體PVT動態(tài)的高速非達西滲流模型[J].石油鉆探技術，2009，37(2)：78-81. ZHAO Xiao-yan，YAO Jun，CUI Chuan-zhi，et al.A high velocity non-Darcy flow model considering real gas PVT behavior [J].Petroleum Drilling Techniques，2009，37(2)：78-81.

[17] Scheidegger A E.The Physics of Flow Through Porous Media[M].[s.l.]:University of Toronto Press，1957：38-39.

[18] Forchheimer P H.Wasserbewegung durch Boden [J].Zeitsch-rift des Vereines Deutscher Ingenieure，1901，49：1736-1749 & 50：1781-1788.

[19] Cornell D，Katz D L.Flow of gases through consolidated porous media[J].Industrial and Engineering Chemistry，1953，45：2145-2152.

[20] 朱維耀，宋洪慶，何東博，等.含水低滲氣藏低速非達西滲流數(shù)學模型及產能方程研究[J].天然氣地球科學，2008，19(5)：685-689. ZHU Wei-yao，SONG Hong-qing，HE Dong-bo，et al.Low-velocity non-Darcy gas seepage model and productivity equations of low-permeability water-bearing gas reservoirs[J].Natural Gas Geoscience，2008，19(5)：685-689.

[21] 竇宏恩.正確認識氣藏高速非達西流湍流系數(shù)[J].斷塊油氣田，2013，20(4)：466-469. DOU Hong-en.Further understanding on turbulence coefficient of high-speed non-Darcy flow of gas reservoir [J].Fault-Block Oil & Gas Field,2013，20(4)：466-469.

責任編輯：賀元旦

2014-12-15

國家重大科技專項“低滲、特低滲油氣田經濟開發(fā)關鍵技術”項目(編號：2011ZX05013)資助

李奇(1985-)，男，博士研究生，主要從事低滲透油氣田開發(fā)、滲流理論研究。E-mail：liqi0620@163.com

1673-064X(2015)02-0069-06

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