解題研究再深入：教學(xué)微設(shè)計的實踐與思考

范小震

[摘 要] 教師研究中考綜合題需思考一題多解、多解歸一，并可圍繞考題開展解題教學(xué)的“微設(shè)計”：將考題的幾個小問拆開成不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓每個教學(xué)環(huán)節(jié)下的鋪墊式設(shè)問成為引導(dǎo)學(xué)生自主獲得思路的有效問題.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué)；教學(xué)微設(shè)計；命題功夫

研究中考試題是很多同行的興趣，然而從各個網(wǎng)絡(luò)QQ群中的研討熱點來看，更多是關(guān)注一些難題（甚至超綱題），不少研究者雖然給出的答案豐富多樣，但不少解法不宜在教學(xué)中選用. 筆者以為，我們不僅應(yīng)該關(guān)注中考題的一題多解，更重要的是多解歸一以及更初等解法、更自然解法的優(yōu)選. 此外，還需要跟進構(gòu)思解題教學(xué)的微設(shè)計，這樣才能把解題研究轉(zhuǎn)向服務(wù)教學(xué)，讓我們對考題的研究“落腳”在課堂. 本文梳理了一道考題的思路突破及教學(xué)微設(shè)計，以提供研討.

考題及思路概述

考題 （2017年江蘇揚州中考卷，第28題，有改動）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD于點E，以 PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上，對角線EG，PF相交于點O.

（1）小明經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：點O一定在△APE的外接圓上，請判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由；

（2）當(dāng)點P從點A運動到點B時，點O也隨之運動，求點O經(jīng)過的路徑長；

（3）在點P從點A運動到點B的過程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到AB邊的距離的最大值.

思路簡述 （1）首先分析△APE是直角三角形，該直角三角形的外心在斜邊PE的中點M處（如圖2），容易確認MA=ME=MP. 接下來，只要能證出MO=ME=MP即可. 由于四邊形GPEF是正方形，O是對角線的交點，所以△POE是等腰直角三角形. 于是OM=ME=MP. 所以點A，P，O，E四點共圓，即點O一定在△APE的外接圓上.

另解思路：也可從對角互補的四邊形的四個頂點在同一圓上進行思考. 比如，由PF⊥EG，得∠EOP=90°，所以∠EOP+∠EAP=180°. 故A，P，O，E四點共圓，即點O一定在△APE的外接圓上.

另解思路：可以過點O作AB，AD邊的垂線段OQ，ON，如圖4，可以通過證明△NOE≌△QOP得出OQ=ON，于是點O在∠BAD的平分線上. 之后的解法同上述解法.

（3）如圖5，先根據(jù)題意構(gòu)造出圓心M到直線AB的垂線段MH，問題的求解方向就是分析MH的最大值. 如果聯(lián)想到三角形的中位線，則可以把MH的最值分析轉(zhuǎn)向AE最值的分析，而AE在Rt△APE中，于是可以聯(lián)想到△APE∽△BCP，這樣便會得到對應(yīng)線段的比例關(guān)系，思路就可獲得貫通.

解題教學(xué)微設(shè)計

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：基礎(chǔ)熱身，特例引路

例題1 同考題的“題干”，這里略.

（1）當(dāng)點P為AB的中點時，求正方形PEFG的周長；

（2）當(dāng)AP=1時，求AE的長；

（3）當(dāng)AE=1時，求△APE外接圓的半徑；

（4）當(dāng)正方形PEFG的面積為5時，直接寫出AP的長.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：動態(tài)探索，四點共圓

例題2 題干同“考題”，這里略.

（1）請指出△POE的形狀，并說明理由；

（2）求證：點A，P，O，E四點共圓；

（3）連接AO，求證：AO平分∠BAD；

（4）在點P從點A運動到點B的過程中，點O也隨之運動，求點O到點A的最大距離.

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三：迎難而上，挑戰(zhàn)難題

例題3 題干同“考題”，這里略.

（1）求證：△APE∽△BCP；

（2）當(dāng)點P為AB的中點時，求△APE外接圓的圓心到弦AP的弦心距的長；

（3）在點P從點A運動到點B的過程中，分析點O到AD邊的距離的最大值；

（4）在點P從點A運動到點B的過程中，求△OPE的外接圓的圓心到AB邊的距離的最大值.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)四：同類鏈接，改編訓(xùn)練

（1）求點B到AC邊的距離.

（2）點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿對角線AC向終點C運動，連接BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF.

①當(dāng)點D運動到AC邊的中點時，分析△CDE的形狀，并求它的周長.

②求證：B，C，E，D四點共圓.

③當(dāng)△CDE是等腰三角形時，求運動時間t.

⑤在運動過程中，是否存在某一時刻，矩形BDEF的面積取得最小值？如果存在，請求出運動時間t；如果不存在，請說明理由.

跟進兩點思考

1. 解題研究應(yīng)該用力在何處

教師研究解題不同于學(xué)生解題，因為我們是要通過解題研究幫助學(xué)生學(xué)會解題，而且要讓學(xué)生通過解這一道題學(xué)會解一類題，所以不能止步于對考題的思路貫通，而需要對考題的結(jié)構(gòu)、不同解法、可能的拓展與變式進行解后回顧與反思. 在回顧與反思時，可圍繞以下一些方向進行，比如該題與教材上哪些經(jīng)典問題類似？該題的思路怎樣更加自然而然地發(fā)生？學(xué)生可能會在哪些步驟上遇阻？該題還可以有哪些變式拓展？哪些考題與這道題的考查風(fēng)格類似……多思考這些問題，可以在跟進的教學(xué)微設(shè)計時進行一些鋪墊和拓展.

2. 教學(xué)微設(shè)計需要命題能力

可以發(fā)現(xiàn)，像上文中圍繞考題給出的解題教學(xué)微設(shè)計就是該題上課的簡要教案對原考題每一個小問設(shè)計同類問題、鋪墊問題，能讓學(xué)生在這些引導(dǎo)問題的鋪墊之下自主探究出原考題中較難的設(shè)問. 各個教學(xué)環(huán)節(jié)下的設(shè)問，需要教師修煉命題基本功. 想來，這也就是鄭毓信教授指出的數(shù)學(xué)教師的三項基本功之一“善于提問”吧.endprint