3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析與多目標(biāo)性能優(yōu)化

趙星宇 趙鐵石 云 軒 王文超 田 昕 李忠杰

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004)

3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析與多目標(biāo)性能優(yōu)化

趙星宇1,2趙鐵石1,2云 軒1,2王文超1,2田 昕1,2李忠杰1,2

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004)

針對(duì)3-P(4S)并聯(lián)平臺(tái)，首先對(duì)其進(jìn)行了位置反解，提出了由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和擬Newton法相結(jié)合的混合數(shù)值法，并以此對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置正解，求解精度可達(dá)到10-8數(shù)量級(jí)，求解時(shí)間在20 ms內(nèi)。然后通過對(duì)位置解求導(dǎo)可得到機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)和分支桿件的速度和加速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的結(jié)果，應(yīng)用牛頓歐拉方法構(gòu)建該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)機(jī)構(gòu)的數(shù)值算例進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證。最后綜合考慮機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能、剛度性能和速度性能，分別推導(dǎo)了其評(píng)價(jià)指標(biāo)，并應(yīng)用改進(jìn)的加權(quán)求和法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)的尺寸優(yōu)化。通過多目標(biāo)的尺寸優(yōu)化，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能和速度性能提升了2倍，剛度性能提升了3倍。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 混合數(shù)值算法； 多目標(biāo)； 性能優(yōu)化

引言

多維并聯(lián)激振平臺(tái)可以為振動(dòng)測試提供穩(wěn)定的復(fù)合多自由度激振，模擬設(shè)備的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，有效提高測試效率[1-2]。因此，近年來多維并聯(lián)激振平臺(tái)在國內(nèi)外得到了廣泛的研究和發(fā)展[3-6]。德國Instron公司的六自由度振動(dòng)臺(tái)，主要應(yīng)用于整車的振動(dòng)模擬及疲勞測試。英國Servotest公司的高頻六自由度振動(dòng)臺(tái)，采用3-2-1結(jié)構(gòu)布置，主要應(yīng)用于車載發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)測試。中國科學(xué)院長春光學(xué)機(jī)械研究所基于Stewart構(gòu)型模擬多維擾動(dòng)。上海交大自主研發(fā)的多維電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)，用于多維振動(dòng)模擬。

同一構(gòu)型的振動(dòng)臺(tái)，當(dāng)其結(jié)構(gòu)參數(shù)不同時(shí)，性能存在較大的差異。通過優(yōu)化尺寸參數(shù)來提升機(jī)構(gòu)性能，這是機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域值得研究的課題。ALTUZARRA等[7]基于操作靈活度以及工作空間對(duì)4-PRΠRR機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺寸優(yōu)化，齊明等[8]通過求解雅可比矩陣，獲得3-PUS/PU三自由度機(jī)構(gòu)的全域條件數(shù)，并進(jìn)行幾何參數(shù)優(yōu)化。

本文同時(shí)考慮機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能、速度性能和剛度性能，分別給出其評(píng)價(jià)指標(biāo)，并將進(jìn)行多目標(biāo)的尺寸優(yōu)化。對(duì)3-P(4S)激振平臺(tái)應(yīng)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-12]與擬Newton法[13-14]相結(jié)合的混合數(shù)值法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置正解分析，進(jìn)而建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，并用動(dòng)力學(xué)仿真軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，最后根據(jù)改進(jìn)的加權(quán)求和法對(duì)機(jī)構(gòu)性能進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。

1 3-P(4S)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 位置正解分析

圖1為本文所研究的3-P(4S)激振平臺(tái)三維造型，圖2為機(jī)構(gòu)簡化圖。該機(jī)構(gòu)由上平臺(tái)、基座以及3個(gè)P(4S)分支組成。每個(gè)分支均為1個(gè)移動(dòng)副和4個(gè)球副組成的閉環(huán)子鏈，4個(gè)球副中心點(diǎn)呈平行四邊形布置，由于在運(yùn)動(dòng)過程中閉環(huán)不會(huì)出現(xiàn)扭曲，所以在分析過程中，閉環(huán)機(jī)構(gòu)可等效為以上下邊中點(diǎn)以球副中心點(diǎn)鉸接而成的等效桿件cidi(i=1,2,3)?；酌娉收切畏植?，其外接圓的半徑為rb，各分支的移動(dòng)副與基座底面呈傾角φ布置。分支的4S閉環(huán)子鏈上下邊長為d，左右邊邊長為L。上平臺(tái)呈3個(gè)長邊和3個(gè)短邊的對(duì)稱六邊形布置，其外接圓的半徑為ra，相鄰球副在上平臺(tái)中心連線的夾角的一半為θ=arcsin(d/(2ra))。以基座底面中心為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系{O}，其X軸沿分支1軸線在底面投影線方向，Z軸豎直向上。以上平臺(tái)中心為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系{P}，其X軸垂直于分支1中閉環(huán)子鏈的短邊，Z軸豎直向上。以下平臺(tái)3個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)分別建立分支坐標(biāo)系{ui}(i=1,2,3)，xi軸垂直O(jiān)ui，yi軸沿ciui方向。由文獻(xiàn)[15]可得，在機(jī)構(gòu)呈平行四邊形布置時(shí)，機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)三維線性平動(dòng)，則動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)姿態(tài)角參數(shù)(α,β,γ)均為0。

圖1 3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3-P(4S) parallel mechanism

圖2 3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡化圖Fig.2 Sketch of 3-P(4S) parallel mechanism

任意時(shí)刻，各分支上邊中點(diǎn)di(i=1,2,3)在{P}系均表示為

(1)

從{P}系到{O}系再到分支坐標(biāo)系{ui}(i=1,2,3)進(jìn)行坐標(biāo)變換，得出di(i=1,2,3)在分支坐標(biāo)系ui(i=1,2,3)的表示為

(2)

(3)

式中l(wèi)1、l2、l3——直線驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)

根據(jù)閉環(huán)子鏈呈平行四邊形布置的幾何關(guān)系，任意時(shí)刻閉環(huán)子鏈的上邊中點(diǎn)di(i=1,2,3)和下邊中點(diǎn)ci(i=1,2,3)之間的距離恒等于左右邊長L。此關(guān)系可表達(dá)為

(4)

將式(3)代入式(4)，整理可得

(5)

將式(2)代入式(5)，即完成了機(jī)構(gòu)的位置反解，通過給定位置參數(shù)可得出對(duì)應(yīng)的輸入行程。

采用混合數(shù)值法求解機(jī)構(gòu)的位置正解。如圖3所示，首先以行程參數(shù)(l1，l2，l3)作為輸入?yún)?shù)，動(dòng)平臺(tái)中心位置參數(shù)(xp，yp，zp)作為輸出參數(shù)，隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定方法為首先任意給出一個(gè)初值，然后采用逐步增長法[17]將隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)確定為10。這樣，一個(gè)由3個(gè)輸入層和3個(gè)輸出層組成的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已構(gòu)造完成。通過式(5)的位置反解以及給定的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)后，可得到大量訓(xùn)練樣本，本文采用LM數(shù)值優(yōu)化算法訓(xùn)練以上所構(gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，LM數(shù)值優(yōu)化算法可以提高訓(xùn)練速度、減小收斂誤差。將所構(gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行離線訓(xùn)練后，其輸出結(jié)果的精度可達(dá)到10-4級(jí)。

為了進(jìn)一步提高輸出精度，將任意輸入行程代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層，經(jīng)過以上所訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測，得出機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)位姿參數(shù)的初解。將此初解作為擬牛頓法的初值T0進(jìn)行迭代，并規(guī)定迭代誤差ε為10-7，得出對(duì)應(yīng)位姿參數(shù)的精確結(jié)果(xp,yp,zp)。

圖3 混合數(shù)值法結(jié)構(gòu)簡圖Fig.3 Sketch of hybrid numerical method

表1為通過式(5)得出的5組位置數(shù)值算例，將其代入混合數(shù)值法求解，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為ra=0.25 m,rb=0.67 m,L=0.38 m,φ=30°，所選計(jì)算機(jī)主頻為3.2 GHz，求解結(jié)果如表2所示，求解精度為10-8數(shù)量級(jí)，迭代步數(shù)為3，求解效率在20 ms以內(nèi)。

表1 數(shù)值算例Tab.1 Numerical calculation example m

表2 混合數(shù)值法計(jì)算結(jié)果Tab.2 Results of hybrid numerical method

1.2 速度分析

圖4為該機(jī)構(gòu)的P(4S)分支簡化圖，其中ei、mi、ni、si均為其所在方向上的單位向量，p、o分別為上下平臺(tái)中心點(diǎn)，c、d分別為等效上下鉸鏈點(diǎn)，u為移動(dòng)副端點(diǎn)，qi為驅(qū)動(dòng)分支i(i=1,2,3)的驅(qū)動(dòng)行程，l為4S分支等效桿長，為定值，racosθ為上平臺(tái)中心到短邊距離，為定值，rb為下平臺(tái)外接圓半徑，為定值，向量r為動(dòng)系原點(diǎn)p在定系中的位置矢量。

圖4 P(4S)分支等效圖Fig.4 Equivalent sketch of P(4S) limb

向量r可表示為

r=rbei+qimi+lni+racosθsi

(6)

對(duì)式(6)求導(dǎo)可得

(7)

式中v——上平臺(tái)速度矢量

ωi——桿件運(yùn)動(dòng)角速度

(8)

(9)

式中Jωi——分支桿件角速度對(duì)上平臺(tái)速度的映射矩陣

若ni=[xiyizi]T，則

分支桿件質(zhì)心點(diǎn)的位置矢量可表達(dá)為

(10)

對(duì)式(10)求導(dǎo)，即為分支桿件的線速度

(11)

式中I3——3×3的單位矩陣

Jvi——分支桿件線速度對(duì)上平臺(tái)速度的映射矩陣

1.3 加速度分析

對(duì)式(7)求導(dǎo)，可得

(12)

式中a——上平臺(tái)加速度矢量

(13)

其中

對(duì)式(11)求導(dǎo)，整理可得分支桿件質(zhì)心點(diǎn)線加速度與上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的映射關(guān)系。

(14)

將式(9)求導(dǎo)，整理可得分支桿件角加速度與平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的映射關(guān)系

(15)

式中，“*”表示矩陣廣義標(biāo)量積。

1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值算例

給定機(jī)構(gòu)與1.1節(jié)相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并給定運(yùn)動(dòng)x=0.001sin(40πt)和y=0.001sin(40πt)，將數(shù)值算例和結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(8)和式(13)，通過Matlab編程可得驅(qū)動(dòng)速度和加速度的理論曲線，如圖5、6所示。

圖5 驅(qū)動(dòng)單元速度理論曲線Fig.5 Velocity theory curves of drive unit

然后將給定機(jī)構(gòu)的三維造型導(dǎo)入ADAMS中，并給定與上述數(shù)值算例相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行仿真驗(yàn)證，將所得到機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)輸入的速度以及加速度到Matlab中進(jìn)行顯示，得到運(yùn)動(dòng)仿真曲線如圖7、8所示，其單位和圖5、6相同。在圖7、8曲線上任取若干點(diǎn)，與理論計(jì)算所得曲線圖5、6中對(duì)應(yīng)的值進(jìn)行比較。經(jīng)對(duì)比，兩者完全相等，因此完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)理論模型與仿真模型的相互驗(yàn)證。

圖6 驅(qū)動(dòng)單元加速度理論曲線Fig.6 Acceleration theory curves of drive unit

圖7 驅(qū)動(dòng)單元速度仿真曲線Fig.7 Velocity simulation curves of drive unit

圖8 驅(qū)動(dòng)單元加速度仿真曲線Fig.8 Acceleration simulation curves of drive unit

2 3-P(4S)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 機(jī)構(gòu)等效慣性力矩

根據(jù)牛頓-歐拉法, 由于上平臺(tái)只具有三維移動(dòng)自由度，所以只存在慣性力對(duì)驅(qū)動(dòng)的等效力矩映射，其計(jì)算式為

(16)

其中

J1=J-1

式中J1——上平臺(tái)速度對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的映射矩陣

m——上平臺(tái)質(zhì)量

因?yàn)榛瑝K與直線電動(dòng)機(jī)固連，所以滑塊運(yùn)動(dòng)規(guī)律和電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)一致，其計(jì)算式為

(17)

式中Jei——滑塊與驅(qū)動(dòng)速度之間映射矩陣

me——驅(qū)動(dòng)滑塊質(zhì)量

由于分支桿件運(yùn)動(dòng)形式包括移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，所以其對(duì)驅(qū)動(dòng)力的映射中存在慣性力和慣性力矩，可得

(18)

(19)

其中

式中md——分支桿件質(zhì)量

Jvdi——分支桿件質(zhì)心點(diǎn)線速度對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的映射矩陣

Jωdi——分支桿件的角速度對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的映射矩陣

Idi——在定系中分支桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Idio——分支桿件在以其質(zhì)心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸Z與桿件軸線平行的坐標(biāo)系(本文中將其簡稱為本坐標(biāo)系)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

ORi——從本坐標(biāo)系到定系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

(20)

2.2 機(jī)構(gòu)等效重力矩

通過虛功原理，機(jī)構(gòu)等效重力矩為

(21)

2.3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的建立

本文所研究機(jī)構(gòu)構(gòu)型主要應(yīng)用于振動(dòng)臺(tái)，忽略機(jī)構(gòu)的所受外力，并忽略各關(guān)節(jié)間的摩擦，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

τI+τG+τA=0

(22)

式中τA——廣義驅(qū)動(dòng)力矢量

將式(20)、(21)代入式(22)，整理可得

(23)

2.4 動(dòng)力學(xué)數(shù)值算例

給出振動(dòng)臺(tái)的上平臺(tái)質(zhì)量m=4.16 kg，驅(qū)動(dòng)滑塊質(zhì)量me=2.57 kg，各分支桿件質(zhì)量md=1.59 kg，其在本坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Idio=diag(Ixx,Iyy,Izz)，其中Ixx=0.022 3 kg·m2,Iyy=0.022 3 kg·m2，Izz=1.276×10-4kg·m2，其余結(jié)構(gòu)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)值算例和正反解算例相同。并給定該機(jī)構(gòu)在初始高度下在XY平面內(nèi)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，具體表達(dá)式為xp=0.001sin(40πt)，yp=0.001sin(40πt)，zp=0.57。將以上結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)代入到式(23)，應(yīng)用Matlab進(jìn)行計(jì)算，得到機(jī)構(gòu)上述復(fù)合運(yùn)動(dòng)情況下的驅(qū)動(dòng)力受力曲線，如圖9所示。為了驗(yàn)證理論計(jì)算的結(jié)果，首先將機(jī)構(gòu)的三維造型設(shè)定與實(shí)際加工一致的材料后，將其導(dǎo)入到ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件，添加各約束，為保持一致性，不設(shè)額外負(fù)載，并給定相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)行仿真，將驅(qū)動(dòng)副驅(qū)動(dòng)力仿真數(shù)值輸出到Matlab，生成仿真曲線，如圖10所示。將圖10和圖9的值進(jìn)行比較，兩者完全相等。因此完成了動(dòng)力學(xué)理論模型和動(dòng)力學(xué)仿真模型的相互驗(yàn)證。

圖9 沿XY軸復(fù)合運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)力理論曲線Fig.9 Theory curves of driving force along XY axis

圖10 沿XY軸復(fù)合運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)力仿真曲線Fig.10 Simulation curves of driving force along XY axis

3 3-P(4S)機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化

3.1 動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)

由于所研究振動(dòng)臺(tái)一般進(jìn)行高頻往復(fù)振動(dòng)，主要考慮動(dòng)力學(xué)公式中的加速度項(xiàng)[18]，所以動(dòng)力學(xué)模型可簡化成

τA=-MAH

(24)

(25)

將式(25)求導(dǎo)，可得

(26)

由式(26)可得

MTMAH=λAH

(27)

式中λ——MTM的特征值

(28)

式中σ——振動(dòng)臺(tái)動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)

σ數(shù)值越小，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能則越好，即選取σ在工作空間W的全域值σ1為優(yōu)化目標(biāo)[19]，即

(29)

3.2 剛度性能指標(biāo)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的簡化剛度矩陣為

K=JTkJ

(30)

為了更直觀地判斷機(jī)構(gòu)剛度性能，對(duì)微位移δD向δF方向進(jìn)行投影，以此可以得到機(jī)構(gòu)受力δF方向上的微位移δD，從而得到移動(dòng)方向剛度[20-21]

(31)

設(shè)δF=Ff，其中f是F方向上單位向量，將其代入式(31)，可得到機(jī)構(gòu)的方向剛度為

KF=fTKTf

(32)

(33)

式中σ*——振動(dòng)臺(tái)動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)

其數(shù)值越大，機(jī)構(gòu)的剛度性能則越好。選取σ*在工作空間W的全域值σ2為優(yōu)化目標(biāo)，即

(34)

3.3 速度性能指標(biāo)

給定驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)一個(gè)可以沿關(guān)節(jié)空間的任意方向單位速度向量，即可得出驅(qū)動(dòng)輸入速度的三維球體，其表達(dá)式為

(35)

通過式(35)可得到所有驅(qū)動(dòng)輸入速度對(duì)應(yīng)的上平臺(tái)輸出速度集合，將其稱為機(jī)構(gòu)的廣義速度橢球。橢球的主軸半徑的長度是矩陣JTJ的特征值的平方根，主軸方向與其特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相同。

圖11和圖12為振動(dòng)臺(tái)在初始位置(結(jié)構(gòu)參數(shù)與之前數(shù)值算例相同)的輸入速度球體和輸出速度橢球，可以看出，輸入速度變化，對(duì)應(yīng)的輸出速度變化程度不同，這說明機(jī)構(gòu)在該機(jī)構(gòu)參數(shù)下的速度傳遞能力不同。從圖11和圖12還可看出，輸出橢球越接近于球體(即其長短軸的長度越接近)，機(jī)構(gòu)速度傳遞性能越相近，其速度性能越好。

圖11 關(guān)節(jié)空間速度向量分布圖Fig.11 Vector distribution of joint space velocity

圖12 操作空間末端速度向量分布圖Fig.12 Vector distribution of end space velocity

因此，可把輸出速度橢球長半軸數(shù)值σmax(J)與短半軸σmin(J)之比作為振動(dòng)臺(tái)速度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，從而得到振動(dòng)臺(tái)的速度性能指標(biāo)為

=

(36)

(37)

3.4 機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)

通過以上分析，最終選取機(jī)構(gòu)的全局最大動(dòng)力傳遞系數(shù)指標(biāo)σ1、全局最小方向剛度指標(biāo)σ2以及全局速度各向同性指標(biāo)σ3作為振動(dòng)臺(tái)的優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)其進(jìn)行綜合考慮。

在加權(quán)求和法的基礎(chǔ)上，得出一種歸一加權(quán)求和法，主要是將各優(yōu)化目標(biāo)看作同等重要，有效避免不同指標(biāo)的側(cè)重不均，從而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)臺(tái)多目標(biāo)優(yōu)化。

首先通過遺傳算法分別對(duì)各優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)多變量優(yōu)化，得出各指標(biāo)在參數(shù)變化范圍內(nèi)的最大值σmax(x)和最小值σmin(x)，并將每個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示為[22-23]

(38)

目標(biāo)函數(shù)fi(x)表示各計(jì)算指標(biāo)在變化范圍內(nèi)所占的比值，可起到消除不同優(yōu)化目標(biāo)對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響不均的作用，使每個(gè)優(yōu)化目標(biāo)對(duì)優(yōu)化結(jié)果同等重要。式(38)可簡化為

fi(x)=ωiσi(x)-gi

(39)

則機(jī)構(gòu)綜合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

(40)

優(yōu)化流程如圖13所示，初始化機(jī)構(gòu)參數(shù)后，求出滿足工作空間要求的末端位姿參數(shù)，根據(jù)式(28)、(33)和式(36)計(jì)算動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)、剛度性能指標(biāo)和速度性能指標(biāo)，然后通過式(29)、式(34)和式(37)得出全局動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)、全局剛度性能指標(biāo)和全局速度性能指標(biāo)，通過式(38)～(40)得出機(jī)構(gòu)綜合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。遺傳算法的參數(shù)設(shè)定首先通過多次試驗(yàn)法確定種群數(shù)量50，遺傳算法終止代數(shù)為100，并應(yīng)用算數(shù)交叉法，將精英個(gè)體數(shù)設(shè)定為2，交叉概率設(shè)定為0.8，對(duì)父代染色體的選擇采用輪盤式選擇法，選擇自適應(yīng)變異法計(jì)算，得到優(yōu)化結(jié)果如圖14所示。

圖13 機(jī)構(gòu)多目標(biāo)性能優(yōu)化流程簡圖Fig.13 Flow chart of multi-target optimization

圖14 機(jī)構(gòu)綜合性能優(yōu)化結(jié)果Fig.14 Optimization results of mechanism performance

由圖14可知，從第70代以后開始接近收斂，此時(shí)，機(jī)構(gòu)綜合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的最小值為fmin(x)=0.137，多目標(biāo)優(yōu)化后的尺寸如表3所示。

將表3中多目標(biāo)優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(28)和式(29)中，通過Matlab數(shù)值計(jì)算，得出機(jī)構(gòu)在優(yōu)化前和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸下的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)圖譜和等高線，如圖15～18所示。機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)變化范圍從優(yōu)化前的[24,42]下降至優(yōu)化后的[14,17]，動(dòng)力學(xué)指標(biāo)全域值從優(yōu)化前的σ1=29.920 5下降至優(yōu)化后的σ1=15.243 4。由此可知，通過多目標(biāo)尺寸優(yōu)化，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能提高到優(yōu)化前的2倍。

表3 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Results of multi-target optimization

圖16 優(yōu)化前動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)等高線Fig.16 Contour of dynamic performance index before optimization

圖17 優(yōu)化后動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)圖譜Fig.17 Atlas of dynamic performance index after optimization

將表3中多目標(biāo)優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(33)和式(34)中，通過Matlab數(shù)值計(jì)算，可得出機(jī)構(gòu)在優(yōu)化前和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸下的剛度性能指標(biāo)圖譜和等高線，如圖19～22所示。機(jī)構(gòu)的剛度性能指標(biāo)變化范圍從優(yōu)化前的[0.04,0.16]提升至優(yōu)化后的[0.3,0.4]，其剛度指標(biāo)的全域值從優(yōu)化前的σ2=0.137 3提升到優(yōu)化后的σ2=0.352 2。由此可知，通過多目標(biāo)優(yōu)化，機(jī)構(gòu)剛度性能提高到優(yōu)化前的3倍。

圖18 優(yōu)化后動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo)等高線Fig.18 Contour of dynamic performance index after optimization

圖19 優(yōu)化前剛度性能圖譜Fig.19 Atlas of stiffness performance index before optimization

圖20 優(yōu)化前剛度性能等高線Fig.20 Contour of stiffness performance index before optimization

圖21 優(yōu)化后剛度性能圖譜Fig.21 Atlas of stiffness performance index after optimization

圖22 優(yōu)化后剛度性能等高線Fig.22 Contour of stiffness performance index after optimization

將表3中多目標(biāo)優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(36)和式(37)中，通過Matlab數(shù)值計(jì)算，可得出機(jī)構(gòu)在優(yōu)化前和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸下的速度性能指標(biāo)圖譜和等高線，如圖23～26所示。從圖中可以看出，尺寸優(yōu)化前機(jī)構(gòu)的速度性能指標(biāo)的變動(dòng)范圍為 [9,15]，其在優(yōu)化前尺寸下的速度性能指標(biāo)的全域值為σ3=10.007 5。尺寸優(yōu)化后速度性能指標(biāo)的變動(dòng)范圍為[4.3,4.8]，其全域值為σ3=4.537 0。由此可知，通過多目標(biāo)優(yōu)化，機(jī)構(gòu)速度性能提升到優(yōu)化前的2倍。

圖23 優(yōu)化前速度性能圖譜Fig.23 Atlas of velocity performance before optimization

圖24 優(yōu)化前速度性能等高線Fig.24 Contour of velocity performance before optimization

圖25 優(yōu)化后速度性能圖譜Fig.25 Atlas of velocity performance after optimization

4 結(jié)論

(1)結(jié)合了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和擬Newton法，建立了混合數(shù)值法求解3-P(4S)并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解。其求解精度遠(yuǎn)高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并有效避免了擬Newton法求解正解受迭代初值影響大的問題，求解效率也高于擬Newton法，可實(shí)現(xiàn)高精度實(shí)時(shí)控制。

(2)建立了3-P(4S)振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，并用動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)所建立模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，為以后分析振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)特性提供了理論基礎(chǔ)。

(3)改進(jìn)了加權(quán)求和法，將各優(yōu)化目標(biāo)的重要程度轉(zhuǎn)化為相近水平，從而對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能、剛度性能和速度性能進(jìn)行了綜合優(yōu)化。經(jīng)過多目標(biāo)的尺寸優(yōu)化，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能和速度性能提升了2倍，剛度性能提升了3倍。

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MechanismAnalysisandMulti-targetPerformanceOptimizationof3-P(4S)ParallelMechanism

ZHAO Xingyu1,2ZHAO Tieshi1,2YUN Xuan1,2WANG Wenchao1,2TIAN Xin1,2LI Zhongjie1,2

(1.HebeiProvincialKeyLaboratoryofParallelRobotandMechatronicSystem,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScience,MinistryofEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The object was to solve the dynamics analysis and multi-target performance optimization of 3-P(4S) parallel mechanism.Firstly, inverse kinematics of 3-P(4S) parallel mechanism was solved, and hybrid numerical algorithm was proposed, which was composed of BP neural network and quasi-Newton method algorithm.The algorithm could solve the forward kinematics of 3-P(4S) parallel mechanism in less than 20 ms by three step iterations, and the accuracy was on the level of 10-8, which can realize the high accuracy and real-time control of 3-P(4S) parallel mechanism.Then the velocity and acceleration of the moving platform and limbs were obtained by the derivative of the position solution.According to the results of kinematic analysis, the dynamic model of the mechanism was constructed by Newton Euler method, and the dynamic simulation of the numerical example was utilized to verify the dynamic model of 3-P(4S) parallel mechanism.From the verification results, both of the two were exactly the same.Finally, considering the dynamic performance, stiffness performance and speed performance of the 3-P(4S) parallel mechanism, an improved genetic algorithm was utilized to optimize the 3-P(4S) parallel mechanism.Through the multi-objective performance optimization, the dynamic performance and speed performance of the mechanism were improved by two times, and the stiffness performance was increased by three times.

parallel mechanism; hybrid numerical algorithm; multi-target; performance optimization

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.050

TP24

A

1000-1298(2017)10-0390-11

2017-02-19

2017-03-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375420)和河北省科技計(jì)劃項(xiàng)目(14961812D)

趙星宇(1991—)，男，博士生，主要從事并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)研究，E-mail: xyzhao@stumail.ysu.edu.cn

趙鐵石(1963—)，男，教授，主要從事并聯(lián)機(jī)器人和多維力傳感器研究，E-mail: tszhao@ysu.edu.cn