基于Stribeck摩擦模型的盤(pán)式摩擦副穩(wěn)定性分析

王延忠 郭 超 賈樹(shù)王 寧克焱 蘭 海

1.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京，1001912.中國(guó)北方車(chē)輛研究所，北京，100072

基于Stribeck摩擦模型的盤(pán)式摩擦副穩(wěn)定性分析

王延忠1郭 超1賈樹(shù)王1寧克焱2蘭 海2

1.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京，1001912.中國(guó)北方車(chē)輛研究所，北京，100072

為了分析摩擦副滑動(dòng)摩擦狀態(tài)下的穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)的失穩(wěn)條件，以Stribeck摩擦模型為基礎(chǔ)，建立了速度相關(guān)的多自由度摩擦副滑動(dòng)穩(wěn)定性分析模型。建立了盤(pán)式摩擦副的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程，進(jìn)行了基于庫(kù)侖摩擦定律摩擦力計(jì)算公式的級(jí)數(shù)展開(kāi)，隨后依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行了系統(tǒng)穩(wěn)定性求解，并分析了系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究結(jié)果表明，采用減小Stribeck系數(shù)和摩擦因數(shù)靜動(dòng)比、減小外載荷和增大系統(tǒng)阻尼等方法，能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

盤(pán)式摩擦副；穩(wěn)定性；Stribeck摩擦模型；動(dòng)力學(xué)方程

0 引言

制動(dòng)器振動(dòng)失穩(wěn)問(wèn)題一直是制動(dòng)器設(shè)計(jì)中亟待解決的問(wèn)題。因振動(dòng)失穩(wěn)而產(chǎn)生的制動(dòng)器嘯叫不僅影響制動(dòng)器壽命，也影響制動(dòng)平穩(wěn)性。20世紀(jì)初，Stribeck通過(guò)對(duì)徑向滑動(dòng)軸承的研究提出了著名的Stribeck曲線(xiàn)[1]。1931年JACOBSEN[2]和DENHARTOG[3]建立了微分方程來(lái)描述單自由度系統(tǒng)的黏滑運(yùn)動(dòng)。20世紀(jì)50年代起，不少學(xué)者針對(duì)摩擦引起振動(dòng)的現(xiàn)象以及滑動(dòng)摩擦的動(dòng)力學(xué)特征等問(wèn)題進(jìn)行了研究[4]。制動(dòng)器發(fā)出尖銳刺耳的高頻噪聲的主要原因是摩擦片和對(duì)偶片相對(duì)摩擦。MARTINS等[5]將摩擦引起的振動(dòng)歸納為兩類(lèi)，即黏滑模式和準(zhǔn)簡(jiǎn)諧模式，發(fā)生的條件在于不同的表面滑動(dòng)速度。BLOK[6]發(fā)現(xiàn)，阻尼的增加能有效減弱黏滑現(xiàn)象，發(fā)生摩擦振蕩的基本條件是在減小摩擦力的同時(shí)，增大滑動(dòng)速度。TOLSTOI[7]和KO等[8]也發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)現(xiàn)象是由相對(duì)滑動(dòng)速度和摩擦因數(shù)的變化引起的。馬建敏等[9]建立了非旋轉(zhuǎn)體在摩擦力作用下的振動(dòng)方程，并研究了其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。學(xué)者們建立的理論和計(jì)算過(guò)程雖有差別，但是其研究的焦點(diǎn)卻是相同的，即振動(dòng)產(chǎn)生的源頭——摩擦片和對(duì)偶片的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

雖然前人進(jìn)行了大量的摩擦振動(dòng)失穩(wěn)研究，但是到目前為止，由摩擦引起的振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象仍然難以完全被解釋清楚，主要原因如下：摩擦過(guò)程是典型的非線(xiàn)性系統(tǒng)，所涉及的參數(shù)復(fù)雜性較高，參數(shù)之間相互影響；摩擦現(xiàn)象不僅涉及表面接觸狀態(tài)，也與潤(rùn)滑和工況有關(guān)。各種因素相互影響，干擾了研究人員的分析。本文從系統(tǒng)建模入手，建立了符合Stribeck摩擦特性的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，將與摩擦相關(guān)的各項(xiàng)因素用摩擦特性曲線(xiàn)的形式表示，再對(duì)統(tǒng)一的摩擦特性進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，簡(jiǎn)化了分析方法，從而通過(guò)穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)系統(tǒng)的主要參數(shù)——外載荷、阻尼和特征速度等進(jìn)行了分析。

1 盤(pán)式摩擦副結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

摩擦副失穩(wěn)現(xiàn)象的本質(zhì)是系統(tǒng)受到微小擾動(dòng)之后出現(xiàn)的系統(tǒng)振動(dòng)不收斂問(wèn)題。對(duì)于高頻振動(dòng)、嘯叫與系統(tǒng)失穩(wěn)成因，公認(rèn)的是系統(tǒng)中的不穩(wěn)定性。造成擾動(dòng)的因素很多，主要有以下幾方面：圓周方向的厚度波動(dòng)；軸向擺動(dòng)；摩擦因數(shù)變化；相對(duì)速度變化；摩擦副的剛度、阻尼；摩擦與耦合條件等。為了探明各因素對(duì)摩擦副振動(dòng)失穩(wěn)的影響程度，需要針對(duì)盤(pán)式摩擦副結(jié)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型。

1.1摩擦副系統(tǒng)

由于軸向載荷對(duì)摩擦副振動(dòng)影響較大[7]，本文建立的動(dòng)力學(xué)模型不僅包含摩擦副旋轉(zhuǎn)方向的自由度，也包含摩擦副軸向的自由度。如圖1所示，摩擦片旋轉(zhuǎn)，對(duì)偶片與機(jī)架固定，由于裝配關(guān)系的存在，對(duì)偶片與支架之間存在接觸關(guān)系。加載力Fapp沿軸向施加，設(shè)定沿加載力方向的位移為x1，摩擦副的半徑為R，摩擦片的轉(zhuǎn)角為θ，摩擦片及其附屬結(jié)構(gòu)質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，k1、k2、k3為系統(tǒng)剛度，F(xiàn)R為摩擦力。

圖1 摩擦副結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 System dynamics model of friction structure

在摩擦副的周向，m2代表對(duì)偶片質(zhì)量，在相對(duì)滑動(dòng)的瞬間，對(duì)偶片一方面受到摩擦片的切向摩擦力，另一方面對(duì)支架施加周向力。m2切向方向的位移設(shè)定為x2，摩擦片的角速度為ω。

1.2動(dòng)力學(xué)微分方程

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程的建立有多種方法，本文采用的是Lagrange系統(tǒng)建模法。Lagrange第二類(lèi)方程的一般形式為

(1)

根據(jù)圖1的動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)動(dòng)能T、系統(tǒng)勢(shì)能V分別為

(2)

(3)

將式(2)求偏導(dǎo)數(shù)，得

(4)

系統(tǒng)動(dòng)能中不含廣義坐標(biāo)，所以求得

(5)

將式(3)對(duì)廣義坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)得

(6)

與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的廣義力

(7)

將式(4)～式(7)代入式(1)，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程表示為

(8)

2 基于Stribeck模型的摩擦穩(wěn)定性計(jì)算

2.1Stribeck模型

根據(jù)Stribeck效應(yīng)所對(duì)應(yīng)表達(dá)形式的差異，Stribeck模型通?？煞譃門(mén)ustin模型、Gauss模型和Lorente模型[10]。本文采用Gauss模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

f(v)=μk+(μs-μk)e-(v/vs)2+σv

(9)

式中，f(v)為Stribeck摩擦因數(shù)；μk為庫(kù)侖模型的滑動(dòng)摩擦因數(shù)；μs為摩擦副的最大靜摩擦因數(shù)；v為摩擦副的相對(duì)滑動(dòng)速度；vs為Stribeck系數(shù)，也稱(chēng)Stribeck速度；σ為黏性系數(shù)。

對(duì)式(9)進(jìn)行求導(dǎo)，獲得一階導(dǎo)數(shù)公式：

(10)

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于相同材料，μk和μs是常量。Stribeck模型描述了摩擦副摩擦因數(shù)的變化，其主要影響參數(shù)為Stribeck系數(shù)vs，圖2所示為不同vs下的Stribeck曲線(xiàn)和Stribeck求導(dǎo)曲線(xiàn)。vs越大，摩擦因數(shù)的極小值越大，摩擦因數(shù)的變化范圍越小。由圖2可見(jiàn)，如果線(xiàn)速度從50 m/s下降到0(即制動(dòng)減速過(guò)程)，則摩擦因數(shù)的變化是非常大的，速度曲線(xiàn)的非線(xiàn)性變化帶來(lái)沖擊，所以符合Stribeck摩擦特性的材料在低速滑動(dòng)過(guò)程中更容易出現(xiàn)振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象。

(a)Stribeck曲線(xiàn)

(b)Stribeck求導(dǎo)曲線(xiàn)圖2 不同vs下的Stribeck曲線(xiàn)和Stribeck求導(dǎo)曲線(xiàn)Fig.2 Stribeck curves and curves of Stribeck derivative under different vs

2.2模型穩(wěn)定性求解

根據(jù)庫(kù)侖定理，摩擦力

FR=x1k2f(vr)

對(duì)FR在(x10,vr=0)進(jìn)行二元泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得

(11)

將式(9)代入式(11)后，就可以計(jì)算出摩擦力FR，然后將式(11) 代入式(8)后，獲得考慮Stribeck摩擦模型的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

(12)

則系統(tǒng)矩陣

(13)

由穩(wěn)定性判定定理得：在一次近似的基礎(chǔ)上，系數(shù)矩陣A的特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線(xiàn)性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階部分R(v)無(wú)關(guān)，所以通過(guò)判定矩陣A特征值實(shí)部的正負(fù)就可以判定非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.3計(jì)算實(shí)例

通過(guò)代入?yún)?shù)，可以計(jì)算出矩陣的特征值。參數(shù)列表見(jiàn)表1。

通過(guò)計(jì)算獲取了不同速度下特征值實(shí)部的曲線(xiàn)分布，如圖3a所示。由于二階數(shù)值相比一階、三階更大，所以單獨(dú)繪制了一階、三階曲線(xiàn)，如圖3b所示?？梢?jiàn)在較高速度下，系統(tǒng)的所有特征值Reω<0，說(shuō)明系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定；但是在較低線(xiàn)速度下，系統(tǒng)呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。由于一階、二階特征值的變化趨勢(shì)相同，但是系統(tǒng)擾動(dòng)對(duì)二階特征值的影響程度更高，故本文重點(diǎn)探究各項(xiàng)參數(shù)對(duì)二階特征值的影響。

(a)特征值實(shí)部一階、二階、三階曲線(xiàn)

(b)特征值實(shí)部一階、三階曲線(xiàn)圖3 特征值實(shí)部曲線(xiàn)Fig.3 Thereal part curves of eigenvalues

3 計(jì)算結(jié)果分析

由于穩(wěn)定性的影響因素眾多，本文進(jìn)行典型參數(shù)的影響性分析。分別獲得外載荷Fapp、阻尼c、Stribeck系數(shù)vs和摩擦因數(shù)(μk和μs)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

圖4所示為外載荷對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，隨著載荷的增大，系統(tǒng)不穩(wěn)定趨勢(shì)增大，但是系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的線(xiàn)速度變化不大。對(duì)比圖5a和圖5b，系統(tǒng)阻尼c3的變化對(duì)一階特征值實(shí)部和二階特征值實(shí)部的影響趨勢(shì)總體相同，但是對(duì)一階特征值影響很小，二階特征值的影響相對(duì)較大。如圖6所示，c1對(duì)系統(tǒng)的一階特征值實(shí)部的影響趨勢(shì)與c3相同，一般來(lái)說(shuō)，c3與制動(dòng)器的支撐結(jié)構(gòu)有關(guān)，c1與摩擦材料特性有關(guān)。阻尼的增大有助于提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，所以在制動(dòng)器摩擦穩(wěn)定性設(shè)計(jì)中，應(yīng)該盡量選擇阻尼較大的摩擦材料。比如目前對(duì)于車(chē)輛摩擦片，紙基材料有替代粉末冶金材料的趨勢(shì)，就是由于紙基材料摩擦穩(wěn)定性更好。

圖4 外載荷對(duì)二階特征值實(shí)部的影響Fig.4 Effect of external load on the 2nd eigenvalue

(a)一階特征值

(b)二階特征值圖5 系統(tǒng)阻尼c3對(duì)特征值實(shí)部的影響Fig.5 Effect of the system damping c3 on the eigenvalue

圖6 系統(tǒng)阻尼c1對(duì)一階特征值實(shí)部的影響Fig.6 Effect of the system damping c1 on the first order eigenvalue

雖然外載荷對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的影響也較強(qiáng)，但是在實(shí)際工程應(yīng)用中外載荷往往有指標(biāo)要求，難以隨意降低或者更改，所以系統(tǒng)的摩擦特性對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響起決定作用。圖7a所示為不同的Stribeck系數(shù)vs對(duì)二階特征值實(shí)部曲線(xiàn)的影響，隨著vs值的減小，系統(tǒng)的擾動(dòng)增強(qiáng)，但是系統(tǒng)卻能更快地進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間大大增加。圖7b所示為系統(tǒng)摩擦因數(shù)靜動(dòng)比μs/μk對(duì)特征值的影響，隨著靜動(dòng)比的增大，系統(tǒng)不穩(wěn)定程度增大。對(duì)于制動(dòng)器而言，提高Stribeck系數(shù)vs是較為復(fù)雜的過(guò)程，這與摩擦副接觸狀態(tài)和潤(rùn)滑狀態(tài)等有關(guān)。通過(guò)改善摩擦副接觸狀態(tài)、潤(rùn)滑狀態(tài)等邊界條件，從而優(yōu)化系統(tǒng)的摩擦因數(shù)曲線(xiàn)，可以有效增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。相比而言，降低系統(tǒng)的靜動(dòng)比更為簡(jiǎn)單，動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)制動(dòng)器設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)一般越大越好，較大的動(dòng)摩擦因數(shù)可以提高摩擦扭矩，使車(chē)輛更快地停下來(lái)，但是較大的摩擦因數(shù)也會(huì)帶來(lái)材料磨損嚴(yán)重的問(wèn)題。

(a)Stribeck系數(shù)對(duì)二階特征值的影響

(b)不同靜動(dòng)比對(duì)二階特征值的影響圖7 Stribeck系數(shù)和不同靜動(dòng)比對(duì)二階特征值的影響Fig.7 Effect of Stribeck coefficient and the dynamic to static rat on the 2nd eigenvalue

4 結(jié)論

(1)盤(pán)式摩擦副在線(xiàn)速度較低時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)，隨著線(xiàn)速度的提高，系統(tǒng)漸進(jìn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。

(2)三階特征值實(shí)部恒為負(fù)值，一階和二階特征值實(shí)部對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性起決定作用，其中，二階特征值影響程度更大。

(3)減小Stribeck系數(shù)和摩擦因數(shù)靜動(dòng)比，減小外載荷和增大系統(tǒng)阻尼，均能提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，其中，減小vs和降低摩擦因數(shù)靜動(dòng)比最為有效。

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StabilityAnalysisofDiscFrictionPairsBasedonStribeckModel

WANG Yanzhong1GUO Chao1JIA Shuwang1NING Keyan2LAN Hai2

1.School of Mechanical Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing,100191 2.National Key Lab. of Vehicular Transmission, China North Vehicle Research Institute,Beijing,100072

In order to obtain system stability of friction pairs under sliding and analyze instability of the system, a multiple-degree-of-freedom and velocity-related sliding stability analysis model was established based on Stribeck friction model herein. The dynamics differential equations were established for the disc-friction pairs and the Coulomb friction formula was expanded with Taylor method. Then the system stability and the effects of key parameters on the system characteristics were analyzed depending on Liapunov’s stability criterion. The results show that the system stability may be intensified by decreasing Stribeck coefficient, ratio of static friction and sliding friction and load, or increasing the system damping etc.

disc friction pair; stability; Stribeck friction model; dynamics equation

TH117

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.21.001

2016-12-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275020)；基礎(chǔ)產(chǎn)品創(chuàng)新科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(20146404)

(編輯陳勇)

王延忠，男，1963年生。北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)榫軅鲃?dòng)技術(shù)及精密齒輪制造。發(fā)表論文100余篇。郭超(通信作者)，男，1986年生。北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。E-mail:buaaguochao@163.com。賈樹(shù)王，男，1992年生。北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。寧克焱，男，1974年生。中國(guó)北方車(chē)輛研究所研究員。蘭海，男，1983年生。中國(guó)北方車(chē)輛研究所高級(jí)工程師。