壓縮編碼孔徑成像重構算法

高宇軒，孫華燕，張廷華，都 琳

(裝備學院 光電裝備系， 北京 101416)

【基礎理論與應用研究】

壓縮編碼孔徑成像重構算法

高宇軒，孫華燕，張廷華，都 琳

(裝備學院 光電裝備系， 北京 101416)

現(xiàn)有光測成像設備易受到目標特性、天氣、成像系統(tǒng)等多種因素影響，傳統(tǒng)成像體制下難以突破探測器和光學系統(tǒng)限制，無法實現(xiàn)目標場景的高分辨率成像以及圖像的快速傳輸和實時處理。壓縮編碼孔徑成像技術作為一種新型成像體制，可突破探測器成像極限，實現(xiàn)超分辨率成像。該成像體制主要利用圖像的稀疏性，通過重構算法求解數(shù)學模型進而高分辨率恢復目標圖像；重構算法是壓縮編碼孔徑成像過程的關鍵步驟，在一定程度上決定了圖像的重構精度以及重構速度；對現(xiàn)有的壓縮編碼孔徑成像重構算法進行分類總結(jié)，并對典型算法進行仿真驗證，可為該領域未來的研究提供借鑒。

壓縮編碼孔徑；重構算法；超分辨率重構

傳統(tǒng)的光學成像方式是通過構建光學系統(tǒng)，利用探測器直接成像。提升成像分辨率意味著增大光學系統(tǒng)焦距、口徑或減少探測器像元尺寸、增加陣元數(shù)量，這就使得成像系統(tǒng)復雜度以及實現(xiàn)難度非線性增加。壓縮感知(Compressive Sensing，CS)[1-2]理論的出現(xiàn)，為提高光學成像探測分辨率提供了一種新的思路。該理論充分利用圖像的稀疏性和可壓縮性，指出對目標場景進行多次低分辨率觀測就可以精確重構出目標圖像。因此，壓縮編碼孔徑成像技術應運而生。該技術通過在光學系統(tǒng)的適當位置添加孔徑編碼器件，對圖像信號進行線性投影，實現(xiàn)對目標的壓縮采樣，而后利用重構算法對多次觀測后獲取的混疊圖像進行解碼重構。這不僅減少了圖像存儲、傳輸和處理過程中的信息量，也極大地降低了對后端探測器的要求，可實現(xiàn)超分辨率重構。其重構精度與目標的稀疏特性、編碼方式和重構算法有關，目標的稀疏特性決定了重構所需觀測次數(shù)，也就是測量率；編碼方式的選取決定了重構能否進行；重構算法則直接決定了成像精度與重構速度。

1 壓縮編碼孔徑成像系統(tǒng)基本原理

壓縮編碼孔徑(Compressive Coded Apertures，CCA)成像是[3-4]在編碼孔徑成像的基礎上應用壓縮感知原理提出的一種新型成像機制。當一幅圖像在某變換域下能夠稀疏表示時，可通過低分辨率觀測值重構出高分辨率圖像。與傳統(tǒng)光學成像不同，光通過編碼孔徑模板多次壓縮采樣后在探測器上所成的是交錯、混疊的二維模糊圖像，需要利用重構算法進行反演重構，達到高分辨率恢復目標圖像。理論上講，壓縮編碼孔徑成像方式可使探測器分辨率遠小于編碼孔徑分辨率的情況下，重構出與編碼孔徑分辨率相同的圖像信號[5]。其成像過程如圖1所示。

圖1 壓縮編碼孔徑成像原理

從圖1可以看出，整個壓縮編碼孔徑成像過程主要包含兩個核心內(nèi)容：壓縮編碼部分和解碼重構部分。關鍵技術包括目標稀疏特性、孔徑編碼模式以及重構算法3個方面。對目標的稀疏特性進行分析是在該場景下選擇更恰當?shù)木幋a模式；良好的編碼模式主要是為了確保對目標圖像進行壓縮采樣的過程中，也就是原始信號投影到低維空間的過程中主要信息不丟失；重構算法主要負責從低維空間中精確重構原始信號。其中重構算法是壓縮感知領域的核心內(nèi)容，在壓縮編碼孔徑成像過程中直接影響圖像的重構精度、重構速度以及對噪聲的魯棒性等。

2 重構算法

重構是指從低維觀測信號中恢復出高維信號的過程，目標圖像的稀疏重構過程可以看成是求解優(yōu)化問題。重構算法主要分為貪婪算法和凸優(yōu)化算法[6]。貪婪算法是針對求解L0范數(shù)最小化提出的，算法重構精度相對較低、重構所需觀測次數(shù)較高，應用范圍廣。凸優(yōu)化算法是針對L1范數(shù)最小化模型提出的，此類算法重構精度較高，所需觀測次數(shù)少，但是計算復雜度較大，當圖像規(guī)模較大時處理較為困難。

2.1 貪婪算法

貪婪算法通過每次迭代過程中選擇局部最佳匹配原子逼近信號，此類算法應用相對成熟。匹配追蹤(MP)算法[7]每次迭代過程中只能選取與信號最匹配的一個原子進行稀疏逼近并求出余量，然后再選取與余量最匹配的原子。但是在迭代過程中無法保證選取的原子與殘差值正交，且迭代次數(shù)較多，算法有較大的局限性。正交匹配追蹤(OMP)算法[8]彌補了MP算法的不足，迭代過程中仍然只能選取一個原子，但是對已選擇的原子進行Gram-Schmidt正交化以保證迭代的最優(yōu)性，減少迭代次數(shù)。

由于MP算法和OMP算法每次迭代只能選取一個原子，算法的效率不高。采用閾值原則的分段正交匹配追蹤(StOMP)算法[9]和正則正交匹配追蹤(ROMP)算法[10]有效解決了這一問題。這兩種算法的時間復雜度雖然有所降低，但需要很大的觀測值才能較為精確的重構出目標圖像。之后，有學者引入具有回溯思想的壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)算法和子空間追蹤(SP)算法，此類算法的優(yōu)勢在于可以同時選取多個原子，并對選取的支撐集原子進行回溯以剔除錯誤原子，提高了算法的效率。

以上所有算法都是在稀疏度K已知的前提下進行的，實際應用中稀疏度K往往都是未知的。稀疏度自適應算法(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP)[11]可在稀疏度未知的情況下重建出原始信號。該算法通過設置可變步長T來逐步逼近信號。如果步長T遠小于稀疏度K，則需要大量的迭代次數(shù)；如果S取值過大，會導致稀疏度估計值與實際值相差較大，重構誤差較大。除此之外，在迭代初始沒有對原子進行篩選，可能會選擇錯誤原子，降低重構精度。在以上算法的基礎上，學者們又進行改進，提出了各種優(yōu)化算法。表1為各貪婪算法性能對比。

2.1.1 典型貪婪算法的優(yōu)化方法

1) 多候選集廣義正交匹配追蹤(MsGOMP)算法[12]

針對貪婪類信號重構算法精度不高的問題，按照測量矩陣與殘差內(nèi)積的相關性選出多個候選集，降低了因相關性而錯選原子的概率，提高重構精度。在迭代過程中分別將多個原子加入對應候選集，提高算法收斂速度，同時降低了算法的復雜度，最終從多個候選集中選出殘差最小的作為最終支撐集。但是MsGOMP算法在重構時間上處于劣勢，并且候選集數(shù)量越多，所需重構時間越長。

2) CoSaMP算法的優(yōu)化方法

壓縮采樣硬閾值追蹤(CoSaTP)算法[13]針對CoSaMP算法每次迭代選擇與剔除原子的原則不同導致支撐集選取不精確的問題，在剔除原子時結(jié)合硬閾值追蹤(HTP)算法的思想，保證選擇與剔除的標準相一致。并且該算法同時具有CoSaMP算法和HTP算法的優(yōu)勢，可以更加準確的獲取支撐集，重構精度較CoSaMP算法有較大提高，具有較好的魯棒性和抗噪能力；改進的稀疏度自適應壓縮采樣匹配追蹤(MACSMP)算法[14]針對CoSaMP算法需要稀疏度K已知的局限性，通過預先估計獲得一個粗略的稀疏度值K0，結(jié)合變步長自適應思想，逐漸逼近真實值。因此，可以在稀疏度未知的情況下進行重構。并且在迭代過程將正則化思想引入進一步篩選原子，從而提升算法的重構精度。與SAMP、OMP、CoSaMP相比，計算量較低，運行時間較短，克服了CoSaMP、SAMP算法的不足。

表1 各貪婪算法優(yōu)劣勢對比

3) DStOMP算法[15]

StOMP算法需要經(jīng)驗性的設置閾值和迭代次數(shù)，人為設置的參數(shù)值往往不可靠。針對此問題，利用粒子群算法對StOMP算法參數(shù)設置進行優(yōu)化，提高StOMP算法的性能。粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)[16]是一種基于迭代的優(yōu)化算法，具有收斂速度快、參數(shù)設置簡單，是一種高效的尋優(yōu)算法。

蒼頡作書，史皇作圖，容成作歷，大撓作甲子，羲和作占日，恒羲作占月，后益作占歲，隸首作數(shù)，燧人氏鉆木出火，黃帝作火食，神農(nóng)作耒，古者垂作耒耜，黃帝作冕，神農(nóng)作琴，蚩尤作兵……[注]孫馮翼：《世本八種》，北京：中華書局，2008年，第3頁。

4) 基于拋物線變步長的稀疏度自適應正則回溯型匹配追蹤(SAMP-PVRB)算法[17]

稀疏度自適應正則回溯型匹配追蹤(SAMP-RB)算法將正則化原則選擇和回溯思想引入SAMP算法中，可以剔除錯誤原子，提高重構精度。但是該算法步長不變，實際重構過程中會對重構效率造成影響。因為步長對于逼近稀疏度至關重要，步長選擇過小，迭代次數(shù)增加，影響稀疏度的逼近過程。SAMP-PVRB算法利用拋物線步長初始階段變化率大于對數(shù)步長這一性質(zhì)引入變步長思想 可改善SAMP-RB算法采用固定步長而存在的初始階段逼近速度較慢，后期階段逼近程度差的問題。

5) 正則化稀疏度變步長自適應匹配追蹤(RSVssAMP)算法[18]

該算法相比于傳統(tǒng)的貪婪算法，除了可以自適應估計稀疏度之外，還可以重構的過程中正則化以更加精確的選取原子加入支撐集中，并利用雙重閾值實現(xiàn)步長的自適應變化，達到大步長快速接近、小步長精確逼近。使重構信號與真實值更加逼近，進一步提高重構精度。RSVssAMP算法特別適用于對重構精度和重構速度要求較高的情況，具有非常重要的應用價值。

除了上述幾種改進算法，正則化自適應匹配追蹤(RAMP)算法[19]則是在ROMP算法正則化的基礎上，結(jié)合了SAMP算法自適應思想，實現(xiàn)了在未知稀疏度的前提下步長逐步逼近K進而精確重建出原始信號的目的；基于分段正則化子空間追蹤(SRSP)算法[20]綜合StOMP算法的時間復雜度特性、ROMP算法重構速度和SP算法重構精度的優(yōu)點，對圖像重構效果比較理想，圖像細節(jié)和圖像的連續(xù)性都保持較好，與 MP、OMP、StOMP、CoSaMP和SP算法的重構性能相比，重構時間最低，重構圖像的Match和PSNR值高于其他算法；分步子空間追蹤的稀疏信號恢復方法(SSP)[21]則是結(jié)合了StOMP 算法的尋找支撐集原子的低時間復雜度和SP算法在重構信號時的高重構精度。

2.2 凸優(yōu)化算法

基追蹤(BP)算法具有全局最優(yōu)的特征，因此算法的重構精度較高。但由于受到自身結(jié)構限制，重構時間較長，尤其在處理大尺寸結(jié)構時更為明顯。梯度投影法是從可行性點出發(fā)，沿著下降方向進行可行性搜索，以此求出新的可行性點使目標函數(shù)值降低。梯度投影算法簡單易用，圖像重構效果比較好，尤其是對稀疏度較高的圖像在較低的采樣率下就可以較清晰的重構出目標圖像，并且有著較快的運行速度。缺陷在于在較低測量率的情況下，重構的圖像質(zhì)量急劇下降。最小全變分法是從自然圖像的離散梯度基本都是稀疏的角度出發(fā)，提出的一種更適合二維圖像重構的算法。目前，在壓縮編碼孔徑成像領域應用較廣泛是事梯度投影法和最小全變分算法。

為了客觀的分析比較各凸優(yōu)化算法的性能，各類凸優(yōu)化算法的優(yōu)劣勢如表2所示。

典型凸優(yōu)化算法的優(yōu)化方法:

1) 擬牛頓法引入投影算法(CGSR-QN)[27]

針對梯度投影法收斂速度慢、迭代次數(shù)多、對數(shù)據(jù)稀疏度過分敏感等問題。將擬牛頓法引入稀疏梯度投影算法以計算梯度下降方向，并利用擬牛頓法的估計校正機制以及全局超線性收斂性，通過對目標函數(shù)的校正，獲得更精確的搜索方向，從而減少迭代次數(shù)，構成有效收斂的圖像恢復算法。改進的算法在保證較好圖像恢復效果的同時具有較好的抗噪性能，并且在減少迭代次數(shù)的基礎上能有效降低重構誤差，得到穩(wěn)定收斂的重構結(jié)果。

表2 凸優(yōu)化算法優(yōu)劣勢

2) TV minimization scheme based on augmented Lagranian and alternating direction algorithms算法[28]

最小全變分模型可以有效的解決圖像壓縮重構問題，重構結(jié)果精確并且魯棒性較好，問題是重構速度較慢。為了彌補TV算法的不足，在最小全變分算法的基礎上，加入增廣拉格朗日和交替最小化方法提出TV minimization scheme based on augmented Lagranian and alternating direction algorithms算法，簡稱TVAL3算法。該算法使用增廣拉格朗日形式對壓縮感知圖像復原問題進行轉(zhuǎn)化，并采用交替方向方法尋找最優(yōu)解。由于TVAL3算法利用圖像的二維梯度求解，能較好的保持圖像原來的輪廓，而可以得到較好的圖像重建效果。同時，為了加快重構速度，TVAL3算法采用一步梯度下降方法迭代，理論上大大減少算法運行時間。

3) 二維梯度投影算法及其優(yōu)化算法

二維梯度投影追蹤(2-Dimensional Projected Gradient,2DPG)[29]是一種基于全變分正則化的壓縮感知重構算法，由迭代投影和雙變量閾值收縮兩部分構成，是建立在二維觀測模型下對圖像直接進行壓縮重構的新型算法，與一維壓縮重構算法相比可以更好的保留圖像細節(jié)信息。該算法利用兩個互不相關的觀測矩陣同時對圖像信號的行與列觀測，很好的保留了圖像塊之間的結(jié)構相似性，有利于提高重構質(zhì)量。針對2DPG算法受閾值參數(shù)影響較大提出自適應二維梯度投影重構算法(A-2DPG)[30]，閾值參數(shù)可以隨著圖像特征的不同進行自適應調(diào)整；針對2DPG算法中利用梯度下降法估計最小TV解時需要人工設置步長提出基于回溯線搜索的2DPG追蹤 2DPG-BTLS算法[31]；針對梯度下降法線性收斂速度較慢、魯棒性差的問題，提出基于BB[32]步長搜索的二維梯度投影追蹤算法[31]。

目前，貪婪算法中應用較為廣泛的是OMP算法及其改進算法，其優(yōu)勢在于降低了重構算法的計算復雜度，缺點在于需要較多的觀測次數(shù)，對維數(shù)較低的小尺度信號重構問題重構速度較快[33]。對于存在噪聲的大尺度信號所需的觀測次數(shù)較多，并且隨著稀疏度的降低重構速率也不斷下降，重構精度較差；凸優(yōu)化算法重構圖像所需觀測次數(shù)較少，重建圖像的能力較強，但計算復雜度相對較高、耗時較長。其中梯度投影算法應用較多，雖然該算法在重構速度上優(yōu)勢明顯，但重構精度有所欠缺。最小全變分算法重構精度高，對圖像輪廓的恢復效果較好，并且對噪聲具有較高的魯棒性。 為了更好的說明各算法的重構性能，選用典型的SP算法、OMP算法和最小全變分算法進行仿真實驗分析。

3 性能分析

上文中對各種重構算法進行了介紹，為了直觀說明各算法的性能，本節(jié)針對貪婪算法中的OMP算法、SP算法和凸優(yōu)化算法中的TVAL3算法性能進行仿真分析。以MATLAB 2012a作為仿真實驗平臺，高斯隨機矩陣作為測量矩陣，選取256*256的 Lena、Cameraman和Barbara圖像作為測試圖像，其中Lena圖像紋理結(jié)構較為簡單，Barbara圖像紋理結(jié)構較復雜，Cameraman圖像介于兩者之間。實驗通過在不同測量率下對3幅測試圖像進行重構，以重構錯誤率、峰值信噪比PSNR值以及重構時間作為衡量標準。SP算法、OMP算法和TVAL3算法在測量率為0.1、0.3和0.5時對Lena圖像的重構結(jié)果如圖2、圖3和圖4所示。

根據(jù)以上仿真實驗結(jié)果，直觀上看，TVAL3算法的重構效果更好，并且在較低的測量率下就可較為清晰的重構出目標圖像。為了量化表達結(jié)果，客觀的分析各算法的重構性能，在不同測量率下個圖像的重構圖像PSNR值和重構錯誤率和重構時間如表3所示。

圖2 測量率為0.1時重構結(jié)果

圖3 測量率為0.3時重構結(jié)果

測量率SPPSNR錯誤率/%時間/msOMPPSNR錯誤率/%時間/msTVAL3PSNR錯誤率/%時間/ms0．120．3716．721．0020．6315．450．2531．145．034．520．325．1710．014．6825．299．871．3732．164．479．830．528．776．6112．5427．757．432．1132．314．4015．83

通過分析對比SP、OMP、TVAL3算法在不同測量率下的重構圖像峰值信噪比以及重構錯誤率可知：在相同測量率下TVAL3算法的重構圖像PSNR值最高，并且錯誤率最低，重構圖像的效果最好，而且在測量率為0.1時就可以較清晰的重構出目標圖像。而SP算法和OMP算法在低測量率下PSNR值非常低，重構錯誤率較高。隨著測量率的提高，PSNR值有較大的提升，錯誤率有較大的降低。而TVAL3算法重構性能較為穩(wěn)定，隨著測量率提高，PSNR值增加幅度較小，在測量率為0.5左右時，SP算法與OMP算法重構結(jié)果與TVAL3算法較為接近。總而言之，TVAL3算法重構效果更好，優(yōu)勢較為明顯，可作為重構算法的研究重點。

4 結(jié)論

壓縮編碼孔徑成像技術，是國內(nèi)外研究的熱點。尤其在軍事上對目標識別、景象記錄、高分辨率成像以及圖像的快速傳輸和實時處理等方面具有重要的應用價值。無論是貪婪算法還是凸優(yōu)化算法，各算法的穩(wěn)定性和適應性較差，重構結(jié)果受編碼方式和目標特性的影響較大，只有在特定的目標場景和觀測條件下才能獲得較好的重建效果。如何構造更穩(wěn)定、計算復雜度低且需要較少觀測次數(shù)的重構算法是一個重要的研究方向。另外，現(xiàn)有的重構算法其數(shù)學模型都是在無噪聲場景構建的[34]，但在實際觀測過程都會引入噪聲。因此，在考慮噪聲的情況下以及針對不同噪聲類型構建不同的重構方法，對提高重構圖像的分辨率具有重大的現(xiàn)實應用價值。

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CalibrationofReconstructionAlgorithmforCompressiveCodedApertureImaging

GAO Yuxuan， SUN Huayan， ZHANG Tinghua， DU Lin

(Institute of Photo-Electricity Equipment, Academy of Equipment of PLA, Beijing 101416, China)

The existing optical imaging equipment is susceptible to target characteristics, weather, imaging system and other factors. Compressive coding aperture technology, as a new type of imaging system, could break through the imaging detector limit, and realize the super-resolution imaging. The imaging system mainly uses the sparseness of the image, and reconstructs the mathematical model by reconstructing the algorithm, and then reverts the target image with high resolution. The reconstruction algorithm is a critical step in compressed coded aperture imaging to a certain determines the quality of the reconstructed image. The existing compression coding aperture imaging reconstruction algorithm is classified and summarized, which can provide reference for research of this field for the future.

compressive coded aperture; reconstruction algorithm; super-resolution imaging

2017-05-25；

2017-06-20

高宇軒(1993—)，女，碩士研究生，主要從事壓縮編碼成像技術研究。

10.11809/scbgxb2017.10.039

本文引用格式：高宇軒，孫華燕，張廷華，等.壓縮編碼孔徑成像重構算法[J].兵器裝備工程學報，2017(10):191-196.

formatGAO Yuxuan，SUN Huayan，ZHANG Tinghua,et al.Calibration of Reconstruction Algorithm for Compressive Coded Aperture Imaging[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(10):191-196.

TN911.73

A

2096-2304(2017)10-0191-06

(責任編輯唐定國)