簡單半全局幅值自適應(yīng)極值搜索算法仿真研究

李海燕，王佩飛，李成立

(海軍航空工程學(xué)院 a.控制工程系; b.研究生管理大隊(duì)， 山東 煙臺(tái) 264001)

【信息科學(xué)與控制工程】

簡單半全局幅值自適應(yīng)極值搜索算法仿真研究

李海燕a，王佩飛b，李成立b

(海軍航空工程學(xué)院 a.控制工程系; b.研究生管理大隊(duì)， 山東 煙臺(tái) 264001)

針對(duì)如何使系統(tǒng)的輸出量自適應(yīng)地收斂并穩(wěn)定于它的全局最優(yōu)值并減弱系統(tǒng)輸出顫振的問題，提出基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的簡單半全局極值搜索算法，構(gòu)造了平均化系統(tǒng)，對(duì)改進(jìn)的的半全局極值搜索算法的收斂性、準(zhǔn)確性和快速性進(jìn)行了分析；仿真結(jié)果表明：基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的簡單半全局極值搜索算法可搜索至全局極值，并能夠有效減弱系統(tǒng)輸出顫振，改善算法穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

幅值自適應(yīng)；極值搜索算法；輸出顫振

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)參考輸出量與參考輸入量之間通?？梢詷?gòu)成某種未知的參考軌跡，而這種參考軌跡關(guān)系則意味著在參考輸入的作用下，系統(tǒng)的輸出軌跡中存在一個(gè)全局極值點(diǎn)(極大值或者極小值)[1-2]。目前，在極值搜索算法控制系統(tǒng)的控制對(duì)象中，被控對(duì)象的輸出函數(shù)一般只能有一個(gè)極值點(diǎn)。假如輸出函數(shù)具有多個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)極值搜索算法的研究現(xiàn)狀，并不能保證系統(tǒng)的輸出能夠收斂到它的全局極值點(diǎn)。針對(duì)實(shí)際操作中被控對(duì)象的輸出函數(shù)普遍存在多個(gè)極值點(diǎn)的情況，如何快速搜索到系統(tǒng)的輸出量并使其收斂于它的全局極值點(diǎn)，是極值搜索算法一個(gè)有待解決的問題。在一般的傳統(tǒng)極值搜索算法的反饋通路中，通常都裝置有高通濾波器[7]，但這并不確保目標(biāo)函數(shù)能夠最終收斂至全局極值點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]提出了簡單半全局極值搜索算法，該算法在目標(biāo)函數(shù)滿足一定條件下，能夠使系統(tǒng)輸出量收斂至全局極值點(diǎn)，但為了保證算法的準(zhǔn)確性，通常選取較小的反饋增益值，所以對(duì)算法的快速性有較大影響。

針對(duì)簡單半全局極值搜索算法因反饋增益參數(shù)的選取存在的準(zhǔn)確性和快速性互相制約的問題，本文在簡單半全局極值搜索算法的基礎(chǔ)上，提出一種基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法，運(yùn)用平均化[4]方法證明了該極值搜索算法的收斂性，放寬了對(duì)反饋增益要求選取較小值的限制，確保算法快速性的同時(shí)不影響算法的準(zhǔn)確性。此外，該算法還具有能夠有效消除輸出顫振，收斂速度自適應(yīng)能力強(qiáng)等特點(diǎn)。

1 基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法

如圖1所示，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法結(jié)構(gòu)

假設(shè)1：目標(biāo)函數(shù)h(·)存在唯一全局最大值x*∈R滿足

h′(x*)=0,h″(x*)<0

h(x*)>h(x), ?x∈R,x≠x*

當(dāng)不考慮系統(tǒng)中的高通濾波器和低通濾波器時(shí)，可得

(5)

應(yīng)用平均化方法[5]構(gòu)造輔助梯度函數(shù)，可以得到

(6)

其中

f(x)=h(x+ad(t))d(t)

引入時(shí)間刻度σ=kδrt,將其代入式(6)可以得到

(7)

令式(7)左端為零，得到僅含x和λ的方程

0=μav(x,a)=a·p(x,a)

(8)

假設(shè)2：方程(8)存在實(shí)根x=l(a)滿足:

1)l是連續(xù)的，且p(l(a),a)<0, ?a≥0。

2) 存在a*>0對(duì)所有的a≥a*，x=l(a)是方程(8)的唯一實(shí)根。

3)l(0)=x*，其中x*是全局極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量。

簡單半全局極值搜索算法能否收斂至全局極值與目標(biāo)函數(shù)存在的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān)，僅與x隨a變化的軌跡相關(guān)，由假設(shè)1可知，考慮輸出函數(shù)y=h(z)是未知的，為使算法收斂至全局極值通常需要選擇較大的幅值初始值a(0)=a0。

引理1[5]：系統(tǒng)(1)至(3)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，周期激勵(lì)信號(hào)滿足式(4)，如果對(duì)任意的正實(shí)數(shù)集合(Δ,υ)和a0>a*，存在KL類函數(shù)β=βλ0,Δ,υ，參數(shù)r*=r*(a0,Δ,υ)>0，參數(shù)r∈(0,r*)，使(x(t0),a(t0))滿足a(t0)=a0且x(t0)-l(a0)≤Δ，則當(dāng)t≥t0≥0時(shí)系統(tǒng)(5)滿足：

x(t)-l(a(t))≤β(x(t0)-l(a(t0)),δ(t-t0))+υ

2 收斂性分析

針對(duì)基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法的收斂性進(jìn)行分析。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)滿足假設(shè)1。由圖1可知，系統(tǒng)輸出為y=h(z)=h(x+ad(t))，用Taylor公式展開

y=h(z)=h(x+ad(t))=

(9)

對(duì)式(1)應(yīng)用平均化方法展開[5]，可以認(rèn)為狀態(tài)變量x的變化頻率比調(diào)制激勵(lì)信號(hào)ad(t)和解調(diào)激勵(lì)信號(hào)δd(t)慢得多，因此可以認(rèn)為信號(hào)x在某時(shí)刻不隨時(shí)間變化，所以可將信號(hào)中僅含x的部分即y=h(x)視為低頻信號(hào)；而含有周期信號(hào)d(t)的部分視為高頻信號(hào)，則高頻部分表示為

(10)

即y=h(z)=h(x+ad(t))用Taylor公式展開

y=h(x+ad(t))=h(x)+g(t,x,a)

(11)

其中，h(x)是由式(9)定義的低頻信號(hào)，g(t,x,a)是由式(10)定義的高頻信號(hào)。

針對(duì)圖1所示的算法，暫不考慮高通濾波器和低通濾波器，則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(12)

將式(11)代入式(12)后，把得到的式子進(jìn)行平均化得到下式：

因?yàn)橐呀?jīng)假設(shè)周期激勵(lì)信號(hào)d(t)的頻率為ω=1，并且滿足條件(4)，考慮h(x)中僅含有x項(xiàng)，則由式(4)得到：

即在系統(tǒng)未帶高通濾波器和低通濾波器的情況下，對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行平均化計(jì)算得到：

(13)

如圖1所示的基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法中，反饋通路中的信號(hào)y=h(x+ad(t))經(jīng)過理想高通濾波器后濾過低頻部分h(x)，得到僅含高頻信號(hào)的部分：

y-β=g(t,x,a)

(14)

將式(10)代入式(1)后，對(duì)式(1)進(jìn)行平均化：

(15)

其中

(16)

g(t,x,a)引用于式(10)，由式(13)、(14)和式(15)，引入高通濾波器后并沒有改變系統(tǒng)平均化后的狀態(tài)方程形式。

在理想情況下，信號(hào)經(jīng)過高通濾波器后的輸出信號(hào)y-β要再與激勵(lì)信號(hào)δd(t)相乘，得到反饋信號(hào)為

在理想情況下，可以得到系統(tǒng)輸出函數(shù)對(duì)于狀態(tài)變量x的梯度。根據(jù)自適應(yīng)控制中的梯度法，為了使系統(tǒng)取得輸出極值，沿輸出函數(shù)的負(fù)梯度方向變更參數(shù)是合理的，經(jīng)過積分環(huán)節(jié)，驅(qū)使參數(shù)x向損失函數(shù)達(dá)到極值時(shí)對(duì)應(yīng)的x*運(yùn)動(dòng)，最終當(dāng)x=x*時(shí)，系統(tǒng)輸出y也取得極值。

(17)

通過式(17)構(gòu)造關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)變量x和幅值自適應(yīng)律a的方程，得到

0=gav(x,a)=a·p(x,a)

(18)

假設(shè)方程(18)存在唯一實(shí)根x=l(a)滿足假設(shè)2。針對(duì)圖1所示的基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法，由引理1可得，通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，可以使系統(tǒng)狀態(tài)變量x從任意大的初始值收斂至l(a*)任意小的鄰域內(nèi)，即存在

存在χa∈KL和χa(s,0)=s對(duì)所有的a(t0)=a0∈R滿足：

a(t)≤χa(a(t0),rδ(t-t0))， ?t≥t0≥0

其中，l(·)是連續(xù)的，且l(0)=x*。得到：

其中，x*是目標(biāo)函數(shù)h(·)取得全局極值時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)變量。

綜上所述，通過以上收斂性分析可以得到如下結(jié)論：

定理1：如果式(1)～式(3)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，激勵(lì)信號(hào)滿足式(4)，參數(shù)k和r滿足引理1時(shí)，則如圖1所示的基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的半全局極值搜索算法可收斂至目標(biāo)函數(shù)的全局極值，且其在全局極值點(diǎn)處是半全局漸近穩(wěn)定的。

由式(13)、式(15)、式(16)和式(18)可知，影響半全局極值搜索算法收斂性的主要是如式(18)所確定的關(guān)于x和a的方程，只要該方程的根的軌跡滿足假設(shè)2，無論反饋通路中有無高通濾波器和低通濾波器，算法都可收斂至目標(biāo)函數(shù)的全局極值。

3 仿真分析

現(xiàn)選取幅值和頻率都為1的正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行仿真。采用圖1中的算法結(jié)構(gòu)，選取目標(biāo)函數(shù)為

(19)

目標(biāo)函數(shù)h(z)軌跡如圖2所示，x隨a變化軌跡如圖3所示。

圖2 目標(biāo)函數(shù)軌跡

圖3 x隨a變化軌跡

由圖2可知，h(z)在z=-5處存在局部極大值91.7，在z=-2處存在極小值-25.3，在z=3處存在全局極大值433。對(duì)式(19)進(jìn)行平均化計(jì)算，可以得到：

由圖3右側(cè)單調(diào)遞減軌跡可知，a由5遞減接近至0時(shí)，x隨a變化最終達(dá)到目標(biāo)函數(shù)收斂至全局極值時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)x=3，且x隨a變化軌跡滿足假設(shè)2。

為驗(yàn)證改進(jìn)算法對(duì)系統(tǒng)收斂性和準(zhǔn)確性的影響，選取k=0.1，r=12，x初始值設(shè)定為x0=-6，ωh=1，ωl=0.1，其中z=x+ad(ωt)，并與基于高通濾波器的半全局極值搜索算法(圖4)進(jìn)行比較，選取δ=0.003，ε=1，λ0=3，ρ(λ)=λ則λ=3e-0.001t，x初始值設(shè)定為x0=-6，ωh=1.5，其中z=x+λd(ωt)。帶高通濾波器的系統(tǒng)輸出和系統(tǒng)狀態(tài)如圖5和圖6所示，改進(jìn)的幅值自適應(yīng)算法的系統(tǒng)輸出和系統(tǒng)狀態(tài)如圖7和圖8所示。

圖4 基于高通濾波器的半全局極值搜索算法結(jié)構(gòu)

圖5 帶高通濾波器的系統(tǒng)輸出

圖6 帶高通濾波器的系統(tǒng)狀態(tài)

圖7 改進(jìn)算法的系統(tǒng)輸出

圖8 改進(jìn)算法的系統(tǒng)狀態(tài)

由圖5至圖8可知，基于幅值自適應(yīng)的的半全局極值搜索算法能夠收斂至目標(biāo)函數(shù)的全局極值，較之未改進(jìn)算法的情況減弱了輸出顫振。

4 結(jié)論

本文針對(duì)如何使系統(tǒng)的輸出量自適應(yīng)地收斂并穩(wěn)定于它的全局最優(yōu)值并減弱系統(tǒng)輸出顫振的問題，提出了基于幅值自適應(yīng)調(diào)節(jié)的簡單半全局極值搜索算法。構(gòu)造了平均化系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的收斂性，仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法可行有效。同時(shí)基于幅值自適應(yīng)的半全局極值搜索算法可以選取較大的反饋增益值，確保算法快速性的同時(shí)不影響算法的準(zhǔn)確性，改善了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。

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SimulationResearchonSemi-GlobalExtremumSeekingAlgorithmwithAmplitudeTunedAdaptively

LI Haiyana， WANG Peifeib， LI Chenglib

(a.Department of Control Engineering; b.Graduate Students’ Brigade, Naval Aeronautical and Astronautical Institute, Yantai 264001， China)

To solve the problem of how to drive the output of the controlled system to be adaptively stable and converge to its global optimum as well as attenuate the output chatter without the knowledge of the reference trajectory relation of the controlled system, a kind of multi-parameter extremum seeking algorithm with amplitude tuned adaptively is proposed,which improves the system performance. The paper constructs the averaged system and proves the convergence, accuracy and rapidity of algorithm. And the simulation of the example system is implemented. The simulation results demonstrate that the extremum seeking algorithm with mplitude tuned adaptively can drive the output of the controlled system to be adaptively stable and converge to its global optimum, attenuate state chatter, and improve stability and accuracy of algorithm.

amplitude tuned adaptively; extremum seeking algorithm; output chatter

2017-06-25；

2017-07-21

李海燕(1979—)，女，副教授，主要從事光電技術(shù)研究。

10.11809/scbgxb2017.10.024

本文引用格式：李海燕，王佩飛，李成立.簡單半全局幅值自適應(yīng)極值搜索算法仿真研究[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(10):117-121.

formatLI Haiyan，WANG Peifei，LI Chengli.Simulation Research on Semi-Global Extremum Seeking Algorithm with Amplitude Tuned Adaptively[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(10):117-121.

TP273+.23

A

2096-2304(2017)10-0117-05

(責(zé)任編輯楊繼森)