創(chuàng)設(shè)探究題組 自主解讀算理

王才紅++陳慶憲

【摘 要】“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是小數(shù)計(jì)算教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。教學(xué)中如何使學(xué)生能主動(dòng)地運(yùn)用商不變規(guī)律，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，并能真正理解其算理。為此，教者在本課教學(xué)中精心創(chuàng)設(shè)了多個(gè)題組，讓學(xué)生在這些題組的計(jì)算過程中動(dòng)態(tài)地進(jìn)行比較、遷移、概括算理，并讓學(xué)生在這些題組的練習(xí)中進(jìn)一步培養(yǎng)了數(shù)感和運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)除法 題組練習(xí) 自主解讀

【課前思考】

“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”是在“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。人教版教材將這一內(nèi)容編排在五年級上冊，并編排了兩個(gè)例題，其中一個(gè)例題是：每編一個(gè)“中國結(jié)”要用0.85m絲繩，那么7.65m長的絲繩，可以編幾個(gè)“中國結(jié)”。根據(jù)例題信息寫出算式“7.65÷0.85”，從中思考如何把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的方法。教材再接著的例題是針對“12.6÷0.26”的算式，學(xué)習(xí)在除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)時(shí)，被除數(shù)也同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)，先要在末尾添加“0”的情況。按教材的這兩個(gè)例題，可以分成兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。但我們覺得像第二個(gè)例題的算式，因?yàn)橛辛饲耙焕}把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)的算理支撐，掌握第二個(gè)例題算式的計(jì)算應(yīng)該不是很難，所以我們把這兩個(gè)例題整合在一節(jié)課進(jìn)行教學(xué)。

本課的主要問題是學(xué)生在第一個(gè)例題列出算式“7.65÷0.85”后，怎么會(huì)想到利用商不變規(guī)律，把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)進(jìn)行計(jì)算呢？只有教師先給學(xué)生提示“你怎樣把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，要使商不變又應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化呢”，學(xué)生才有可能想到商不變規(guī)律，應(yīng)把除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到它的100倍。但這樣的提示式教學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷的思考過程顯然比較平淡，思維容易趨于被動(dòng)接受的境地。出于這樣的思考，所以我們對本課的學(xué)習(xí)素材作了補(bǔ)充，在教學(xué)環(huán)節(jié)上也作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。經(jīng)試教后收到較好的教學(xué)效果，現(xiàn)整理如下供大家教學(xué)時(shí)參考。

【教學(xué)過程與評析】

（一）題組遷移，引發(fā)自主解讀

1.從口算題組的聯(lián)想中解讀算理。

教師在屏幕上前后呈現(xiàn)兩個(gè)算式：24÷6= ，2.4÷6=，學(xué)生很快回答出它們的商分別是“4”和“0.4”。

接著教師又呈現(xiàn)“2.4÷0.6=”，這時(shí)有一部分學(xué)生回答商是“4”，教師說：是嗎？這時(shí)大部分學(xué)生還在仔細(xì)地觀察著，慢慢地又有學(xué)生說出了商還是“4”。

師：這個(gè)算式與前兩個(gè)算式不同在什么地方？

生：除數(shù)是小數(shù)。

師：是呀！今天我們就要學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法。（同時(shí)揭示課題）

師：那“2.4÷0.6”的商為什么是“4“呢？（學(xué)生再次獨(dú)立思考、小組交流）

生1：從以上兩個(gè)算式中，我發(fā)現(xiàn)“2.4÷6”與“24÷6”比較，被除數(shù)縮小到它的，商也縮小到它的；而“2.4÷0.6”與“2.4÷6”比較，除數(shù)縮小到它的，商反而要擴(kuò)大到它的10倍，所以“2.4÷0.6”的商是“4”。

生2：我把算式“2.4÷0.6”與算式“24÷6”進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)“2.4÷0.6”的被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)乘10，就和算式“24÷6”一樣了。因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)數(shù)商是不變的，所以“2.4÷0.6”的商也是“4”。

師：真好！大家是否也都觀察到了嗎？（學(xué)生都表示同意）

教師接著提出：除了與前兩個(gè)算式比較，利用商的變化規(guī)律得出第三個(gè)算式結(jié)果，那你們還能直接針對算式“2.4÷0.6”來說明它的商是“4”嗎？

學(xué)生思考片刻后，教師略作了提示：“2.4”里面有幾個(gè)“0.1”？

生：2.4里面有24個(gè)0.1。

師：那0.6呢？

這時(shí)學(xué)生忽然知道了，說出：因?yàn)?.4里面有24個(gè)0.1，而0.6里面有6個(gè)0.1，這樣24個(gè)0.1里面就是4個(gè)0.6了，所以“2.4÷0.6”的商是“4”。

教師根據(jù)學(xué)生的回答，屏幕上逐步演示出部分?jǐn)?shù)位順序表和直觀圖（如圖1）的情形，幫助學(xué)生理解結(jié)果。

接著教師又提出：你們是否還可以添上實(shí)際計(jì)量單位來說明呢？

這時(shí)有學(xué)生提出添上“m”作單位，這樣就有2.4m=24dm，0.6m=6dm，也就是24 dm里面有4個(gè)6 dm。

也有學(xué)生提出添上“元”作單位，這樣就有2.4元=24角，0.6元=6角，同樣24角里面有4個(gè)6角。

師：好的，大家都能從不同角度說明“2.4÷0.6”的商是“4”，那你們能把它寫成豎式計(jì)算嗎？

教師讓學(xué)生獨(dú)立寫豎式計(jì)算，教師在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生有兩種寫法，就讓兩位學(xué)生分別把自己的豎式寫到黑板上（如下面兩種豎式）。

師：你們仔細(xì)觀察，能看懂這兩位同學(xué)的豎式嗎？

生1：第二個(gè)豎式原來被除數(shù)是2.4，除數(shù)是0.6，為什么可以改成24除以6了呢？

師：是呀！你把題目的數(shù)改了人家看不懂，你能自己解釋一下嗎？

生2：因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是不變的，所以直接寫成24除以6了。

師：第一個(gè)豎式大家一定看懂了，是直接商“4”，用4乘0.6得2.4?？梢娺@兩種豎式都有道理，那如果在寫豎式時(shí)把原來的被除數(shù)和除數(shù)先不改變，與第二個(gè)豎式的想法結(jié)合起來，那又應(yīng)該怎樣思考呢？

教師在學(xué)生再次嘗試豎式后，在黑板上通過板書把轉(zhuǎn)化的過程在豎式中逐步呈現(xiàn)出來：先把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，要擴(kuò)大到它的10倍，小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，接著被除數(shù)也要擴(kuò)大到它的10倍，小數(shù)點(diǎn)也要向右移動(dòng)一位。然后按除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算。

黑板上呈現(xiàn)的豎式是：

【評析】教師沒有把原教材的第一個(gè)例題的“兩位小數(shù)除以兩位小數(shù)”作為新課的開始，而是重新創(chuàng)設(shè)了數(shù)據(jù)簡單的“一位小數(shù)除以一位小數(shù)”，這樣就為學(xué)生降低了探究難度。同時(shí)把除數(shù)是一位小數(shù)的算式以題組形式出現(xiàn)，前兩個(gè)算式學(xué)生用原有技能就能很快地回答出結(jié)果，并且這兩個(gè)算式與今天要學(xué)的第三個(gè)算式“除數(shù)是小數(shù)的除法”聯(lián)系密切。學(xué)生在思考第三個(gè)算式時(shí)，自然主動(dòng)地聯(lián)系到前兩個(gè)算式，通過觀察被除數(shù)、除數(shù)的變化，自主解讀了商為什么是“4”。除此之外，教師在這一環(huán)節(jié)中還引發(fā)學(xué)生直接從被除數(shù)和除數(shù)都有幾個(gè)“0.1”，或?qū)Ρ怀龜?shù)和除數(shù)添加計(jì)量單位來解讀為什么商是“4”，可見這樣的設(shè)計(jì)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了更大的思維空間。再接著讓學(xué)生用豎式嘗試計(jì)算后，教師先呈現(xiàn)了學(xué)生自己想法的兩個(gè)合情豎式，在引導(dǎo)學(xué)生自主解讀豎式后，又提出在寫豎式時(shí)原來的被除數(shù)和除數(shù)先不變，把兩種豎式結(jié)合起來，從而再次引發(fā)了學(xué)生對算理的思考。接著教師根據(jù)學(xué)生的思考，通過豎式的板書，逐步幫助學(xué)生理解運(yùn)用商的不變規(guī)律，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，同時(shí)及時(shí)指導(dǎo)了學(xué)生的豎式書寫過程。

2.在繼續(xù)嘗試中再次解讀算理。

教師把課本中例4（本課的第一道例題）的問題背景打在屏幕上（如圖2），并向?qū)W生提出：請根據(jù)題意列出算式，寫出豎式計(jì)算。

當(dāng)學(xué)生獨(dú)立列式嘗試豎式計(jì)算后，教師在屏幕上逐一呈現(xiàn)以下問題。

問題①：自學(xué)課本例4，你的豎式計(jì)算與書上的一樣嗎？

問題②：你能看懂書中兩個(gè)方框（如圖3）表示的意思嗎？請針對你列的豎式說一說。

問題③：題中的數(shù)量都以“m”為單位，在計(jì)算時(shí)除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，被除數(shù)和除數(shù)實(shí)際上可以看成都轉(zhuǎn)化成了以什么為單位？

學(xué)生根據(jù)計(jì)量單位的轉(zhuǎn)化說出：把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，就相當(dāng)于把0.85m轉(zhuǎn)化成了85cm，被除數(shù)7.65轉(zhuǎn)化為765，也就是相當(dāng)于把7.65m轉(zhuǎn)化成了765cm。

師：這樣轉(zhuǎn)化成“765÷85”，在實(shí)際意義下就相當(dāng)于計(jì)算“765cm里面有幾個(gè)85cm”。

【評析】以上環(huán)節(jié)把書上的例題當(dāng)成了練習(xí)來處理，先讓學(xué)生針對問題列出算式，并嘗試列豎式計(jì)算。由于學(xué)生在上一環(huán)節(jié)中初步掌握的除法是一位小數(shù)的轉(zhuǎn)化方法，所以自然地把除數(shù)是兩位小數(shù)轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)進(jìn)行計(jì)算。接著教師并沒有直接拿學(xué)生的豎式來評講，而是讓學(xué)生自己去閱讀例題，除了對照課本檢查自己列的豎式計(jì)算過程與書上的是不是一樣外，還要求學(xué)生針對課本中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化過程作進(jìn)一步的解讀，就這樣在再次解讀過程中加深了對算理的理解。

3.在鞏固練習(xí)中引入被除數(shù)末尾需要添“0”的解讀。

題組①用豎式計(jì)算： 62.4÷2.6， 0.544÷0.16。

學(xué)生計(jì)算后，及時(shí)作出反饋評講（過程略）。

題組②用豎式計(jì)算： 1.26÷0.28， 12.6÷0.28。

在學(xué)生計(jì)算前，教師先向?qū)W生提出：觀察這兩個(gè)算式，你們能估一估這兩個(gè)除法算式的商哪個(gè)大？

生：第二個(gè)算式的商大。

師：那你們還能看出它們的商有什么關(guān)系嗎？

學(xué)生進(jìn)一步觀察思考后說出：第二個(gè)算式的商是前一個(gè)算式的商的10倍。

師：為什么？

生：因?yàn)檫@兩個(gè)除法算式的除數(shù)都是0.28，而第二個(gè)算式的被除數(shù)是前一個(gè)算式中的被除數(shù)的10倍，所以商就是前一個(gè)算式的商的10倍。

接著又讓學(xué)生獨(dú)立嘗試列豎式計(jì)算，并讓學(xué)生把豎式板書到黑板上（如上邊兩個(gè)算式）。教師向?qū)W生提出：第一個(gè)豎式的被除數(shù)末尾添“0”是在什么時(shí)候添的？而第二個(gè)豎式被除數(shù)末尾添“0”又是在什么時(shí)候添的？

生：第一個(gè)豎式是在商“5”前添的，而第二個(gè)豎式一開始就添了。

師：為什么第二個(gè)豎式一開始就要添“0”呢？

讓學(xué)生分小組交流后，再組織集體交流。學(xué)生說道：因?yàn)槌龜?shù)的小數(shù)點(diǎn)要向右移動(dòng)兩位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也要向右移動(dòng)兩位，原來被除數(shù)只是一位小數(shù)，所以還要添上一個(gè)“0”。

師：是呀！因?yàn)楦鶕?jù)除數(shù)是兩位小數(shù)，除數(shù)要擴(kuò)大到它的100倍轉(zhuǎn)化為整數(shù)，小數(shù)點(diǎn)就要向右移動(dòng)兩位，而被除數(shù)只有一位小數(shù)，它也要擴(kuò)大到它的100倍，也要向右移動(dòng)兩位，所以位數(shù)不夠，先要添上“0”。

【評析】這一環(huán)節(jié)中教師設(shè)計(jì)兩組練習(xí)，第一組兩個(gè)算式是讓學(xué)生鞏固以上剛學(xué)會(huì)的轉(zhuǎn)化方法。第二組的兩個(gè)算式是除數(shù)不變，而被除數(shù)又有10倍關(guān)系。教師在學(xué)生列豎式計(jì)算前，先讓學(xué)生根據(jù)商的變化規(guī)律進(jìn)行了估算，然后嘗試列豎式。接著教師抓住這兩個(gè)算式的轉(zhuǎn)化過程中被除數(shù)末尾添“0”的前后不同，讓學(xué)生自主解讀被除數(shù)在轉(zhuǎn)化時(shí)為什么要先添“0”。教學(xué)中充分體現(xiàn)了讓學(xué)生在練習(xí)中自主解讀算理的過程。

4.在整體觀察思考中提煉計(jì)算方法。

師：到現(xiàn)在我們已經(jīng)計(jì)算了6個(gè)除數(shù)是小數(shù)的除法，現(xiàn)在你們能不能把計(jì)算方法總結(jié)一下？（投影上呈現(xiàn)下面的要求，讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再在小組里互相交流）

觀察黑板上和自己寫的豎式的計(jì)算過程，在計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)：

先 ；接著 ；然后 。

學(xué)生根據(jù)以上要求繼續(xù)觀察思考，分小組交流后，再組織集體交流。接著教師又讓學(xué)生把書上的方框內(nèi)的計(jì)算方法填寫完整。

再接著教師又提出：這個(gè)計(jì)算方法是按除數(shù)是幾位小數(shù)來轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，這種轉(zhuǎn)化是根據(jù)什么來轉(zhuǎn)化的？

生：根據(jù)商不變規(guī)律來轉(zhuǎn)化的。

師：現(xiàn)在表述計(jì)算方法的文字比較長，你們能不能把它縮短一些，便于我們能記住呢？

學(xué)生思考了片刻后，在教師引導(dǎo)下總結(jié)。

一看：看清除數(shù)是幾位小數(shù)。