讓學(xué)生經(jīng)歷“植樹問題”反建模的過程

郜舒竹

【摘 要】將“植樹問題”變?yōu)榫€段上點(diǎn)與間隔的關(guān)系問題，這樣的過程稱為建模的過程；反過來將線段上點(diǎn)與間隔的關(guān)系問題應(yīng)用于更加廣泛的實(shí)際情境中的過程，稱為反建模的過程。在植樹問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，學(xué)生不僅應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷建模的過程，還應(yīng)經(jīng)歷反建模的過程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng) 植樹問題 柵欄柱問題 建模 反建模

“植樹問題”在人教版教材《數(shù)學(xué)廣角》的欄目中出現(xiàn)。利用植樹的情境，區(qū)分“兩端”以及道路“兩側(cè)”植樹的不同情況，探討植樹棵數(shù)與植樹間隔之間的關(guān)系問題。事實(shí)上，植樹問題中的“植樹”并不是這一問題的核心，在國外此類問題也稱為“柵欄柱問題（Fencepost Problem）”，其核心是用數(shù)學(xué)中“點(diǎn)”與“間隔”的關(guān)系，澄清一些對于實(shí)際情境中經(jīng)常出現(xiàn)的“誤解（Misconception）”，修正由于誤解而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。這樣的過程也體現(xiàn)了建模（Modeling）與反建模（Inverse Modeling）的過程。

一、植樹問題與反建模

小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“植樹問題”通常表述為：在一條長度為8米的路上植樹，每隔2米植樹1棵。那么一共可以植樹多少棵？這一問題極易產(chǎn)生誤解，學(xué)生認(rèn)為8除以2等于4為本題答案，而事實(shí)上4這一結(jié)果是樹之間的間隔數(shù)，并不是植樹棵數(shù)，間隔數(shù)比植樹棵數(shù)少1。（見圖1）

這種誤解與錯(cuò)誤實(shí)際上是將樹的“棵”數(shù)與相鄰樹之間的“間隔（Span）”數(shù)混淆，出現(xiàn)“少1（Off-by-One）”的錯(cuò)誤。

因此，學(xué)生學(xué)習(xí)植樹問題的一個(gè)重要目的，應(yīng)當(dāng)是澄清誤解、消除錯(cuò)誤。將植樹問題或柵欄柱問題轉(zhuǎn)化為一條線段上“點(diǎn)”數(shù)與相鄰兩點(diǎn)之間的“間隔”數(shù)的關(guān)系問題，進(jìn)而通過對這種關(guān)系的研究，澄清對植樹問題的誤解。如果把這樣從實(shí)際情境到數(shù)學(xué)模型的過程叫作建模（Modeling）的過程，那么引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于更加廣泛的實(shí)際情境的過程，就可以稱之為“反建?！钡倪^程。

二、計(jì)算時(shí)間的問題

在日常工作、生活中，類似于“植樹問題”數(shù)量關(guān)系的情境經(jīng)常出現(xiàn)，比如對于計(jì)算年齡的問題，如果要計(jì)算2017年國慶節(jié)是建國多少周年，采用的計(jì)算方法應(yīng)當(dāng)是，用今年的公元年數(shù)2017直接與建國公元年數(shù)1949相減，得到答案為68周年，即2017-1949=68（周年）。

與此類似的是計(jì)算天數(shù)的問題。比如，某人從2017年10月1日到10月7日外出旅游，那么本次旅游一共多少天？這樣的情況，就不能用大數(shù)直接減去小數(shù)的方法計(jì)算，也就是不能用“7-1=6（天）”計(jì)算。

造成這種差異的根本原因在于“年齡”是“經(jīng)過多少年”的含義，相當(dāng)于植樹問題中的“間隔”。而旅游天數(shù)中的“天”是“當(dāng)天”的含義，相當(dāng)于植樹問題中的“點(diǎn)”。需要注意，計(jì)算天數(shù)的問題，也經(jīng)常出現(xiàn)“經(jīng)過”的含義，比如賓館住宿的天數(shù)計(jì)算，如果10月1日午夜12點(diǎn)前入住，10月7日中午12點(diǎn)前離開，那么住宿費(fèi)用的計(jì)算就是按照“7-1=6（天）”計(jì)算，而不是按照7天計(jì)算。

因此，在“植樹問題”數(shù)量關(guān)系的問題中，區(qū)分“點(diǎn)數(shù)”與“間隔數(shù)”需要根據(jù)實(shí)際情境進(jìn)行判斷。一個(gè)基本方法是看“起點(diǎn)”是“0”還是“1”，比如前面“多少周年”的問題，起點(diǎn)“1949”相當(dāng)于年齡為“0年”，到1950年才視為經(jīng)過1年，因此是“間隔”的問題。而旅游天數(shù)問題中起點(diǎn)10月1日已經(jīng)算作“1天”，因此是“點(diǎn)數(shù)”的問題。而賓館住宿天數(shù)計(jì)算時(shí)，10月1日入住當(dāng)天視為“0天”，到10月2日第二天才視為住宿“1天”，因此也是“間隔”的含義。

三、計(jì)算樓層的問題

這種“點(diǎn)”與“間隔”關(guān)系的誤解問題，在樓層表述時(shí)也經(jīng)常出現(xiàn)。比如，2014年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會上有一個(gè)由馮鞏主演的、名為《我就這么個(gè)人》的小品節(jié)目，意在諷刺給領(lǐng)導(dǎo)送禮的社會現(xiàn)象。其中有一段馮鞏與飾演搬運(yùn)工人的曹隨風(fēng)的對話片段。

馮鞏：就這個(gè)門，501。

曹隨風(fēng)：電梯了？

馮鞏：沒電梯，享受低碳生活。

曹隨風(fēng)：那你得給錢。

馮鞏：給什么錢？

曹隨風(fēng)：爬樓錢。

馮鞏：爬樓還要錢？

曹隨風(fēng)：一層20。

馮鞏：瞎說，去年還15呢。

曹隨風(fēng)：漲價(jià)了，跟出租車一塊漲的，你這是地上五層，你得給俺100。

提煉出這段對話中的算術(shù)過程應(yīng)當(dāng)是：現(xiàn)在每爬一層給“我”20元錢，要爬到五層，一共需要給“我”“20×5=100（元）”。這里顯然混淆了“幾層”與“爬幾層”的概念，也即混淆了植樹問題中“點(diǎn)”與“間隔”的概念。事實(shí)上，從1層樓爬到5層樓，經(jīng)過的是“爬4層”的過程。（見圖2）

在歐洲一些國家，通常會把我們所說的“一層”叫作“E”或者“G”，其含義是“地面”，用英文單詞“earth”或者“ground”的第一個(gè)字母代表。把我們所說的“二層”叫作“一層”，以此類推。這樣的做法實(shí)質(zhì)上是將起點(diǎn)視為“0層”，其優(yōu)越性在于將“幾層”與“爬幾層”統(tǒng)一起來了。（見圖3）

綜上可以看出，在這種反建模的探究活動(dòng)中，通過線段上點(diǎn)數(shù)與間隔數(shù)關(guān)系這一模型，可以進(jìn)一步澄清并消除實(shí)際情境中更加廣泛的誤解和錯(cuò)誤。

四、植樹問題中的思想與方法

植樹問題數(shù)量關(guān)系中蘊(yùn)含著的思想方法，對于其他數(shù)學(xué)知識的思考與理解也是有益的。比如在中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)軸的認(rèn)識，按照通常的理解，數(shù)軸有“三要素”，分別是原點(diǎn)、單位和方向。其中的原點(diǎn)用數(shù)字“0”標(biāo)記，而后自左向右依次標(biāo)記數(shù)字1、2、3等。這類似于小學(xué)生所熟悉的直尺。（見圖4）

一個(gè)自然的問題是，為什么數(shù)軸或者直尺的起點(diǎn)規(guī)定為“0”，而不是“1”？其原因之一就在于能夠?qū)崿F(xiàn)“點(diǎn)的標(biāo)記”與“間隔”數(shù)量的統(tǒng)一。數(shù)軸上標(biāo)記為5的點(diǎn)，同時(shí)也意味著這一點(diǎn)到起點(diǎn)的距離包含著5個(gè)單位。在直尺上標(biāo)記為5厘米的點(diǎn)，也意味著這一點(diǎn)到起點(diǎn)“0”的距離是5厘米。其原理與圖3所示歐洲樓層的標(biāo)記是一致的。

這里實(shí)際上蘊(yùn)含著“對立統(tǒng)一”的方法，直尺上的點(diǎn)的標(biāo)記與這個(gè)點(diǎn)到起點(diǎn)的距離，原本是兩個(gè)不同的概念，將起點(diǎn)標(biāo)記為“0”，就實(shí)現(xiàn)了“變不同為相同”，也就是創(chuàng)造了將對立的雙方相互轉(zhuǎn)化的條件，實(shí)現(xiàn)了對立雙方的統(tǒng)一。

這種線段上點(diǎn)數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，還可以應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)課程中等差數(shù)列通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)。比如，如果把1視為第一個(gè)奇數(shù)，求第100個(gè)奇數(shù)是多少。這一問題實(shí)際上是尋找第100個(gè)奇數(shù)與第1個(gè)奇數(shù)之間的關(guān)系。先從簡單情況入手看，在一條線段上標(biāo)記出四個(gè)奇數(shù)1、3、5、7。（見圖5）

圖5中四個(gè)奇數(shù)相當(dāng)于4個(gè)點(diǎn)，相鄰2個(gè)奇數(shù)的線段是3條，每一條線段表示“加2”的意思，那么奇數(shù)從1變化到7，相當(dāng)于加了3次2。因此奇數(shù)7與奇數(shù)1的關(guān)系可以表示為：

7=1+2×3

按照同樣的思路，如果把從1開始的100個(gè)奇數(shù)標(biāo)記在一條線段上，相當(dāng)于有100個(gè)點(diǎn)，其中相鄰兩點(diǎn)的線段表示“加2”，一共99條這樣的線段，相當(dāng)于第100個(gè)奇數(shù)就是在1上加了99次2，因此這個(gè)奇數(shù)應(yīng)當(dāng)是：

1+2×99=199

如果把線段上“點(diǎn)”與“間隔”的關(guān)系視為植樹問題的本質(zhì)性內(nèi)容，把人類日常活動(dòng)中針對此類問題出現(xiàn)的誤解視為文化性內(nèi)容，讓表面看與植樹問題毫無關(guān)系的內(nèi)容建立起聯(lián)系，那這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)就做到了“突出本質(zhì)、滲透文化、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”。

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint