基于混合整數(shù)二階錐規(guī)劃的動態(tài)無功優(yōu)化方法

賴曉文, 馬曉偉, 白 楊, 汪 洋, 張小東, 任 景

(1. 清華大學電機工程與應用電子技術系, 北京市 100084; 2. 電力系統(tǒng)及發(fā)電設備控制和仿真國家重點實驗室, 清華大學, 北京市 100084; 3. 國家電網(wǎng)公司西北分部調控分中心, 陜西省西安市 710048)

基于混合整數(shù)二階錐規(guī)劃的動態(tài)無功優(yōu)化方法

賴曉文1,2, 馬曉偉3, 白 楊1,2, 汪 洋1,2, 張小東3, 任 景3

(1. 清華大學電機工程與應用電子技術系, 北京市 100084; 2. 電力系統(tǒng)及發(fā)電設備控制和仿真國家重點實驗室, 清華大學, 北京市 100084; 3. 國家電網(wǎng)公司西北分部調控分中心, 陜西省西安市 710048)

動態(tài)無功優(yōu)化對提升電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟運行水平有著重要意義。然而,它是一個多時段緊密耦合的非凸非線性混合整數(shù)規(guī)劃問題。為高效、高精度地求解該問題,文中提出了基于混合整數(shù)二階錐規(guī)劃(MISOCP)的動態(tài)無功優(yōu)化方法。該方法通過將非凸的交流潮流方程近似轉化為凸的二階錐約束及采用一般不等式約束等效替代絕對值約束,在高精度地反映交流潮流物理規(guī)律的同時,將原非凸的混合整數(shù)規(guī)劃問題轉化為凸的MISOCP問題,從而大大降低了求解的復雜度。通過求解MISOCP模型,能夠高效地得到動態(tài)無功優(yōu)化的高精度解?；贗EEE-30節(jié)點系統(tǒng)和IEEE-118節(jié)點系統(tǒng)的算例分析驗證了所提出方法的有效性和魯棒性。

無功優(yōu)化; 混合整數(shù)二階錐規(guī)劃; 交流潮流

0 引言

動態(tài)無功優(yōu)化(dynamic reactive power optimization,DRPO)是指根據(jù)電力系統(tǒng)在未來一定時間內(nèi)的預測負荷,在機組組合和有功經(jīng)濟調度方案確定后,以最小化系統(tǒng)網(wǎng)損或最優(yōu)化電壓水平為優(yōu)化目標,綜合考慮各種約束條件,決策發(fā)電機無功出力、無功補償元件投切組數(shù)以及有載調壓變壓器的分接頭擋位等變量[1]。它主要用于改善系統(tǒng)無功分布,以優(yōu)化節(jié)點電壓水平、降低系統(tǒng)網(wǎng)損,因此在電網(wǎng)安全經(jīng)濟運行中發(fā)揮著重要作用[2-4],深入研究動態(tài)無功優(yōu)化問題對于提升電網(wǎng)安全經(jīng)濟運行水平具有重要價值。

然而,動態(tài)無功優(yōu)化問題是一個復雜的數(shù)學優(yōu)化問題。第一,模型中的交流潮流方程約束具有強非凸性和非線性;第二,由于考慮了電容、電抗器投切及變壓器分接頭擋位,模型中含有大量的整數(shù)變量,這些設備的全天動作次數(shù)限制本質上是絕對值不等式約束,從而導致時段之間具有強耦合;第三,由于動態(tài)無功優(yōu)化尋求的是多時段下的全局優(yōu)化,其變量和約束數(shù)目大約是單時段優(yōu)化問題的T倍(T為時段總數(shù))。

由于動態(tài)無功優(yōu)化模型的復雜性,多年以來其優(yōu)化求解方法一直是該領域的研究熱點。文獻[5]采用基于高斯罰函數(shù)的離散變量連續(xù)化方法來求解動態(tài)無功優(yōu)化問題,但計算性能在很大程度上受到罰函數(shù)參數(shù)的影響。文獻[6]改進了內(nèi)點法求解動態(tài)無功優(yōu)化問題的過程,通過病態(tài)約束辨識和可行性恢復,增強了算法的效率和魯棒性。文獻[7]采用不等式組的方式描述無功設備動作次數(shù)限制約束,然后直接求解,但受制于交流潮流方程的非凸性,求解效率不高。文獻[8]提出了三階段的求解方法,通過在每個階段降低原模型的難度,最終得到問題的近似最優(yōu)解。綜上,現(xiàn)有的動態(tài)無功優(yōu)化算法仍有進一步改善的空間,迫切需要提出更有效的建模和求解方法。

動態(tài)無功優(yōu)化問題求解的難點之一在于交流潮流模型的非凸性導致整個調度模型成為了非凸規(guī)劃問題,如果能夠將其以較高的精度轉化為凸規(guī)劃問題,將大大降低求解難度。當前國內(nèi)外眾多學者研究了交流潮流的二階錐規(guī)劃(second-order cone programming,SOCP)凸松弛模型,并廣泛應用于最優(yōu)潮流[9-10]、機組組合[11]、電網(wǎng)規(guī)劃[12-13]等領域。文獻[14-15]將混合整數(shù)二階錐規(guī)劃(mixed integer second-order cone programming,MISOCP)模型用于配電網(wǎng)的無功優(yōu)化問題,取得了較好的效果。然而,本文研究輸電網(wǎng)下的無功優(yōu)化問題與配電網(wǎng)下的問題具有本質上的不同,這是因為在輸電網(wǎng)中應用SOCP模型描述潮流規(guī)律,并不能等價于原交流潮流模型[10],因此如何在輸電網(wǎng)環(huán)境下建立適用于無功優(yōu)化問題的MISOCP模型,并獲得高效、高精度的求解效果,仍是有待深入研究的問題。

為了更好地解決這一難題,本文提出了基于MISOCP的動態(tài)無功優(yōu)化方法,為高效、高精度地求解動態(tài)無功優(yōu)化問題提供了嶄新的解決思路。

1 動態(tài)無功優(yōu)化的數(shù)學模型

本文主要考慮并聯(lián)無功補償元件投切組數(shù)及發(fā)電機無功出力的優(yōu)化。設系統(tǒng)有N個節(jié)點、M臺發(fā)電機組,有C個節(jié)點裝設并聯(lián)電容/電抗器組,優(yōu)化時段數(shù)為T。

動態(tài)無功優(yōu)化的優(yōu)化目標一般為系統(tǒng)有功網(wǎng)損最小[16]:

(1)

式中:ploss,t為時段t的有功網(wǎng)損;Gij為導納矩陣第i行第j列元素的實部;Vi,t和Vj,t分別為時段t節(jié)點i和節(jié)點j的電壓幅值;θij,t=θi,t-θj,t,為時段t節(jié)點i與節(jié)點j之間的電壓相角差,θi,t和θj,t分別為時段t節(jié)點i和節(jié)點j的電壓相角。

約束條件包括交流潮流方程約束式(2)和式(3)、狀態(tài)變量上下限約束式(4)、控制變量上下限約束式(5)及并聯(lián)電容/電抗器組的動作次數(shù)約束式(6)等[1]。交流潮流方程約束為:

(2)

(3)

(4)

控制變量包括發(fā)電機組無功出力、并聯(lián)無功補償電容/電抗器投切組數(shù)等,其上下限約束為:

(5)

并聯(lián)電容/電抗器組的動作次數(shù)的上、下限約束為:

(6)

此外,模型中還考慮了交流線路傳輸潮流的視在功率約束等,具體建?？蓞⒁娢墨I[17],這里因篇幅原因不再贅述。

上述模型式(1)—式(6)是一個復雜的非凸混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。其中交流潮流方程式(2)和式(3)不僅含有強非線性,還具有強非凸性,大大增加了尋優(yōu)的難度;并聯(lián)無功設備的動作次數(shù)約束式(6)將各時段緊密地耦合在一起,導致全局尋優(yōu)困難重重,而且是絕對值約束,無法直接進行求解。

2 動態(tài)無功優(yōu)化算法

為了高效、高精度地求解上述復雜模型,本文提出了基于MISOCP的動態(tài)無功優(yōu)化方法。由于主要是交流潮流方程約束和無功設備動作次數(shù)約束造成了上述模型式(1)—式(6)的求解困難,本文方法分別針對這2類約束提出了相應的解決辦法,隨后形成了基于MISOCP的動態(tài)無功優(yōu)化模型,從而能夠高效、高精度地獲得動態(tài)無功優(yōu)化結果。

2.1 交流潮流方程的二階錐規(guī)劃近似

一般來說,非凸規(guī)劃問題的收斂性難以得到理論上的嚴格保證[18-19],為此本文將非凸的交流潮流方程轉化為凸的二階錐約束。主要思路是從描述電網(wǎng)潮流物理規(guī)律的基本方程出發(fā),根據(jù)電網(wǎng)運行本質特征進行合理的假設和近似,保留潮流方程主要物理量之間的耦合關系,忽略或近似相對次要的因素,建立交流潮流方程的SOCP近似模型。詳細推導過程見附錄A,最終得到刻畫潮流物理規(guī)律的二階錐約束組如下:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

可以看到式(7)—式(11)都是凸約束。本節(jié)從節(jié)點功率平衡和支路潮流的基本規(guī)律出發(fā),通過合理的假設和近似,將非凸的交流潮流方程轉化為了凸的二階錐約束組。在模型精確度方面,該二階錐約束組充分計及了有功功率、無功功率、電壓和相角等重要變量之間的耦合關系,支持在無功優(yōu)化模型中協(xié)同優(yōu)化上述變量,從而更精確地考慮它們對無功計劃的影響,因此能夠以很高的精度反映潮流運行的物理規(guī)律。文獻[20]基于若干典型系統(tǒng)算例驗證了這一點。在模型復雜度方面,基于這些約束所建立的無功優(yōu)化模型將是凸規(guī)劃問題,與基于原交流潮流模型的非凸規(guī)劃問題相比,求解難度將顯著降低,求解效率顯著提升。

2.2 無功設備動作次數(shù)約束的等價轉化

模型式(1)—式(6)的另一個求解難點在于無功設備動作次數(shù)約束式(6)是絕對值約束,無法直接利用優(yōu)化軟件進行求解。為此,本文將式(6)替換為與之等價的一般不等式約束組(12),其中的所有約束都是線性約束,從而使模型能夠直接采用優(yōu)化軟件求解。

(12)

式中:Zi,t,δi,t,1,δi,t,2為輔助變量,Zi,t為整數(shù)變量,δi,t,1和δi,t,2為0-1變量。

2.3 動態(tài)無功優(yōu)化的MISOCP模型建立

基于2.1節(jié)交流潮流方程的SOCP近似以及2.2節(jié)無功設備動作次數(shù)約束的等價轉化,可以將第1節(jié)建立的動態(tài)無功優(yōu)化模型轉化為一個MISOCP模型,其優(yōu)化目標仍為系統(tǒng)網(wǎng)損最小:

(13)

約束條件如下所示。

1)節(jié)點功率平衡約束

(14)

(15)

該約束描述了節(jié)點j處的有功和無功功率平衡關系。

2)線路兩端節(jié)點電壓幅值約束如式(9)所示。該約束描述了線路i→j兩端節(jié)點電壓幅值與線路上流過的功率及電流之間的關系。

3)線路功率約束如式(10)所示。該約束描述了線路i→j流過的功率、電流與節(jié)點電壓幅值之間的關系。

5)并聯(lián)無功設備動作次數(shù)約束如式(12)所示。其他約束還包括狀態(tài)變量上下限約束式(4)和控制變量上下限約束式(5)。整個模型是一個MISOCP模型,可以采用Gurobi[22]、CPLEX[23]等商業(yè)數(shù)學優(yōu)化軟件高效求解。由于該模型是一個凸規(guī)劃模型,與基于原交流潮流方程的非凸規(guī)劃模型相比,具有更好的計算效率和收斂特性。

綜上,本文提出了基于MISOCP的動態(tài)無功優(yōu)化方法,能夠在高精度地反映交流潮流模型所蘊含的物理規(guī)律的同時,高效地求解無功控制優(yōu)化模型,從而獲得動態(tài)無功優(yōu)化問題的滿意解。

3 算例分析

3.1 算例數(shù)據(jù)與測試環(huán)境

本節(jié)基于IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)驗證本文方法的有效性。系統(tǒng)的拓撲結構、系統(tǒng)中的無功補償電容器組參數(shù)和發(fā)電機組參數(shù)參見附錄B,網(wǎng)絡參數(shù)可參見文獻[24]。所有節(jié)點的電壓上限和下限分別為1.06(標幺值)和0.94(標幺值)。系統(tǒng)松弛節(jié)點為節(jié)點1。

為了對所提方法進行測試,本文根據(jù)中國北方某地區(qū)2015年8月某日的24 h標幺負荷曲線(如圖1所示),構造得到該系統(tǒng)各節(jié)點的24 h負荷數(shù)據(jù),采用本文方法開展日前24時段的動態(tài)無功優(yōu)化。所有的模型與算法都在內(nèi)存為2 GB、主頻為2.4 GHz的計算機上測試,MISOCP模型采用Cplex 12.4[23]求解,整數(shù)優(yōu)化的收斂間隙(Gap值)取0.01%。

圖1 系統(tǒng)標幺負荷曲線Fig.1 System load per unit profile

3.2 算法有效性分析

采用本文方法進行動態(tài)無功優(yōu)化的計算后,系統(tǒng)總網(wǎng)損由137.8 MW·h下降為116.7 MW·h,下降幅度達到18.1%,無功優(yōu)化效果顯著。同時,模型計算時間僅為15.1 s。在同樣的算例環(huán)境下,采用文獻[8]的求解方法時,獲得的最優(yōu)解與本文方法的最優(yōu)解非常接近,但計算時間為17.6 s,因此本文方法高效地獲得了令人滿意的動態(tài)無功優(yōu)化結果。值得指出的是,上述優(yōu)化后的網(wǎng)損量大小是在固定電容器投切狀態(tài)和機組無功出力(本文方法優(yōu)化的結果)后，基于交流潮流方程進行潮流計算后得到的結果,從而確保了網(wǎng)損計算結果的準確性。

各時段的網(wǎng)損減少量如圖2所示。從圖中可以看出,經(jīng)過動態(tài)無功優(yōu)化,各時段都有不同程度的網(wǎng)損減少,其變化趨勢與系統(tǒng)標幺負荷曲線基本一致。其中時段17是負荷最大的時段,其對應的網(wǎng)損減少量也最大。通過本文方法的計算,該系統(tǒng)無功潮流分布得到了優(yōu)化,可以得到更加經(jīng)濟合理的電網(wǎng)運行狀態(tài)。

圖2 動態(tài)無功優(yōu)化后每個時段的網(wǎng)損減小量Fig.2 Transmission loss decrease of each period after dynamic reactive power optimization

3套電容器組在各時段的投切情況如圖3所示。從圖中可以看出,根據(jù)負荷水平的變化,3套電容器組都起到了有效的作用,系統(tǒng)無功分布通過電容器組的投切得到了合理調整。同時,所有3套電容器組的動作次數(shù)均滿足約束條件,計算結果可以在實際系統(tǒng)中執(zhí)行。

圖3 3套電容器組全天投切情況Fig.3 Switching operations of three sets of capacitors in a day

3.3 算法魯棒性分析

為了進一步測試本文方法的魯棒性,本文構造了該系統(tǒng)的另外2個負荷場景,與前述負荷場景一起構成了該系統(tǒng)的高、中、低3個負荷場景,分別為前述場景負荷水平的110%,100%,90%。本文方法高效地求解了這3個場景,表明其具有良好的魯棒性,能夠滿足不同邊界條件下動態(tài)無功優(yōu)化問題的求解需求。3個負荷場景下的計算結果匯總于表1中。從表中可以看出,3個場景下的計算都很高效,雖然電容器組投切總次數(shù)不盡相同,但系統(tǒng)網(wǎng)損的減少比例相近。

表1 魯棒性測試結果Table 1 Robustness test results

在這3個負荷場景下,每個時段的網(wǎng)損減少量如圖4所示,可以看出3個場景下網(wǎng)損減少量的變化趨勢是類似的,且都是在負荷最大的時段17減少最多的網(wǎng)損。

圖4 3個負荷場景下每個時段的網(wǎng)損減少量Fig.4 Transmission loss decrease of each period in three load scenarios

從以上結果可以看出,在不同的負荷場景下,本文算法都能夠高效地進行動態(tài)無功優(yōu)化,從而使系統(tǒng)網(wǎng)損顯著下降,更有利于電網(wǎng)的經(jīng)濟運行,算法具有良好的魯棒性。

為進一步驗證本文方法在較大規(guī)模系統(tǒng)中的應用效果,本文還采用IEEE-118節(jié)點系統(tǒng)進行了計算分析。系統(tǒng)參數(shù)可參見文獻[24],所有節(jié)點的電壓上限和下限分別為1.06和0.94。類似地,根據(jù)中國北方某地區(qū)2015年10月某日的24 h標幺負荷曲線,構造得到該系統(tǒng)各節(jié)點的24 h負荷數(shù)據(jù),采用本文方法開展24時段的動態(tài)無功優(yōu)化。

計算結果表明,經(jīng)過優(yōu)化,系統(tǒng)總網(wǎng)損下降幅度為20.7%,無功優(yōu)化效果顯著。同時,優(yōu)化計算時間為287.3 s。在同樣的算例環(huán)境下,采用文獻[8]的多階段求解方法達到的網(wǎng)損下降幅度略低于20.7%,但優(yōu)化計算時間為325.3 s。以上結果說明,本文方法在IEEE-118節(jié)點系統(tǒng)算例中也取得了良好的計算效果。

4 結語

針對動態(tài)無功優(yōu)化這一復雜的非凸非線性混合整數(shù)規(guī)劃問題,本文提出了基于MISOCP的動態(tài)無功優(yōu)化方法。該方法巧妙地將非凸的交流潮流方程近似轉化為凸的二階錐約束,同時將難以直接求解的絕對值約束等價轉化為一般不等式約束組,建立的動態(tài)無功優(yōu)化MISOCP模型能夠在高精度地反映交流潮流模型所蘊含的物理規(guī)律的同時,高效地進行無功控制設備運行狀態(tài)的優(yōu)化?；贗EEE-30節(jié)點系統(tǒng)和IEEE-118節(jié)點系統(tǒng)的算例分析表明,本文方法計算效率高、魯棒性好,采用本文方法開展動態(tài)無功優(yōu)化能夠有效地優(yōu)化電網(wǎng)無功分布,顯著地提升電網(wǎng)安全經(jīng)濟運行水平。

本文采用商業(yè)化優(yōu)化軟件直接求解MISOCP模型,其求解效率尚不能滿足區(qū)域級電網(wǎng)的應用需求,還有進一步改善的空間。未來將重點研究提高MISOCP模型的求解效率的計算策略,以滿足更大規(guī)模電網(wǎng)進行動態(tài)無功優(yōu)化的實際應用需求。

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

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Dynamic Reactive Power Optimization Method Based on Mixed Integer Second-order Cone Programming

LAIXiaowen1,2，MAXiaowei3，BAIYang1,2，WANGYang1,2，ZHANGXiaodong3，RENJing3

(1. Department of Electrical Engineering， Tsinghua University， Beijing 100084， China； 2. State Key Laboratory of Control and Simulation of Power System and Generation Equipments, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 3. Power Dispatch Center, Northwest Division of State Grid Corporation of China, Xi’an 710048, China)

Dynamic reactive power optimization (DRPO) is of important significance to improve the operational security and economy of power systems. However, DRPO is a multi-period coupled non-convex mixed-integer-nonlinear-programming problem. In order to solve this problem with high efficiency and high accuracy, a DRPO method is proposed based on the mixed integer second-order cone programming (MISOCP). In this method, by approximating the non-convex power flow equations to convex second-order cone constraints and equivalently replacing the absolute value constraints with normal inequality constraints, the original non-convex mixed integer nonlinear programming problem is transformed into the convex MISOCP problem while reflecting the AC power flow physics with high accuracy, thus significantly reducing the solving difficulty. By solving the MISOCP problem, accurate solutions are obtained. Case studies based on the IEEE 30-bus system and the IEEE 118-bus system indicate the effectiveness and robustness of the proposed method.

reactive power optimization; mixed integer second-order cone programming; AC power flow

2016-11-01;

2017-03-22。

上網(wǎng)日期: 2017-05-16。

賴曉文(1988—),男,通信作者,博士,主要研究方向:電力系統(tǒng)優(yōu)化運行、電力規(guī)劃、負荷預測、電力市場。E-mail：laixw16@tsinghua.edu.cn

馬曉偉(1979—),男,碩士,主要研究方向:電力調度、電力市場。

白 揚(1990—),男,博士研究生,主要研究方向:電力調度、電力市場。

(編輯 顧曉榮)