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    三類與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題的解法

    2022-11-30 23:12:19陳衛(wèi)衛(wèi)
    關(guān)鍵詞:三邊余弦定理關(guān)系式

    陳衛(wèi)衛(wèi)

    與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性,不僅考查了三角形的性質(zhì)、周長(zhǎng)公式、面積公式、正弦定理、余弦定理、勾股定理,還考查了三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象以及基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)等.對(duì)于此類較為復(fù)雜的最值問(wèn)題,我們?cè)撊绾蜗率帜??下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討.

    一、與三角形的角有關(guān)的最值問(wèn)題

    與三角形的角有關(guān)的最值問(wèn)題,通常要求根據(jù)已知條件,求某個(gè)角的最大、最小值.求解此類問(wèn)題,需熟練運(yùn)用等邊對(duì)等角,等角對(duì)等邊,大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊,鈍角為三角形的最大角等知識(shí),找到最大的角.在解題時(shí),需先運(yùn)用正余弦定理將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一,然后將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)式,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性來(lái)求得最值.值得注意的是,三角形中的角的范圍為(0,180°).

    例1.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2a+3,a2+3a+3,a2+2a(a>0),求這個(gè)三角形的最大角.

    解:經(jīng)比較可知,三角形的最大邊為a2+3a+3,

    所以最大角為120°.

    解答本題,需先根據(jù)三角形三邊的大小關(guān)系確定三角形的最大角,然后利用余弦定理求角的余弦值.

    二、與三角形的邊有關(guān)的最值

    求解與三角形的邊有關(guān)的最值問(wèn)題,首先要運(yùn)用正弦定理將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一,把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于三邊或三角的函數(shù)式,然后利用三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性和有界性,基本不等式等來(lái)求得最值.

    該題中給出的已知關(guān)系式和目標(biāo)式均較為復(fù)雜,需首先根據(jù)正余弦定理將已知關(guān)系式化簡(jiǎn),確定角B、角C之間的關(guān)系,然后再次運(yùn)用正余弦定理,將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角C的三角函數(shù)式,最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和基本不等式求得最值.

    三、與三角形的面積有關(guān)的最值

    求解與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題,需熟練掌握三角形的面積公式為;×底×高:(r為內(nèi)切網(wǎng)的半徑).在解題時(shí),需首先根據(jù)已知關(guān)系式的特征,利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,以便求得三角形面積的表達(dá)式,最后利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求出最值.

    例3.已知圓O的半徑為R,△ABC為圓O的內(nèi)接三角形,若2R(sin2A-sin2C)=(√2a-b)sinB,求△ABC面積的最大值.

    在求三角形面積的最值時(shí),往往要根據(jù)已知的關(guān)系式,選擇合適的三角形面積公式.一般地,若已知關(guān)系式中只含有三邊,則需選擇公式×底×高;若已知關(guān)系式中含有角的三角函數(shù)式,則需運(yùn)用公式;若已知關(guān)系式中涉及三角形的內(nèi)切網(wǎng)的半徑,則需選擇公式.最后利用三角函數(shù)的有界性求三角形面積的最大值.

    雖然解答與三角形的角、邊、面積有關(guān)的最值問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣,命題形式多變,但是同學(xué)們只要能熟練運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化,根據(jù)目標(biāo)式的特點(diǎn),靈活運(yùn)用函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來(lái)求最值,便可順利解題.

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