給學(xué)生一雙慧眼

黎麗娟

摘要：從一道課本復(fù)習(xí)題引發(fā)對(duì)練習(xí)不同表現(xiàn)形式的教學(xué)探索，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而掌握本質(zhì)，在獲得成功的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使各個(gè)層次的學(xué)生都能得到一定的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn)；變式；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）08-0122

波利亞曾說(shuō)過(guò)，一個(gè)專心備課的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的多個(gè)方面，使通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。

但是，教學(xué)實(shí)踐又告訴我，學(xué)生并不喜歡被教師牽著鼻子走，因?yàn)榕d趣才是最好的老師。如何讓學(xué)生打開那道門戶呢？

按照新課程標(biāo)準(zhǔn)“面向全體學(xué)生，立足雙基”的要求，從學(xué)生認(rèn)知能力和思維能力的最近區(qū)域出發(fā)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題，從特殊到一般，探索規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，力求達(dá)到層層遞進(jìn)、分解難度，在獲得成功的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使各個(gè)層次的學(xué)生都能得到一定的發(fā)展。

現(xiàn)在以浙教版八下P156練習(xí)8的教學(xué)為例來(lái)說(shuō)明，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)并不神秘，只要我們立足基礎(chǔ)，雖然橫看成嶺側(cè)成峰，但透過(guò)層層迷霧，能夠發(fā)現(xiàn)它的本來(lái)面目，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信，拓寬知識(shí)面，改進(jìn)自己的認(rèn)知！

原題：在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上，有點(diǎn)P1、P2、P3、P4，它們的橫坐標(biāo)分別是1、2、3、4，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為s1、s2、s3，則s1+s2+s3= 。

本題主要考查了y=■反比例函數(shù)中的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為k，是經(jīng)常考查的知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義，并在解題過(guò)程中結(jié)合所給的條件，充分挖掘使用相應(yīng)的解題技巧。

一、立足雙基，梳理知識(shí)點(diǎn)

解決問題首先要從學(xué)生的認(rèn)知能力和思維能力的最近區(qū)域出發(fā)，符合學(xué)生學(xué)情。

知識(shí)點(diǎn)：

設(shè)P（x，y）是反比例函數(shù)y=■圖像上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足為A，

則（1）OPA的面積=■OA·PA=■xy=■k

（2）矩形OAPB的面積=OA·PA=xy=k

這就是比例系數(shù)K的幾何意義，并且無(wú)論P(yáng)如何移動(dòng)，OPA的面積和矩形OAPB的面積都保持不變。

二、預(yù)設(shè)問題，做準(zhǔn)備工作

要求學(xué)生利用K的幾何意義，充分思考。

問題：對(duì)于反比例函數(shù)y=■，

1. S1與S2的大??？

2. 當(dāng)0A1=A1A2時(shí)，S3與S2的大??？

問2的設(shè)計(jì)意圖：既承接原題的相鄰橫坐標(biāo)等距的意思，又為變式拓展時(shí)的表述的正確理解做鋪墊。凸顯這個(gè)條件的重要性，讓學(xué)生更加有效地理解題目。

三、一題多解，把握其本質(zhì)

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同的解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程。教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一題多解，可以激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造的強(qiáng)烈愿望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟應(yīng)用。

解原題：由題意，可知點(diǎn)P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)為：（1，2）、（2，1）、（3，■），（4，■）

解法一：

∵s1=1×（2-1）=1，s2=1×（1-■）=■，

s3=1×（■-■）=■

∴s1+s2+s3=1+■+■=■

學(xué)生取名累加法

解法二：

∵圖中所構(gòu)成的陰影部分的總面積正好是從P1向x軸、y軸引垂線構(gòu)成的長(zhǎng)方形面積減去最下方的長(zhǎng)方形的面積，

∴1×2-■=■，

故答案為：■。

學(xué)生取名推積木法

總結(jié)：

解法一用到了函數(shù)基本技能：求點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合圖形求解。

解法二由圖形的特點(diǎn)入手，通過(guò)圖形的平移變換變成一個(gè)矩形，再利用坐標(biāo)計(jì)算。兩種方法都體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合在解此類問題的優(yōu)勢(shì)，并且讓學(xué)生體會(huì)這些基本解題經(jīng)驗(yàn)。

四、變式訓(xùn)練，橫側(cè)皆看清

變式訓(xùn)練的目的是對(duì)一道題或聯(lián)想，或類比，或推廣，可以得到一系列的新題，甚至得到更一般的結(jié)論，從而增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力和解題的信心，是減少題海戰(zhàn)術(shù)的好方法，并培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會(huì)如何真正吃透題目，同時(shí)還要堅(jiān)持以學(xué)生為主體，教師作為組織和引導(dǎo)的角色。

積極引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原題中的一些特定的數(shù)據(jù)和順序，可以改變嗎？改變后還有相關(guān)結(jié)論嗎？你能給出解答嗎？

學(xué)生1：發(fā)現(xiàn)例題的橫坐標(biāo)間隔都是1，可以改變嗎？

變式1：改變特殊條件為一般條件（例題的橫坐標(biāo)間隔都是1

橫坐標(biāo)間隔等距）

過(guò)在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上的點(diǎn)P1、P2、P3…Pn、Pn+1分別作x軸、y軸的垂線段，在軸的垂足分別為A1、A2、A3…An、An+1，構(gòu)成若干個(gè)矩形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…如圖所示，將陰影部分的面積從左到右依次為s1、s2、s3…sn，則= s1+s2+s3+…+sn=

（用含n的代數(shù)式表示）

解：設(shè)=OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a

則P1（a，2/a），P2（2a，2/2a）

Pn（na，2/na），Pn+1（（n+1）a，2/（n+1）a），

解法一：累加法

s1+s2+s3+…+s=a（2/a-2/（n+1）a）=2n/n+1

解法二：推積木法endprint

目的：進(jìn)行知識(shí)的正遷移。體現(xiàn)數(shù)學(xué)從特殊到一般的探究式的自主學(xué)習(xí)方式。學(xué)生解決。

學(xué)生2：那么不等距呢？

變式2：橫坐標(biāo)間隔等距 不等距

（新編）在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上，S1+S2+S3= 。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：原式=s1+2s2+s3，可以單個(gè)計(jì)算，累加。學(xué)生解決。

學(xué)生3：發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)是確定的。

變式3：進(jìn)一步改變特殊條件為一般條件（比例系數(shù)k如果也不知道呢？）

把變式1中的反比例函數(shù)改成（y=■>0）？

發(fā)現(xiàn)兩種解法照樣可以解決：s1+s2+s3+…+sn=Kn/n+1

學(xué)生發(fā)現(xiàn)有些問題，哪怕變成一般條件，照樣能夠找到規(guī)律和一般結(jié)論。學(xué)生解決。

學(xué)生4：一定要第1個(gè)加到最后一個(gè)嗎？

變式4：改變結(jié)論（取部分的和）

（改編）反比例函數(shù)改成（y=■>0），OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…

當(dāng)k=8時(shí)，s2+s3= 。

這個(gè)問題有一定難度，需要在找到規(guī)律的同時(shí)，學(xué)生合作解決！

學(xué)生5：能把條件和結(jié)論換個(gè)位置嗎？

變式5：改條件為結(jié)論，結(jié)論為條件。

（新編）當(dāng)s2+s3=5時(shí)，k等于多少？（知識(shí)負(fù)遷移）

效果：激發(fā)學(xué)生的逆向思維，主動(dòng)運(yùn)用方程思想，解決問題的能力。合作解決。

學(xué)生6：一定要是矩形嗎？

變式6：從矩形變成三角形

（改編）在反比例函數(shù)（y=■>0）的圖像上，若OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A1、A2、A3、…An、An+1…作x軸的垂線段，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5構(gòu)成若干個(gè)三角形，如圖所示，將陰影部分的面積從左到右依次記為s1、s2、s3、s4、s5，已知s4=2，則s1= 。

解：再次探究規(guī)律，sn=■。

∵s4=■=2

∴k=16，s1=■=8

發(fā)現(xiàn)是什么？發(fā)現(xiàn)是一切智慧的起源！只有敢于發(fā)現(xiàn)的人，才有獲得新知識(shí)的動(dòng)力。在教學(xué)中，我們需要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并引導(dǎo)他們?nèi)绾稳ジ淖儯@得更多的、更完整的處理問題的經(jīng)驗(yàn)。

在探究過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的并不比我們少，有弱化條件的，有改變圖形的，有找規(guī)律的，也有求特殊的，甚至有學(xué)生問“會(huì)不會(huì)有動(dòng)點(diǎn)問題？”這些發(fā)現(xiàn)和改變無(wú)疑都是很精彩的。

（作者單位：浙江省紹興市上虞區(qū)張杰中學(xué) 312000）endprint