基于同倫攝動Sumudu轉換法和Sumudu分解法求解非線性分數(shù)階偏微分方程

尹偉石，韓 濤

(長春理工大學 理學院，長春 130022)

基于同倫攝動Sumudu轉換法和Sumudu分解法求解非線性分數(shù)階偏微分方程

尹偉石，韓 濤

(長春理工大學 理學院，長春 130022)

本文運用同倫攝動Sumudu轉換法和Sumudu分解法求非線性分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值解，并對結果進行比較.兩種方法計算過程簡單，而且得到的近似解完全一致.

分數(shù)階偏微分方程；同倫攝動Sumudu轉換法；Sumudu分解法

分數(shù)階微積分方程非常適合刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程，其對復雜系統(tǒng)的描述具有建模簡單、參數(shù)物理意義清楚、描述準確等優(yōu)勢，因而對分數(shù)階微分方程的研究受到越來越多的關注.求解非線性偏微分方程比求解線性偏微分方程難度大，大多數(shù)非線性偏微分方程只能依靠數(shù)值解法.Adomian[1-2]提出了一種數(shù)值方法——Adomian分解法(Adomian Decomposition Method,ADM).該方法可以有效地解出一大類線性和非線性的，確定的或隨機微分方程的近似解.Kumar等[3]提出了一種新方法，即Sumudu分解法(Sumudu Decomposition Method,SDM)求解非線性方程組，該方法將Sumudu轉換法和Adomian分解法結合來求解問題.實驗表明該方法是非常簡單有效的，并且可以被應用到其他非線性問題.Ghorbani等[4]則解決并優(yōu)化了Adomian分解法的求解困難問題.經(jīng)Jafari等[5-6]補充完善后，Adomian分解法變得更加直接有效.攝動法[7-10]是使用最為廣泛的解析近似方法，己經(jīng)成功地解決了科學和工程中的許多問題.同倫攝動法是被He[11-12]第一次提出用來解決不同線性、非線性的初值和邊值問題的一種新方法，非線性偏微分方程和積分方程都可以利用同倫攝動法求出近似解，并且可以使求解過程大為簡化.大量的例子顯示這種方法簡單而有效.

本文將同倫攝動法和Sumudu轉換法結合，提出同倫攝動Sumudu轉換法(Homotopy Perturbation Sumudu Transform Method,HPSTM)來求解非線性分數(shù)階偏微分方程，同時應用Sumudu分解法求解同問題作為驗證，得到問題的完全一致的近似解.

1 分數(shù)階微積分的基本定義

定義1(Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義)設f(t)在(0,+∞)上逐段連續(xù)，即f∈C(0,+∞)是在J=[0,+∞)的任何有限子區(qū)間上可積.對于t>0,α>0，稱

(1)

J0f(t)=f(t).

由Riemann-Liouville分數(shù)階積分可知

(2)

定義2函數(shù)f：[0,+∞)→階數(shù)為α>0，Caputo分數(shù)階導數(shù)是指

(3)

其中：m-1<α≤m,m∈；t>0.式(3)右邊是在(0,+∞)上逐點連續(xù)的.

定義3(Sumudu轉換)

(4)

(5)

定義4(Caputo分數(shù)階導數(shù)的Sumudu轉換)

(6)

2 同倫攝動Sumudu轉換法(HPSTM)

考慮一般的分數(shù)階非線性非齊次局部微分方程

(7)

初始條件為

U(x,0)=f(x)，

(8)

(9)

運用Sumudu轉換的微分性質得

S[U(x,t)]=f(x)+uαS[g(x,t)]-uαS[RU(x,t)+NU(x,t)].

(10)

在式(10)兩邊進行Sumudu轉換逆運算，可得

U(x,t)=G(x,t)-S-1[uαS[RU(x,t)+NU(x,t)]]，

(11)

其中G(x,t)代表源項和規(guī)定的初始條件.利用同倫攝動分析法可得

U(x,t)=G(x,t)-PS-1[uαS[RU(x,t)+NU(x,t)]]，

按攝動系數(shù)展開得

(12)

其非線性項可以被分解為

(13)

其中Adomian多項式An由下式給出：

(14)

將式(12)，(13)代入式(11)，可得

(15)

式(15)結合了Sumudu轉換法、同倫攝動法、Adomian多項式.比較P的系數(shù)可近似得到

P0：U0(x,t)=G(x,t)，

P1：U1(x,t)=-S-1[uαS[RU0(x,t)+A0]]，

P2：U2(x,t)=-S-1[uαS[RU1(x,t)+A1]]，

P3：U3(x,t)=-S-1[uαS[RU2(x,t)+A2]].

(16)

重復這個過程，Un(x,t)的其他部分也可以被求出.可以近似求出U(x,t)的分析解為

(17)

3 Sumudu分解方法(SDM)

下面用Sumudu分解方法求解分數(shù)階非線性非齊次偏微分方程(7)，(8).

第1步，在式(7)兩邊運用Sumudu轉換法(這里用S表示)，可得

(18)

再運用Sumudu轉化的微分性質得

S[U(x,t)]=f(x)+uαS[G(x,t)]-uαS[RU(x,t)+NU(x,t)].

(19)

在式(19)兩邊進行Sumudu轉換逆運算，可得

U(x,t)=G(x,t)-S-1[uαS[RU(x,t)+NU(x,t)]]，

(20)

其中G(x,t)代表源項和規(guī)定的初始條件.

Sumudu分解法的第2步是給出作為一個無窮級數(shù)表示的解決方案：

(21)

非線性部分可分解為

(22)

An是關于U0,U1,U2,…，Un的Adomian多項式，它可以通過下式計算：

(23)

將式(21)，(22)代入式(20)得

(24)

比較兩邊得到

U0(x,t)=G(x,t)，

U1(x,t)=-S-1[uαS[RU0(x,t)+A0]]，

U2(x,t)=-S-1[uαS[RU1(x,t)+A1]]，

U3(x,t)=-S-1[uαS[RU2(x,t)+A2]]，

…

(25)

遞推關系為

Un+1(x,t)=-S-1[uαS[RUn(x,t)+An]]n≥0.

(26)

在式(26)的右側運用Sumudu變換，再運用Sumudu逆變換，可以得到U0，U1,U2,…，Un的值.

4 數(shù)值例子

考慮時間-分數(shù)階非線性微分方程：

(27)

初始條件為

U(x,y,0)=xy.

(28)

式(27)兩邊應用Sumudu轉換得到

(29)

下面分別用同倫攝動Sumudu轉換法和Sumudu分解法來求解問題(27)，(28).

4.1同倫攝動Sumudu轉換法

進行Sumudu逆變換得到

根據(jù)同倫攝動法，我們構造以下同倫：

(30)

其中An是關于U0,U1,U2,…，Un的Adomian多項式，它可以通過下式計算：

(31)

所以

(32)

依次可求出U0,U1,U2,…，Un的每一項,比較式(30)兩端系數(shù)得

(33)

所以

(34)

令α=2，則

4.2Sumudu分解法

根據(jù)同倫攝動法，有

(35)

所以

(36)

可化為

(37)

其中An是Adomian多項式的非線性項，前幾項為

(38)

比較等式兩邊系數(shù)得

(39)

所以

(40)

令α=2，則

同HPSTM的結果相同.

5 結 語

本文兩種方法都在保證數(shù)值解精度的情況下大大減少了計算量，因此在求解一系列非線性分數(shù)階局部微分方程分析解和數(shù)值解方面非常方便有效.

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BasedonHomotopyPerturbationMethodforSolvingNonlinearConversionSumuduFractionalPartialDifferentialEquations

YINWeishi,HANTao

(CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China)

In this paper,we use the homotopy perturbation Sumudu transformation method and Sumudu decomposition method to solve the nonlinear fractional differential equations,and the results are compared.The two methods are simple,and the approximate solutions are exactly the same.

fractional partial differential equations;homotopy perturbation Sumudu transform method;Sumudu decomposition method

0427-7104(2017)05-0527-06

2016-09-20

國家自然科學基金(11471067)

尹偉石(1980—)，男，博士研究生，講師，E-mail：yinweishi@foxmail.com.

O175.14

A