新的Nystrom法解二維第二類Fredholm積分方程

徐 建, 黃 晉

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611731)

新的Nystrom法解二維第二類Fredholm積分方程

徐 建, 黃 晉*

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611731)

基于Nystom方法的定義，利用積分中值定理下的Nystrom方法來(lái)解決線性的二維第二類Fredholm積分方程，從而得到積分方程的近似解，并且還對(duì)所得的近似解作了相應(yīng)的誤差估計(jì)和收斂性分析.最后，給出了一些相應(yīng)的數(shù)值算例，將數(shù)值解與解析解相比較，表明了該方法的可行性和有效性.

Nystrom方法； Fredholm積分方程； 誤差分析

由于積分方程已被廣泛應(yīng)用于彈性力學(xué)、流體力學(xué)、計(jì)算電磁學(xué)、計(jì)算生物和熱傳導(dǎo)等實(shí)際的工程問(wèn)題，因此受到很多人的關(guān)注和重視.近20年來(lái)，很多方法也用來(lái)解決第二類Fredholm積分方程，如配置法[1-2]、泰勒多項(xiàng)式逼近法[3-4]、Nystrom方法[5-7]、小波分析法[8-11]、Galerkin方法[12]等.

1 Nystrom方法的基本理論

考慮積分方程

f(x,y), (x,y)∈[a,b]×[a,b],

(1)

其中，f(x,y)是定義在[a,b]×[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，k(x,y,s,t)是連續(xù)的核函數(shù).所謂傳統(tǒng)的Nystrom方法：首先定義線性積分算子K是映C[a,b]×[a,b]到C[a,b]×[a,b]的緊算子，并且有

(x,y)∈[a,b]×[a,b].

(2)

由數(shù)值積分的插值求積公式有

(x,y)∈[a,b]×[a,b],

(3)

其中，(xm,yt)為[a,b]×[a,b]上的求積節(jié)點(diǎn)，m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1，一系列系數(shù)a00,a01,…,a0n;a10,a11,…,a1n;…;an0,an1,…,ann為求積系數(shù).為此，根據(jù)Nystrom方法，方程(1)的數(shù)值解可表示為

φn(x,y)=f(x,y)+

(4)

f(xi,yj),i=0,1,2,…,n-1,j=0,1,2,…,n-1.

(5)

為此，得到的積分方程數(shù)值解的方法叫Nystrom法或者叫機(jī)械求積法[1].

2 利用積分中值定理下新的Nystrom數(shù)值求積法

前面初步介紹了數(shù)值積分法，下面對(duì)這個(gè)方法進(jìn)行改進(jìn)，使之更加簡(jiǎn)化.在討論新方法之前，需要回顧積分中值定理:

(6)

為此，假設(shè)x0=a,…,xn=b，利用積分區(qū)間可加性定理有

(7)

(8)

其中xk

令

(9)

其中ck(k=0,1,2,…,n)都是常數(shù).如果ck是能夠被確定的，那么Tn(s,ck)這個(gè)求積公式就是精確的；但這只是理論的想法，而實(shí)際上Tn比T(s)更難處理，因?yàn)槌?shù)c和ck都是未知的，很難確定；但是將Tn(s,ck)這個(gè)公式應(yīng)用到求解第二類連續(xù)核的Fredholm積分方程的近似解中去，會(huì)使計(jì)算更加簡(jiǎn)單容易.為了使計(jì)算方便，通常都是取等距節(jié)點(diǎn)

xk=a+kh,k=0,1,2,…,n,

(10)

(11)

對(duì)于二維問(wèn)題，同理可以采用二重積分中值定理，然后再應(yīng)用于解二維第二類連續(xù)核的Fredholm方程中，得到

(12)

其中，0

hct(y))·φ(xm+hcm(x),yt+hct(y)),

(13)

其中，(x,y)∈[a,b]×[a,b]，未知函數(shù)cm(x)和ct(y)(m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1)分別依賴于x和y，且0

cm(x)=cm，ct(y)=ct，

(14)

其中,cm和ct都是常數(shù)，且0

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·φ(xm+hcm,yt+hct),

其中,(x,y)∈[a,b]×[a,b]，0

下面定義積分算子

hct)·φ(xm+hcm,yt+hct),

(15)

且有如下定理：

證明對(duì)于?φ∈C[a,b]×[a,b]，并且‖φ‖≤1,由于

而

hcm,yt+hct)·φ(xm+hcm,yt+hct)|≤

所以

(19)

即

又因?yàn)榉e分核函數(shù)k(x,y,s,t)是連續(xù)函數(shù)，所以必然存在一點(diǎn)(m0,n0)∈[a,b]×[a,b]使得

(20)

另外，若選擇φ0∈C[a,b]×[a,b]，‖φ0‖=1，且

k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)=

|k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)|,

m=0,1,2,…,n;t=0,1,2,…,n,

(21)

則可以得到

(22)

而

hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)=

(23)

因此，定理得證.

通過(guò)以上求積公式的算法構(gòu)造，可得到方程(1)的近似解

(x,y)∈[a,b]×[a,b],0

(24)

i=0,1,2,…,n-1;j=0,1,2,…,n-1.

(25)

也即原算子方程

φ-Kφ=f,

(26)

可以近似為算子方程

(27)

3 收斂性分析和誤差分析

對(duì)于以上的算法是否有效呢？得到的解是否收斂呢？誤差是否合理呢？這些都是值得去研究和討論的；為此，就需要進(jìn)一步對(duì)解的收斂性做判斷，以及對(duì)誤差進(jìn)行分析.首先，為了方便討論，令

其中,0

定理2如果函數(shù)s(x,y)[a,b]×[a,b]上是連續(xù)的，并且滿足利普希茨條件[1]：

1)‖s(x1,y)-s(x2,y)‖≤L1‖x1-x2‖,

2)‖s(x,y1)-s(x,y2)‖≤L2‖y1-y2‖，

其中L1和L2都是大于0的常數(shù),則有

(29)

證明因?yàn)?/p>

s(xm+hcm,yt+hct)‖=

s(xm+hcm,yt+hc)-s(xm+hcm,yt+hct)‖≤

‖s(xm+hcm,yt+hc)-s(xm+hcm,yt+hct)‖]≤

其中L1和L2都是大于0的常數(shù).又因?yàn)?/p>

所以

0<|c-cm|<1， 0<|c-ct|<1,

(31)

從而有

(32)

令

L1+L2=M,

(33)

則有

(34)

為此有

同樣，有如下定理：

定理3如果函數(shù)k(x,y,s,t)是在D內(nèi)上的連續(xù)函數(shù)，并且滿足利普希茨條件[1]：

1)‖k(x,y,s1,t)-k(x,y,s2,t)‖≤L3‖s1-s2‖，

2)‖k(x,y,s,t1)-k(x,y,s,t2)‖≤L4‖t1-t2‖，

3)‖φ(s1,t)-φ(s2,t)‖≤L5‖s1-s2‖，

4)‖φ(s,t1)-φ(s,t2)‖≤L6‖t1-t2‖，

其中L3、L4、L5以及L6都是大于0的常數(shù)，則有

(35)

證明因?yàn)?/p>

φ(xm+hcm,yt+hct)-

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤

φ(xm+hcm,yt+hct)-

k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖=

φ(xm+hcm,yt+hct)-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm,yt+hct(y))+

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm,yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))+

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))+

k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤

φ(xm+hcm,yt+hct)-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm,yt+hct(y))‖+

φ(xm+hcm,yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖+

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖+

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))-

k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))·

φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤

h3L4‖φ(x,y)‖

h3L3‖φ(x,y)‖

(36)

這里,0

h3L4‖φ(x,y)‖·n2+h3L3‖φ(x,y)‖·n2=

h3·n2(L4+L3)‖φ(x,y)‖=

(37)

若令

L6+L5=M1,L4+L3=M2,

(38)

則有

M2‖φ(x,y)‖],

(39)

從而得到

即定理得證.

M2‖φ(x,y)‖].

(40)

4 具體的算法步驟整理

由于0

可以得到近似解

(42)

之后，再采用求取平均值作為最終的近似結(jié)果，即

(43)

5 數(shù)值算例

例1[1]考慮二維的積分方程

首先，當(dāng)取n=5時(shí)，得到其解析解u和數(shù)值解un的圖像分別如圖1和圖2.

圖 2 當(dāng)n=5且k=10的數(shù)值解曲線

當(dāng)n=5、10、15,且k=10時(shí),其數(shù)值解un和解析解u的絕對(duì)誤差見(jiàn)表1.

表 1 誤差分析表

6 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于多維線性的第二類Fredholm積分方程，積分中值定理下的Nystrom方法是一種簡(jiǎn)單有效的方法，并且該方法所得到的數(shù)值解的收斂性和誤差估計(jì)也得到了分析和證明；但是該方法所達(dá)到的計(jì)算精度并不高，對(duì)它所得到的解進(jìn)行迭代過(guò)后，會(huì)達(dá)到更高的精度.當(dāng)然，更好的方法有待進(jìn)一步研究.

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The Solution of the Second Kind Fredholm Integral Equationunder the New Nystrom Method

XU Jian, HUANG Jin

(CollegeofMathematicsScience,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,Sichuan)

Based on the definition of Nystrom method, in this paper we use a new Nystyom method under the integral mean value theorem to solve the two-dimendion linear second kind Fredholm integral equation, and get its approximate solution. We also give the corresponding error estimation and convergence analysis for the approximate solution. Finally, a corresponding numerical example is given to show the feasibility and effectiveness of this method.

Nystrom method; Fredholm integral equation; error estimation

2016-04-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371079)

*通信作者簡(jiǎn)介：黃 晉(1965—)，男，教授，主要從事積分方程高精度算法的研究，E-mail：huangjin12345@163.com

O241.83

A

1001-8395(2017)05-0609-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.008

2010MSC:45B05

(編輯 余 毅)