非均質系統(tǒng)中主導振動子系統(tǒng)的阻尼辨識法

唐宇航， 梅志遠， 陳志堅

(海軍工程大學 艦船工程系， 武漢 430033)

非均質系統(tǒng)中主導振動子系統(tǒng)的阻尼辨識法

唐宇航， 梅志遠， 陳志堅

(海軍工程大學 艦船工程系， 武漢 430033)

復合材料以其優(yōu)越的性能在船舶制造領域應用愈加廣泛，鋼-復合材料非均質組合系統(tǒng)作為典型的工程結構形式，有著異于單一均質系統(tǒng)的動力學特性. 由于實際結構一般較為復雜，試驗測試時難以直接確定組合系統(tǒng)中各階主要參與振動或噪聲輻射的子系統(tǒng)組成. 為了直觀快速地獲取復合結構主導參與振動的子系統(tǒng)，從非均質組合系統(tǒng)的主從振動模式和阻尼耗散機理分析入手，結合統(tǒng)計能量分析原理中關于損耗因子的分類描述，對組合系統(tǒng)振動時所表征的阻尼規(guī)律進行分析. 計算并對比了鋼-復合材料組合系統(tǒng)各階模態(tài)內損耗因子，以及分析了其主導振動子系統(tǒng)的能量占比. 結果表明：排除聲輻射和邊界損耗影響后，非均質組合系統(tǒng)的內損耗因子在數(shù)值上接近于其主導振動子系統(tǒng)的材料損耗因子，并介于各子系統(tǒng)材料損耗因子極值之間. 完成了某典型組合系統(tǒng)的模態(tài)識別，驗證了運用損耗因子組成規(guī)律辨識主導振動子系統(tǒng)的可行性，彌補了試驗測試中對復雜非均質組合結構在模態(tài)識別方面的不足.

非均質；損耗因子；主導振動；復合材料；主從振動；組合系統(tǒng)

非均質系統(tǒng)有著異于均質系統(tǒng)的結構動力學特性，結構的各階振型、固有頻率、阻尼等均與材料屬性關系密切. 目前，非均質組合系統(tǒng)廣泛存在于船舶制造領域，主要表現(xiàn)為鋼-復合材料的組合結構形式，國外已積極推進潛艇大型承力構件、非承力構件上的復合材料應用研究，法國“凱旋”級上60%非耐壓結構都采用了結構功能一體化的聲學復合材料，美國海軍在聲吶導流罩、透聲窗、消聲瓦、推進裝置等局部也已實現(xiàn)了復合材料的實艇應用[1].

由機械振動引起的潛艇低頻輻射噪聲線譜，構成了潛艇的“聲紋”[2]，將復合材料運用在結構設計中，可以改變聲輻射的特征信號. 已有研究在聲固耦合模型基礎上，分析了機械結構板件聲輻射貢獻度，利用高阻尼材料進行了分布式的優(yōu)化設計[3]. 對于阻尼性能優(yōu)越復合材料，其組合結構具有顯著的自噪聲抑制特性. 但在試驗測試時，往往難以直接確定組合結構中各階主要參與振動或噪聲輻射的子系統(tǒng)組成. 常用的模態(tài)識別方法均是通過結構測試得到有限個頻響函數(shù)，并據(jù)此計算出結構總振型[4]，再判別譜線峰值頻率下所對應的主導振動子系統(tǒng)組成，然而實際結構一般較為復雜，通過試驗得到完整結構的總振動、局部振動分布規(guī)律時常難以實現(xiàn).

此外，對一般結構進行模態(tài)分析時，需將結構固定在基座或支撐構件上，試件與支撐構件均會不同程度的參與振動，為試件的模態(tài)振型、阻尼參數(shù)識別等帶來了困難. 郭雪蓮[5]等對航空發(fā)動機葉片高頻模態(tài)阻尼測試方法進行了描述，引入能量傳遞率的概念以辨識葉片的主導振動模態(tài)，為高頻阻尼識別提供了解決方案. 本文對組合系統(tǒng)振動時所表征阻尼規(guī)律進行理論分析，計算了鋼-復合材料組合結構的損耗因子，將其與結構主導振動子系統(tǒng)的能量占比進行對比. 通過試驗測試驗證了依據(jù)阻尼大小辨識組合結構主導振動方法的可行性.

1 非均質系統(tǒng)動力學及阻尼耗散機理

1.1非均質系統(tǒng)的主從振動模式

任何一個復雜多自由度系統(tǒng)均可以抽象成若干個子系統(tǒng)組成，一般將所關心的子系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)，其余則稱為從系統(tǒng)，各系統(tǒng)間的振動是相互耦合的，主從系統(tǒng)的確定也是辯證的[6]. 對于兩自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)，如圖1所示，若兩自由度間存在耦合，則動力學方程為

(1)

圖1 主從系統(tǒng)示意圖

該線性齊次代數(shù)方程組的非零解條件為

(2)

當主從系統(tǒng)單獨存在時，固有頻率為

(3)

D(ω2)=Z2-[1+(1+a)γ]Z+γ=0,

(4)

對于不同的頻率錯開系數(shù)γ，存在：當γ=0時，主從系統(tǒng)之間不發(fā)生聯(lián)系，系統(tǒng)的兩個固有頻率即為二者的單獨的固有頻率；當γ=1時，主從系統(tǒng)耦合顯著，且

(5)

當γ=時，主、從系統(tǒng)質量相互剛性連接.

按不同材料將系統(tǒng)進行主從系統(tǒng)分類，即使不考慮阻尼影響，子系統(tǒng)間的耦合影響也已不可忽視，在工程中需要從測試信號中，需要對子系統(tǒng)的主導振動進行辨識.

1.2非均質系統(tǒng)的能量損耗特征描述

根據(jù)能量耗散機理的阻尼直接描述，復剛度是包含有阻尼因素在內的剛度表達[7]，為

K*=K(1+jη),

(6)

則有阻尼的多自由度系統(tǒng)，存在

(7)

式中:η為損耗因子，表示位移對力或應變對應力的滯后；F為載荷向量. 對于由多個子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，其中第i個子系統(tǒng)若有耗能，則損耗因子為

ηi=ΔUi/Ui.

(8)

n個子系統(tǒng)中有m個子系統(tǒng)在振動中損耗能量，則系統(tǒng)的總損耗因子為

(9)

式中ΔUi、Ui分別為第i個子系統(tǒng)損耗、儲存能量.

1.3各子系統(tǒng)能量耗散成分分析

統(tǒng)計能量分析中將系統(tǒng)總損耗因子分為子系統(tǒng)的內損耗因子和子系統(tǒng)間的耦合損耗因子兩部分[8]，即并不是各子系統(tǒng)損耗因子的線性組合，但系統(tǒng)總體損耗能量是各子系統(tǒng)能耗的線性疊加，如式(9).

形成阻尼的機理有很多，在實際問題分析時很難將所有機理都考慮在內. 一般情況下，結構第i個子系統(tǒng)的內損耗因子ηi主要由結構損耗因子ηis、聲輻射損耗因子ηir和邊界損耗因子ηib三類獨立成分組成，分別對應于系統(tǒng)本身的材料阻尼、流體介質阻尼和系統(tǒng)邊界連接阻尼. 可表示為

ηi=ηis+ηir+ηib.

(10)

對于均質材料結構，假設在剛性一體化連接下無邊界損耗，且不計聲輻射損耗時，將結構細分為無限個子系統(tǒng)后，令β為材料損耗因子，第i個子系統(tǒng)內損耗因子存在關系

ηi=ηis=βi.

(11)

按式(9)可得到系統(tǒng)第q階模態(tài)內損耗因子為

(12)

可見，對于真空狀態(tài)下均質材料組成的剛性連接結構，其系統(tǒng)內損耗因子與材料損耗因子相等；

對于非均質的組合結構，即使不計邊界損耗與聲輻射損耗，系統(tǒng)第q階模態(tài)內損耗因子為

(13)

可見，非均質系統(tǒng)的內損耗因子還與子系統(tǒng)的材料構成、結構形式等相關，在全頻段上不僅受材料的頻變特性影響，還隨振型而變化(即參與耗能的子系統(tǒng)組合不同).

2 非均質組合系統(tǒng)損耗特征數(shù)值分析

2.1測試結構及有限元模型描述

對玻璃鋼、結構鋼殼板與鋼工裝的組合結構進行測試，相關參數(shù)見表1. 工裝為鋼材，其內腔體尺寸為600 mm×600 mm×500 mm，結構見圖2. 針對上述測試系統(tǒng)建立有限元模型，殼板單元采用實體單元建模，計算時考慮纖維鋪層方向、角度和厚度等，工裝采用殼單元建模，工裝底部剛性固支.

表1 殼板結構及材料性能參數(shù)

1—上蓋板; 2—殼板模型; 3—加強筋; 4—底座

為獲得精確的材料損耗因子參數(shù)，首先利用DMA粘彈儀對玻璃鋼、結構鋼的試件進行材料損耗因子測試，得到指定溫-頻下的材料損耗因子曲線(10 ℃下50～1 000 Hz頻段)，如圖3. 纖維增強材料與普通粘彈性材料不同，其玻璃化溫度較高，頻域內損耗因子極大值出現(xiàn)在極低頻率處，且在50～1 000 Hz頻段內損耗因子βf呈現(xiàn)隨頻率增大而略有減小的規(guī)律，處于0.007～0.008 5之間；鋼材的損耗因子βs很低，處于0.000 1附近，約為玻纖增強樹脂的1/80左右. 對二者數(shù)據(jù)進行擬合，取該頻段內的βf≈0.008、βs≈0.000 1，以簡化下節(jié)理論分析計算.

圖3 殼板的材料損耗因子曲線

2.2復特征值理論及能量占比分析方法

已有文獻[9]給出，復特征值法通過有阻尼結構的正交模態(tài)來求解，所得特征值和特征向量均為復數(shù)，且特征向量是正交的，可解耦動力方程. 建立有阻尼結構的有限元模型并引入材料阻尼，利用MSC.Nastran中的SOL 107模塊得到阻尼結構的固有頻率和模態(tài)結構損耗因子[3].

復特征值的定義為：

p=α+iω.

(14)

式中:α是阻尼結構衰減率的度量，ω是結構的圓頻率. 所得結構損耗因子ηs=-2α/|ω|. 該系統(tǒng)結構損耗因子考慮了子系統(tǒng)的材料特性、構成形式等因素以及子系統(tǒng)間耦合效果，利于總體損耗的描述.

進行子系統(tǒng)能量占比理論分析時，未將子系統(tǒng)與流體介質耦合作用下的聲輻射損耗因子ηir和邊界非剛性一體化連接影響下的邊界損耗因子ηib考慮在內，利用復特征值法計算得到組合系統(tǒng)的模態(tài)結構損耗因子ηis，探究了各子系統(tǒng)對該損耗因子的貢獻規(guī)律.

將所測試系統(tǒng)按照板單元、工裝分為兩個子系統(tǒng)，即子系統(tǒng)1、2. 仿真建模時將殼板與工裝間的節(jié)點剛性連接，總損耗因子為：

(15)

式中:U1、U2分別為子系統(tǒng)1、2的儲存能量；η1、η2分別為子系統(tǒng)1、2獨立存在時的損耗因子，由式(11)、(12)可知，存在η1=βf、η2=βs；η可由復特征值法計算得到. 則：

(16)

2.3主導振動子系統(tǒng)振動能量占比分析

測試時主要關心殼板的振動，然而經(jīng)模態(tài)計算發(fā)現(xiàn)，對于由玻璃鋼-工裝組合的結構系統(tǒng)，僅對玻璃鋼板模態(tài)提取分析時，相似殼板振型卻存在多個階次的模態(tài)固有頻率，如表2所示. 表2中第一行給出了固支方形殼板的理論振動模態(tài)振型(前6階)，第二、三行分別給出了對應第一行的理論振型下，殼板、工裝主導參與振動的系統(tǒng)總振動模態(tài)及階次.

表2玻璃鋼殼板-工裝組合系統(tǒng)殼板相似振型對比圖

Tab.2 Fiber glass shell plate-tooling combination system vibration pattern diagram

對于仿真計算，可以從系統(tǒng)總體模態(tài)振型圖中直接獲得所關心的(殼板主導)振動模態(tài)階次，而在試驗測試時，往往僅會在殼板上布置測點，所得振型圖也只能反映組合系統(tǒng)中殼板振動那一部分. 若不針對上述情況進一步分析，則無法從多個模態(tài)結果中識別殼板主導振動的階次，因此需要剔除由工裝大量參與振動下的模態(tài)階次.

本文根據(jù)復特征值法數(shù)值計算得到結構鋼、玻璃鋼殼板與工裝組合下各階固有頻率、模態(tài)損耗因子，結合式(16)理論分析得到玻璃鋼殼板-工裝系統(tǒng)的各階振動能量中子系統(tǒng)能量占比，對比結果如表3和圖4～5所示.

由表3可見，在不計系統(tǒng)的邊界損耗和聲輻射損耗的情況下，由鋼板-工裝所構成的模型，其模態(tài)損耗因子與鋼的材料損耗因子相同，不受振型和結構形式的影響；由玻璃鋼板-工裝所構成的鋼-復合材料組合結構，其模態(tài)損耗因子隨振型、頻率而變，主要由于參與振動的子系統(tǒng)耗能占比不同，各子系統(tǒng)能量損耗能力存在差異.

表3 系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)及子系統(tǒng)能量占比結果

圖4 各階模態(tài)下的子系統(tǒng)能量占比(玻璃鋼殼板)

圖5 系統(tǒng)各階模態(tài)損耗因子(玻璃鋼殼板)

進一步結合表3中數(shù)據(jù)對圖4～5進行分析. 圖4可見，玻璃鋼殼板子系統(tǒng)在組合系統(tǒng)模態(tài)的第1、5、6、15、21、22階中振動能量占比較大，在振動中起主導作用，而與上述殼板振型相似的第2、3、4、12、7、11階組合系統(tǒng)振動模態(tài)中，工裝參與振動的能量占比卻很大. 據(jù)此，與圖5作對比分析可見，當殼板主導振動時，組合系統(tǒng)模態(tài)內損耗因子接近于玻璃鋼的材料損耗因子βf；而當工裝主導振動時，組合系統(tǒng)模態(tài)內損耗因子接近于鋼的材料損耗因子βs.

在不計邊界和聲輻射損耗時，均質系統(tǒng)的各階模態(tài)內損耗因子η(q)與材料損耗因子相同；非均質系統(tǒng)的各階模態(tài)內損耗因子η(q)則同時由材料損耗和振型所決定，且組合系統(tǒng)的η(q)數(shù)值上接近于主導振動子系統(tǒng)的材料損耗因子，介于各子系統(tǒng)材料損耗因子的極(大/小)值之間. 根據(jù)這一原則可實現(xiàn)對復雜非均質系統(tǒng)中主導振動子系統(tǒng)的識別.

3 主導振動子結構的測試識別

3.1測試環(huán)境及方法

對圖2所示的實際結構進行測試，用蓋板與螺釘將殼板與工裝緊固約束連接，模態(tài)參數(shù)識別采用多點激勵多點拾振法(以辨別結構的模態(tài)重根)，激勵形式為力錘作用下的脈沖激勵，板正面均布121個激勵點，背面均布9個加速度響應拾振點. 激振點、拾振點布置見圖6.

圖6 殼板測點布置

利用DHDAS信號采集儀中的Polylscf法對結構進行分析，該方法是國際最新發(fā)展并流行的基于傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法，可在模態(tài)較密集的系統(tǒng)、FRF數(shù)據(jù)受到嚴重噪聲污染的情況下仍建立清晰的穩(wěn)態(tài)圖，較高精度地識別出模態(tài)固有頻率、阻尼和振型.

3.2響應頻譜及模態(tài)識別結果分析

以玻璃鋼殼板數(shù)值計算及試驗測試結果為例，相似板單元振型確實對應存在多個固有頻率和阻尼參數(shù)組合，即相似局部殼板振動形式下，存在多個階次的系統(tǒng)總振動模態(tài)，需要對該系統(tǒng)下的殼板主導振動模態(tài)進行判斷.

根據(jù)圖6所示的測點編號，取25#點激勵下，9個響應拾振點的頻響函數(shù)包絡線進行分析，以將各譜線峰值集中在一條曲線中，如圖7所示(其中數(shù)字標出了要進行判別的峰值，帶星號的是玻璃鋼板主導振動的峰值).

圖7中的譜線峰值進行模態(tài)識別和阻尼比計算，殼板主導振動辨識結果見表4所示. 其中，第1階與第2階、第3階與第4階、第9階與第10階等均各自具有相似的板單元振型(見表2分析)，但第2、3、9階與第6、7、8、11等階次模態(tài)參數(shù)類似，其模態(tài)阻尼比均較小，譜峰能量較小，判斷該響應峰值為工裝主導參與振動情況下的板單元局部振動，反之，第1、4、5、10、14、15、18、20階均為玻璃鋼殼板主導振動.

經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)，該組合系統(tǒng)的模態(tài)內損耗因子ηi測試結果較模態(tài)結構損耗因子ηis增大許多，主要在于實際模型中試驗板與工裝采用了螺釘連接，兩個子系統(tǒng)間存在邊界損耗ηib，同時空氣中的振動還存在聲輻射損耗ηir. 張永杰[10]等對鋼板在空氣中的聲輻射損耗因子進了分析，本文結合該研究，利用統(tǒng)計能量法對玻璃鋼殼板的系統(tǒng)模型完成了聲輻射損耗因子ηir計算，并基于DMA材料損耗因子實測曲線數(shù)據(jù)，計算該組合系統(tǒng)結構損耗因子ηis，得到以玻璃鋼殼板主導振動的前8階損耗因子見表4，以及系統(tǒng)在50～1 000 Hz頻段下的損耗因子組成如圖8所示.

圖7 系統(tǒng)頻響函數(shù)包絡線(玻璃鋼板)

圖8 玻璃鋼殼板主導振動下模態(tài)內損耗因子組成對比

Fig.8 Comparison of loss factor composition in the dominant vibration mode of glass fiber shell plate

表4玻璃鋼殼板主導振動模態(tài)內損耗因子

Tab.4 The loss factor of the dominant vibration mode of fiber glass shell plate

總振動階次*/(殼板主導振動階次)固有頻率/Hzηi/10-2ηis/10-2ηib/10-2ηir/10-21*/(1)198.31.4040.84050.54270.02084*/(2)378.41.7400.81130.91020.01855*/(3)404.91.6780.78830.87320.016410*/(4)589.71.6980.83850.84480.014714*/(5)723.41.2540.79220.44860.013215*/(6)744.91.4440.74110.69120.011718*/(7)877.11.3780.72460.64290.010520*/(8)904.11.3000.73850.55200.0094

圖8可知，玻璃鋼板的系統(tǒng)內損耗因子ηi主要由ηis和ηib所組成，且二者占比相當；試驗中空氣聲輻射損耗因子ηir與ηi相差1～2個數(shù)量級，對ηi的貢獻幾乎可以忽略；此外測試所得ηib在研究頻段內較為接近，均在0.006～0.008區(qū)間內，在進行研究時，實際結構的邊界損耗不容忽視.

4 結 論

根據(jù)工程運用的實際需求，本文分析了常見鋼-復合材料組合結構的振動模式，利用主從振動等理論對非均質組合系統(tǒng)振動特性及其能量耗散規(guī)律進行了描述，結合統(tǒng)計能量原理中關于系統(tǒng)損耗因子的分類，經(jīng)計算指出，在不計邊界損耗與聲輻射損耗情況下：

1)均質材料的組合結構，其系統(tǒng)內損耗因子與材料損耗因子相等；

2)非均質材料的組合結構，系統(tǒng)內損耗因子還與子系統(tǒng)的組成相關，且在頻域上受材料的頻變特性和振型影響.

進一步對組合系統(tǒng)振動中的子系統(tǒng)振動能量占比，及其損耗組成規(guī)律進行分析. 認為在排除聲輻射損耗和邊界損耗影響后，非均質組合系統(tǒng)的內損耗因子ηi數(shù)值上接近于其主導振動子系統(tǒng)的材料損耗因子，介于各子系統(tǒng)材料損耗因子的極(大/小)值之間. 由于復合材料的材料損耗因子較鋼材至少高出幾十倍，一般易于從損耗因子的量值上判斷出主導振動的子系統(tǒng).

這種運用阻尼量值來辨識非均質系統(tǒng)中主導振動子系統(tǒng)的方法簡單快速，為復雜系統(tǒng)的模態(tài)識別提供了技術支持.

[1] 陳鋒,齊國英,賴鳴,等. 國外新型核潛艇技術特征研究[J]. 艦船科學技術, 2014, 36(9): 153-157.

CHEN Feng, QI Guoying, LAI Ming, et al. Research on technical characteristic of foreign new generation nuclear submarine[J]. Ship Science and Technology, 2014, 36(9): 153-157.

[2] 夏齊強,陳志堅. 降低加肋雙層圓柱殼輻射噪聲線譜的結構聲學設計[J]. 聲學學報, 2014, 39(5): 613-622.

XIA Qiqiang, CHEN Zhijian. Structural-acoustic design to depress line spectrum of radiation noise from double cylindrical ring stiffened shell[J]. ACTA ACUSTICA, 2014, 39(5): 613-622.

[3] 張俊紅,李忠鵬,畢鳳容,等. 基于板件貢獻分析的裝載機駕駛室低噪聲設計[J]. 振動、測試與診斷, 2016, 36(3): 568-574.

ZHANG Junhong, LI Zhongpeng, BI Fengrong, et al. Low noise optimization design of loader cab based on panel contribution analysis[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis, 2016, 36(3): 568-574.

[4] 李德葆,陸秋海. 實驗模態(tài)分析及其應用[M]. 北京: 科學出版社, 2001: 58-67.

[5] 郭雪蓮,范雨,李琳. 航空發(fā)動機葉片高頻模態(tài)阻尼的實驗測試方法[J]. 航空動力學報, 2014, 29(9): 2104-2112.

GUO Xuelian, FAN Yu, LI Lin. Experimental test method for high-frequency modal damping of turbo machinery blades [J]. Journal of Aerospace Power, 2014, 29(9): 2104-2112.

[6] 金咸定. 船體振動學[M]. 上海: 上海交通大學出版社, 1987: 122-125.

[7] 戴德沛. 阻尼減振降噪技術[M]. 西安: 西安交通大學出版社, 1986: 38-40.

[8] 姚德源,王其政. 統(tǒng)計能量分析原理及其應用[M]. 北京: 北京理工大學出版社, 1995: 68-79.

[9] 鄒經(jīng)湘,李強. 在非比例阻尼情況下識別模態(tài)參數(shù)[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報, 1985 (增刊): 91-98.

ZOU Jingxiang, LI Qiang. Identifying modal parameters in case of non-proportional damping[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 1985(special): 91-98.

[10]張永杰,肖健,韋冰峰,等. 一種新的基于脈沖激勵的內損耗因子獲取方法[J]. 振動與沖擊, 2014, 32(12): 161-164.

ZHANG Yongjie, XIAO Jian, WEI Bingfeng, et al. A new method for estimating damping loss factor based on multi-pulse excitation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 32(12): 161-164.

Dampingidentificationmethodofdominantvibrationsubsysteminheterogeneoussystem

TANG Yuhang, MEI Zhiyuan, CHEN Zhijian

(Department of Naval Architecture Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Composite materials with its superior performance are more widely used in the field of shipbuilding. As a typical engineering structure, steel-composite with heterogeneous property has the dynamic characteristics different from that of a single homogeneous system. As the actual structure is generally more complex, it is difficult to directly determine the composition of the subsystems involved in vibration or noise radiation in the composite structure. In order to obtained the subsystem that are involved in the vibration of the composite structure, based on the analysis of the master-slave vibration mode and damping dissipation mechanism of heterogeneous composite system, combining with statistical energy analysis principle on the loss factor classification description, the damping law of the composite system was analyzed. The loss factors and the energy proportion of the dominant vibration subsystem of steel-composite system were calculated and compared. The results show that after eliminating the effects of radiation loss and boundary loss, the internal loss factor of the heterogeneous composite system close to the material loss factor of its dominant vibration subsystem in magnitude, and between each subsystem of material loss factor value. The modal recognition of a typical combination system is completed, and the feasibility of using the loss factor composition rule to identify the dominant vibration subsystem is verified. The deficiency of complex non-homogeneous composite structure in modal recognition is made up.

heterogeneous; loss factor; dominant vibration; composites; master-slave vibration mode; combination system

10.11918/j.issn.0367-6234.201703015

TH212；TH213.3

A

0367-6234(2017)11-0130-07

2017-03-03

國家自然科學基金(51479205)

唐宇航(1991—)，男，博士研究生；梅志遠(1973—)，男，教授，博士生導師.

梅志遠，zhiyuan_mei@163.com

(編輯苗秀芝)