橢圓形均勻帶電環(huán)中心點電勢的數(shù)值計算

金玲玲，敬曉丹，袁 泉

（遼寧工業(yè)大學 理學院，遼寧 錦州 121001）

橢圓形均勻帶電環(huán)中心點電勢的數(shù)值計算

金玲玲，敬曉丹，袁 泉

（遼寧工業(yè)大學 理學院，遼寧 錦州 121001）

利用直角坐標系下的橢圓參數(shù)方程推導出橢圓形均勻帶電環(huán)中心點的電勢計算的積分形式。根據(jù)數(shù)值分析中的Netwon-Cotes公式，計算出橢圓形均勻帶電環(huán)中心點的電勢值，并由此得到了均勻帶電圓環(huán)中心點處的電勢，為其他形狀的均勻帶電曲線的電勢數(shù)值計算提供了一種方法。

電勢疊加原理；橢圓帶電環(huán)；數(shù)值計算

根據(jù)大學物理學中的電勢的定義和電勢疊加原理，比較容易計算均勻帶電圓環(huán)中心處的電勢，而更為普遍的橢圓形均勻帶電環(huán)中心處的電勢和場強的計算[1-2]標系下對弧長積分，由于被積函數(shù)復雜或不容易找到原函數(shù)，需要進行數(shù)值積分[3]的計算。本文擬用直角坐標系下的橢圓參數(shù)方程，推導出橢圓形均勻帶電環(huán)在中心處的電勢的計算表達式，并利用數(shù)值積分的公式，計算出中心處的電勢，并根據(jù)結果討論得出圓心處的電勢。

1 理論計算

如圖1所示，橢圓形均勻帶電環(huán)的帶電量為q，半長軸為a，半短軸b(a＞b)。根據(jù)電勢疊加原理，取帶電線密度為λ=q/π(a+b)，在(x,y)處的微元 dl，帶電量為dq=λdl，在橢圓的中心處o產生的電勢為：

圖1 橢圓形均勻帶電環(huán)

整個橢圓上的電荷q在中心點 o產生的電勢為：

直角坐標系下，根據(jù)橢圓參數(shù)方程x=acosθ，y=bsinθ(0≤θ＜2π)，微元：

微元到中心點的距離：

將dl、r代入式(1)、式(2)并化簡得：

由橢圓形均勻帶電環(huán)的對稱性可知，整個橢圓形帶電環(huán)產生的電勢等于第一象限的1/4橢圓弧長產生的電勢的4倍，對式(3)積分得：

由于式(4)的原函數(shù)不容易找到或者非常復雜，可以利用數(shù)值分析中的Newton-Cotes公式進行計算。在θ=[0，π/2]內采用 5個等距插值節(jié)點θ0、θ1、θ2、θ3、θ4，θ=0，π/8，2π/8，3π/8，4π/8；將[0，π/2]區(qū)間4等分，即n=4的Newton-Cotes數(shù)值積分公式：

其中：

根據(jù)式(5)的Newton-Cotes公式：

中心點處的電勢：

式(6)推出的橢圓形均勻帶電環(huán)中心點處的電勢的數(shù)值計算公式，對于b/a比值不是很小(保證點電荷的條件成立)的均勻帶電環(huán)的電勢都可以求出數(shù)值解。

若橢圓帶電環(huán)的半長軸和半短軸相等，即a=b=R，式(6)中的u=q/4πε0R，這便是熟知的均勻帶電圓環(huán)在圓心處的電勢計算公式。

2 結論

分別利用直角坐標系下的橢圓方程，根據(jù)電勢疊加原理，推導出了橢圓形均勻帶電環(huán)中心點的電勢計算式。為提高計算精度，利用n=4的Newton-Cotes積分公式，對橢圓形均勻帶電環(huán)中心點的電勢進行數(shù)值計算，并進一步得到均勻帶電圓環(huán)圓心的電勢。將數(shù)值積分公式應用到電勢疊加原理的計算，解決了電勢計算過程中不容易找到原函數(shù)或原函數(shù)較復雜時均勻帶電環(huán)的電勢積分計算問題。

[1]張之翔.均勻帶電圓環(huán)的電場強度[J].大學物理,2012(5): 14-16.

[2]穆良柱,陳熙謀.畢奧-薩伐爾定律建立過程中的數(shù)學分析[J].大學物理,2008(11): 5-7.

[3]李慶揚,王能超,李大義.現(xiàn)代數(shù)值分析[M].北京: 高等教育出版社,1995.

Numerical Calculation of Electric Potential at Center Point of Elliptic Circle with Uniform Charge

JIN Ling-ling,JING Xiao-dan,YUAN Quan
（College of Science,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China）

The electric potential was derived by using superposition principle under elliptic parameter equation in rectangular coordinates system,which is at center point of elliptic circle with uniform charge.According to Newton-Cotes formula in numerical analysis,the electric potential was calculated by numerical calculation,especially electric potential at the center point of circle was presented as a deduction.

principle of superposition of electric potential; elliptic circle; numerical calculation

O411.3

A

1674-3261(2017)05-0343-02

10.15916/j.issn1674-3261.2017.05.015

2016-11-04

金玲玲(1975-)，女(滿族)，遼寧鞍山人，講師。

責任編校：孫 林