廣義Zbaganu常數(shù)

崔云安++張美玲

摘要：在Banach空間X中引入了一個(gè)新的幾何常數(shù)CpzX，稱為廣義的Zbaganu常數(shù)。 計(jì)算了該常數(shù)在任何Banach空間X中的上下界估計(jì)值。 同時(shí)， 給出了X是一致非方的等價(jià)條件，并討論了C（p）z（X）常數(shù)與James常數(shù)之間的關(guān)系。 最后將CpzX常數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)建立聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：廣義Zbaganu常數(shù)；James常數(shù)；一致非方；不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，正規(guī)結(jié)構(gòu)

DOI：1015938/jjhust201705023

中圖分類號(hào)： O1772

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）05-0126-04

Generalized Zbaganu Constant

CUI Yunan，ZHANG Meiling

（Department of Mathematics， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：A new geometric constant CpzX for a Banach space X is introduced ，called the generalized Zbaganu constant Next， it is shown that the upper and the lower bounds of the constant estimation for any Banach space X Moreover， it gives the equivalent conditions of X is uniformly nonsquare and that discusses the relationship between the James constant and CpzX Finally， the relationship between C（p）z（X） and the fixed point property is found

Keywords：the generalized Zbaganu constant； James constant； uniform nonsquareness； the fixed point property； normal structure

收稿日期： 2015-11-19

基金項(xiàng)目： 黑龍江省自然科學(xué)基金（A2015018）

作者簡(jiǎn)介：

崔云安（1961—），男，博士，教授，Email：cuiya@hrbusteducn

張美玲（1992—），女，碩士研究生

1預(yù)備知識(shí)

近年來(lái)，Banach空間X上有很多幾何常數(shù)被廣泛研究[1-9]。 尤其是Zbaganu常數(shù)CzX和James常數(shù)JX， 引起了廣泛的關(guān)注。 根據(jù)CzX常數(shù)引入了新的幾何常數(shù)，廣義Zbaganu常數(shù)CpzX。 當(dāng)p=2時(shí)，CpzX=CzX。并且CpzX常數(shù)在Banach空間上有很多好的性質(zhì)可以被應(yīng)用。

在本文中，以X表示Banach空間，用BX=x∈X：‖x‖≤1和SX=x∈X：‖x‖=1分別表示Banach空間X的單位球及單位球面。下面給出與本文相關(guān)的定義以及定理。

定義1CZ（X）[10]常數(shù)定義為：

CzX=sup‖x+y‖‖x-y‖‖x‖2+‖y‖2：x，y∈X，x，y≠0，0。

定義2我們將其推廣成CpzX，定義為：

CpzX=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0。

將CpzX參數(shù)化（文[11]和[12]），則

CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1。

定義3James常數(shù)定義為：

JX=supmin‖x+y‖，‖x-y‖：x，y∈SX。

定義4在Banach空間中，弱正交系數(shù)定義如下：

w（X）=supr>0：limsupn→

SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→

SymboleB@ ‖x-xn‖，

xnX，xnw0，x∈X

定義5[13]在Banach空間中，定義w（X）的倒數(shù)如下：

uX=infr>0：limsupn→

SymboleB@ ‖x+xn‖≤rlimsupn→

SymboleB@ ‖x-xn‖，

xnX，xnw0，x∈X。

定義6X稱為具有正規(guī)結(jié)構(gòu)（弱正規(guī)結(jié)構(gòu)），若X的每個(gè)直徑大于0的有界閉凸子集（弱緊凸子集）C至少包含一個(gè)非直徑點(diǎn)，即任意x∈C，

sup‖y-x‖：y∈C=diamC=sup‖y-z‖：y，z∈C。

Banach空間X有弱正規(guī)結(jié)構(gòu)（正規(guī)結(jié)構(gòu)）則X具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)（不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)）[14-15]。

2主要結(jié)果

定理1當(dāng)1≤p<

SymboleB@ 時(shí)，Banach空間X上的廣義Zbaganu常數(shù)CpzX滿足不等式12p-2≤CpzX≤2。

證明：1）令x=αy，

CpzX

=sup‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p：x，y∈X，x，y≠0，0

≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p

=1+αp21-ap22p-21+αpendprint

當(dāng)α→0+時(shí)，CpzX≥12p-2。

2）CpzX

=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1

≤sup‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp：x，y∈SX，0≤t≤1

因?yàn)椤瑇+ty‖p+‖x-ty‖p≤‖x‖+t‖y‖p+‖x‖+t‖y‖p

=2‖x‖+t‖y‖p

=21+tp

所以‖x+ty‖p+‖x-ty‖p2p-11+tp≤21+tp2p-11+tp。

應(yīng)用φu=u的凸性，得到

1+tp=2·1+t2p=2p1+t2p≤2p1+tp2=2p-11+tp。

所以‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-2（1+tp）≤2·2p-1（1+tp）2p-1（1+tp）=2， 因此

CpzX=sup‖x+ty‖p2‖x-ty‖p22p-21+tp：x，y∈SX，0≤t≤1≤2。

定理2Banach空間X， 當(dāng)1≤p<

SymboleB@ 時(shí)，JX≤2p-1ppCpzX。

證明：當(dāng)1≤p<

SymboleB@ ，任意x，y∈SX，

min‖x+y‖，‖x-y‖p≤‖x+y‖‖x-y‖p

=2p-2‖x‖p+‖y‖pCpzX

=2p-1CpzX

所以min‖x+y‖，‖x-y‖≤2p-1ppCpzX。所以JX≤2p-1ppCpzX。

引理1[16]當(dāng)1

SymboleB@ 時(shí)，Banach空間X是一致非方當(dāng)且僅當(dāng)存在δ∈0，1滿足對(duì)于任意x，y∈X，‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2。

根據(jù)定理2與引理1，可以得到下面的定理。

定理3當(dāng)1≤p<

SymboleB@ ，Banach空間X是一致非方當(dāng)且僅當(dāng)CpzX<2。

證明：1）必要性根據(jù)定理2顯然得證。

2）充分性

i）當(dāng)p=1時(shí)，

min‖x+y‖，‖x-y‖≤‖x+y‖‖x-y‖

所以JX≤C1zX，對(duì)于任意x，y∈SX。由已知得C1zX<2，則JX<2，得證。

ii） 當(dāng)1

SymboleB@ 時(shí)，

2‖x+y‖p2‖x-y‖p2≤‖x+y‖p+‖x-y‖p

則‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-1≤‖x+y2‖p+‖x-y2‖p≤2-δ‖x‖p+‖y‖p2

所以‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p≤2-δ，得證。

根據(jù)定理2，3。得到下面的推論。

推論1對(duì)于任意的1≤p<

SymboleB@ ，Banach空間X上的不等式CpzX<2和JX<2是等價(jià)的。 此外， 如果Banach空間X滿足CpzX<2，那么X有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

證明：如果Banach空間X是一致非方當(dāng)且僅當(dāng)JX<2。根據(jù)定理3，如果Banach空間X是一致非方當(dāng)且僅當(dāng)CpzX<2。因此， JX<2當(dāng)且僅當(dāng)CpzX<2。此外，任意的一致非方的Banach空間有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。所以如果Banach空間X中CpzX<2，那么X有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

定理4Banach空間X滿足CpzX<12p-11+1uX，那么X有正規(guī)結(jié)構(gòu)。

證明：如果JX<2，那么X是自反的[9]。如果X是自反的，正規(guī)結(jié)構(gòu)與弱正規(guī)結(jié)構(gòu)一致。假如X不是弱正規(guī)結(jié)構(gòu)，那么在X中存在有界序列xn，使得下面的式子成立[17]。

1）在X中xn弱收斂到0，

2）diamxn：n=1，2，…=1，

3）對(duì)于任意x∈convxn：n=1，2，…，limn→

SymboleB@ ‖x-xn‖=diamxn：n=1，2，…=1。

固定ε>0，并且ε充分小。用上面xn的性質(zhì)和uXu=uX的定義，可以得到兩個(gè)整數(shù)m，n，且m>n，滿足

1）‖xn‖≥1-ε，

2）‖xm-xn‖≤1，

3）‖xm+xn‖≤u+ε，

4）‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖≥1+1u+ε1-ε，

5）‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖≥1+1u+ε‖xn‖-ε，

因?yàn)閘imsup

n→

SymboleB@ ‖xm+xn‖≤ulimsupn→

SymboleB@ ‖xm-xn‖對(duì)于條件2），當(dāng)m足夠大，則‖xm-xn‖≤u+ε，則3）得證。

下面證明4）和5），固定n∈N和定義u=uX。根據(jù)Mazur定理可以得到

1-1u+ε/1+1u+εxn∈convxk：k∈N（1）

因?yàn)楫?dāng)n→

SymboleB@ 時(shí)，xn弱收斂到0。根據(jù)Mazur定理0∈convxk：k∈N，因?yàn)椋?）成立，所以假設(shè)X不具有正規(guī)結(jié)構(gòu)，當(dāng)m>n，有‖xm-1-1u+ε1+1u+ε‖≥1-ε 4）得證。同理5）成立。

令x=xm-xn，y=u+ε-1xm-xn，并且‖x‖≤1，‖y‖≤1，

‖x+y‖=‖1+1u+εxm-1-1u+εxn‖

≥1+1u+ε1-ε，

‖x-y‖=‖1-1u+εxm-1+1u+εxn‖

≥1+1u+ε‖xn‖-ε

≥1+1u+ε1-ε-ε，

根據(jù)CpzX的定義，

CpzX≥‖x+y‖p2‖x-y‖p22p-2‖x‖p+‖y‖p

≥1+1u+εp21-εp21+1u+ε1-ε-εp22p-11+1。

令ε→0+，故CpzX≥12p-11+1up，與假設(shè)矛盾，得證。

3結(jié)論

本文的主要結(jié)果是在Banach空間中引入廣義C（p）z（X）常數(shù)的概念， 并在Banach空間中計(jì)算C（p）z（X）常數(shù)的上下界估計(jì)，介紹它與James常數(shù)之間的關(guān)系，并且把不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)與C（p）z（X）常數(shù)建立聯(lián)系[18-21]?？梢愿鶕?jù)本文計(jì)算出廣義C（p）z（X）在具體空間的值。

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（編輯：溫澤宇）endprint