考慮不同邊界條件懸臂梁的模態(tài)研究

劉建英，王效岳，宮金良

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

考慮不同邊界條件懸臂梁的模態(tài)研究

劉建英，王效岳，宮金良

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

為了提高假設(shè)模態(tài)法建立動(dòng)力學(xué)模型的精確性，研究了將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為更精確的懸臂梁模型的問題。通過分析不同邊界條件對(duì)Euler-Bernoulli懸臂梁橫向振動(dòng)的影響規(guī)律，將懸臂梁自由端的剪力邊界條件具體化為集中質(zhì)量和拉伸彈簧，彎矩邊界條件具體化為扭轉(zhuǎn)彈簧和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件，得到了各種邊界條件下懸臂梁的模態(tài)頻率和模態(tài)振型的變化規(guī)律。結(jié)果表明添加邊界條件的懸臂梁模型可以更好地表示柔性機(jī)械臂的模態(tài)振動(dòng)，因此可以提高假設(shè)模態(tài)法建立的動(dòng)力學(xué)模型的精確性。針對(duì)柔性機(jī)械臂之間模態(tài)振動(dòng)耦合較強(qiáng)，添加邊界條件無法表示柔性機(jī)械臂模態(tài)頻率的變化規(guī)律，提出了修正當(dāng)量密度的方法。最后給出了邊界條件和修正當(dāng)量密度的迭代計(jì)算方法，并用ANSYS和ADAMS聯(lián)合仿真分析了由驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和自由關(guān)節(jié)連接的二連桿柔性機(jī)械臂模型對(duì)應(yīng)的模態(tài)振動(dòng)，驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。

柔性機(jī)械臂；懸臂梁模型；邊界條件；模態(tài)振動(dòng)

因柔性機(jī)械臂有負(fù)載大，質(zhì)量輕，耗能低等特點(diǎn)，以及柔性欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為[1-2]，近幾年受到越來越多關(guān)注。在建立柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行離散化。由于機(jī)械臂的離散方法直接決定了動(dòng)力學(xué)方程精度，因此如何對(duì)柔性機(jī)械臂離散是多柔體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，目前較有效的方法有假設(shè)模態(tài)法[3-4]、有限元法[5]和Bezier插值法[6-7]。假設(shè)模態(tài)法是從振動(dòng)的固有特性出發(fā)，運(yùn)用模態(tài)振動(dòng)的線性組合描述物體的彈性振動(dòng)[8-9]。有限元法雖然通用性強(qiáng)，但建立的動(dòng)力學(xué)方程含有較多的廣義變量，會(huì)導(dǎo)致巨大的計(jì)算量[10]。Bezier插值法作為變形體新的離散方法,對(duì)于其處理多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其控制問題尚未找到相關(guān)文獻(xiàn)。假設(shè)模態(tài)法以較少的自由度和方程數(shù)目來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的離散，為了便于控制，柔性機(jī)械臂多采用此方法建立動(dòng)力學(xué)方程[11]。但在將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化時(shí)，多數(shù)文獻(xiàn)直接將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁或者懸臂梁，而未進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化原因以及簡(jiǎn)化后模型的精確性[12]。

在欠驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)人中既包含驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)也包含自由關(guān)節(jié)，柔性機(jī)械臂的受力情況較復(fù)雜，因此其離散模型不能直接使用簡(jiǎn)支梁或懸臂梁。文獻(xiàn)[13]根據(jù)柔性機(jī)械臂末端受彎矩和剪力情況，將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為固定梁、簡(jiǎn)支梁或者懸臂梁。然而將梁邊界條件視為兩端簡(jiǎn)支或固定，則此模型不能體現(xiàn)由于機(jī)械臂的柔性變形導(dǎo)致的末端位置的變化。也就是說這種簡(jiǎn)化的假設(shè)前提是，柔性機(jī)械臂變形前后兩端關(guān)節(jié)的相對(duì)位置不變，所以簡(jiǎn)化后的模型不夠精確。文獻(xiàn)[14-15]數(shù)據(jù)表明，柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化成懸臂梁更為準(zhǔn)確。在使用假設(shè)模態(tài)法建模時(shí)，應(yīng)具體分析柔性機(jī)械臂的模態(tài)特性。本文研究了不同邊界條件對(duì)懸臂梁模態(tài)振動(dòng)和模態(tài)振型變化規(guī)律的影響。應(yīng)用ANSYS和ADAMS聯(lián)合仿真對(duì)柔性機(jī)械臂進(jìn)行模態(tài)分析。根據(jù)所得規(guī)律，選用合適的邊界條件表示柔性機(jī)械臂的模態(tài)振動(dòng)受驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)或自由關(guān)節(jié)的影響。

1 不同邊界條件對(duì)懸臂梁模態(tài)振動(dòng)的影響規(guī)律

1.1懸臂梁橫向自由振動(dòng)微分方程

懸臂梁模型見圖1。

根據(jù)等截面Euler-Bernoulli梁彎曲理論，梁的無阻尼振動(dòng)微分方程[16]為

(1)

采用分離變量法求解式(1)，即令

w(x,t)=φ(x)δ(t)

(2)

(3)

式中：δ(t)為時(shí)間相關(guān)函數(shù)，其中常數(shù)A,B由梁的初始條件決定；φ(x)為振型函數(shù)，其中常數(shù)C1，C2，C3，C4，β由梁的邊界條件決定。

將懸臂梁自由端的邊界條件分為兩類：剪力和彎矩。

(1) 剪力邊界條件：末端包含拉伸彈簧和集中質(zhì)量的邊界條件為

(4)

(2) 彎矩邊界條件：末端包含扭轉(zhuǎn)彈簧和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件的邊界條件為

(5)

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩；kt為扭轉(zhuǎn)彈簧剛度；k為拉伸彈簧剛度；I0為轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為梁末端集中質(zhì)量。

下面將使用具體的梁，研究不同邊界條件對(duì)懸臂梁模態(tài)振動(dòng)的影響，梁的相關(guān)參數(shù)為：梁的長度l=0.25 m；寬度b=0.03 m；厚度h=0.004 m；抗彎截面系數(shù)I=1.6×10-10m4；彈性模量E=6.9 GPa；密度ρ=2 800 kg/m3；梁的質(zhì)量m0=0.084 kg；梁的末端質(zhì)量m=1.326 5 kg。

1.2剪力邊界條件對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響分析

末端集中質(zhì)量與拉伸彈簧邊界條件分別為

(6)

(7)

編寫求解振動(dòng)微分方程的MATLAB程序。

圖2是懸臂梁末端添加集中質(zhì)量后梁的模態(tài)頻率的變化曲線。圖3是末端含有不同集中質(zhì)量的懸臂梁的前三階模態(tài)振型。

圖2 末端集中質(zhì)量對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率的影響曲線Fig.2 The influence of the concentration mass on the modal frequency of the cantilever beam

由圖2與圖3對(duì)照可知，末端集中質(zhì)量主要影響懸臂梁自由端的振幅。集中質(zhì)量越大，梁的自由端的振幅越小，梁的振動(dòng)頻率越低。當(dāng)集中質(zhì)量大于梁的質(zhì)量時(shí)，二階及其高階模態(tài)振型末端很快接近零，而一階振型的末端則緩慢接近零，所以當(dāng)集中質(zhì)量繼續(xù)增大時(shí)，集中質(zhì)量只對(duì)其一階模態(tài)頻率有明顯影響。并且當(dāng)集中質(zhì)量無窮大時(shí)，一階振型趨近x軸，一階模態(tài)頻率趨近于零。

(a)(b)(c)

concentrated mass at the end

圖4是懸臂梁末端添加拉伸彈簧后梁的模態(tài)頻率的變化曲線。圖5是含有不同剛度拉伸彈簧的懸臂梁的前三階模態(tài)振型。

圖4 拉伸彈簧剛度對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率影響曲線Fig.4 Modal frequency curve of the cantilever beam with the tensile spring stiffness

(a)(b)(c)

由圖4與圖5對(duì)照可知，隨著拉伸彈簧的剛度增大，懸臂梁的模態(tài)振型和模態(tài)頻率越來越接近邊界條件是固定—簡(jiǎn)支梁。理論上，當(dāng)拉伸彈簧的剛度無窮大時(shí)，懸臂梁自由端撓度值為零，不受彎矩，因此懸臂梁的模態(tài)振型和模態(tài)頻率等同于固定—簡(jiǎn)支梁。

1.3彎矩邊界條件對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響分析

扭轉(zhuǎn)彈簧和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件邊界條件分別為

(8)

(9)

圖6是懸臂梁末端添加扭轉(zhuǎn)彈簧后懸臂梁的模態(tài)頻率的變化曲線。圖7是含有不同剛度扭轉(zhuǎn)彈簧的懸臂梁的前三階模態(tài)振型。

圖6 扭轉(zhuǎn)彈簧剛度對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率影響曲線Fig.6 Influence of torsional spring stiffness on the modal frequency of a cantilever beam

(a)(b)(c)

由圖6與圖7對(duì)照可知，扭轉(zhuǎn)彈簧可在一定程度上增大懸臂梁自由端的振幅，其模態(tài)頻率也隨之增大。扭轉(zhuǎn)彈簧剛度在一定范圍內(nèi)對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率與模態(tài)振型影響較大。當(dāng)扭轉(zhuǎn)彈簧剛度增加到一定值后，彈簧剛度的增大對(duì)懸臂梁的模態(tài)振型和模態(tài)頻率影響變得非常小。

圖8是懸臂梁末端添加轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件后懸臂梁的模態(tài)頻率的變化曲線。圖9是含有不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元件的懸臂梁的前三階模態(tài)振型。

圖8 轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率影響曲線Fig.8 Modal frequency influence curve of rotating inertial components on a cantilever beam

(a)(b)(c)

由圖8和圖9對(duì)照可知，受到轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件的影響，懸臂梁的高階模態(tài)頻率和模態(tài)振型越來越趨近于低階的模態(tài)振型和模態(tài)頻率。圖9中，當(dāng)I0為0.001 kg·m2與0相比時(shí)，梁的二階振型與一階振型相似，三階振型與二階振型相似。轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件對(duì)二階及其高階模態(tài)頻率影響較大，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大到一定值后，各階模態(tài)頻率的變化趨于平緩。

由以上分析可知，不同邊界條件對(duì)懸臂梁的模態(tài)振型和模態(tài)頻率變化規(guī)律的影響相差很大。同樣是剪力邊界條件，集中質(zhì)量和拉伸彈簧對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率和模態(tài)振型影響完全不同。扭轉(zhuǎn)彈簧剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性元件對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率和模態(tài)振型影響也不同。因此，在將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為懸臂梁時(shí)，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)機(jī)械臂末端受彎矩或剪力的情況把梁末端的邊界條件視化為固定端或簡(jiǎn)支端。而是需要仔細(xì)分析柔性機(jī)械臂的模態(tài)頻率和模態(tài)振型的變化規(guī)律，選擇具有合適邊界條件的懸臂梁模型。

2 柔性機(jī)械臂與剛性機(jī)械臂連接對(duì)應(yīng)懸臂梁的邊界條件

ADAMS是較常用的多體動(dòng)力學(xué)分析軟件。對(duì)于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力的分析，ADAMS應(yīng)用模態(tài)疊加法模擬柔性體的彈性變形[17]，構(gòu)件的模態(tài)數(shù)據(jù)由ANSYS生成，分析結(jié)果可靠性高。本文將應(yīng)用ANSYS與ADAMS聯(lián)合仿真，將柔性機(jī)械臂的柔性桿部分在ANSYS中劃分單元，并生成包含模態(tài)信息的中間文件。將中間文件導(dǎo)入到ADAMS中，完成柔性機(jī)械臂建模后進(jìn)行模態(tài)分析。

把柔性機(jī)械臂作為剛?cè)狁詈蠘?gòu)件分析。建立ADAMS模型時(shí)把連接電機(jī)和柔性桿的電機(jī)座視為剛體，用長方體表示。把柔性機(jī)械臂末端的電機(jī)與編碼器視為集中質(zhì)量添加在柔性桿的末端，用半徑為4 mm的球體代替。則剛體、柔性桿和球體組合表示完整的柔性機(jī)械臂。建立好ADAMS模型后，進(jìn)行無阻尼模態(tài)分析。

圖10是柔性機(jī)械臂的ADAMS模型。表1是柔性機(jī)械臂模型的模態(tài)分析與Euler-Bernoulli懸臂梁的理論計(jì)算結(jié)果。

圖10 單個(gè)柔性機(jī)械臂的ADAMS模型Fig.10 ADAMS model of a single flexible manipulator

表1 末端包含集中質(zhì)量柔性梁的模態(tài)頻率結(jié)果比較Tab.1 Comparison of modal frequency results of concentrated mass flexible beams at the end of the end

由表1數(shù)據(jù)對(duì)比可知，將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為末端集中質(zhì)量的懸臂梁模型，其計(jì)算結(jié)果可以保持在較小誤差內(nèi)，因此說明簡(jiǎn)化模型正確并可用。

在ADAMS中，柔性機(jī)械臂的末端添加一個(gè)剛性機(jī)械臂，關(guān)節(jié)處用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。若關(guān)節(jié)是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)則在關(guān)節(jié)處添加轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)，其關(guān)節(jié)自由度為零。若是自由關(guān)節(jié)則不加電機(jī)，其自由度為1。表2是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)柔性機(jī)械臂模型的模態(tài)分析結(jié)果。

表2柔性機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接剛性機(jī)械臂的模態(tài)頻率
Tab.2Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorisaddedtodrivethejointtoconnecttherigidarm

模態(tài)階數(shù)歐拉梁理論值/Hz連接剛性機(jī)械臂模型/Hz相對(duì)誤差/%一階2.2832.2800.13二階326.511354.7738.66三階899.942969.5727.74四階1764.1891895.4917.44五階2916.2563121.5377.04

表2中，第三列數(shù)據(jù)是柔性機(jī)械臂末端添加了剛性機(jī)械臂的模態(tài)分析結(jié)果。第二列數(shù)據(jù)是添加了邊界條件后，懸臂梁的前五階模態(tài)頻率的理論值。邊界條件的選擇方法是，將表2的第三列和表1的第三列數(shù)據(jù)比較，分析其變化規(guī)律變化，再結(jié)合上文中不同邊界條件對(duì)懸臂梁模態(tài)頻率的影響規(guī)律。最終選定柔性機(jī)械臂對(duì)應(yīng)懸臂梁的邊界條件為：集中質(zhì)量和扭轉(zhuǎn)彈簧。ADAMS模型分析值與理論值的相對(duì)誤差說明：此邊界條件在誤差允許范圍內(nèi)正確，可以表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)剛性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂模態(tài)頻率的影響。

集中質(zhì)量和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的迭代求法為：將連接剛性機(jī)械臂模型的前兩階模態(tài)頻率值帶入頻率特征方程中，得到兩個(gè)方程。方程組有兩個(gè)變量，即：集中質(zhì)量和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度。使用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解，由于迭代方程不收斂，因此用for循環(huán)選合適的初值，最后用理論計(jì)算值和分析值的相對(duì)誤差作為跳出循環(huán)的判斷條件。經(jīng)MATLAB編程求解，集中質(zhì)量為41.15 kg，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為2.3×105 N·m/θ。

若柔性機(jī)械臂與剛性機(jī)械臂經(jīng)自由關(guān)節(jié)連接，其模態(tài)分析結(jié)果見表3。

表3柔性機(jī)械臂自由關(guān)節(jié)連接剛性機(jī)械臂的模態(tài)頻率
Tab.3Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorwithfreejointsconnectedwiththerigidmanipulator

模態(tài)階數(shù)ADAMS模型/Hz連接剛性機(jī)械臂模型/Hz相對(duì)誤差/%一階6.3776.5833.230二階241.614241.6690.023三階774.315774.4800.021四階1596.2721596.3140.003五階2675.7242675.8380.004

由表3中的相對(duì)誤差可知，在自由關(guān)節(jié)連接條件下，剛性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂的模態(tài)頻率影響很小，可以忽略。因此柔性機(jī)械臂可以直接簡(jiǎn)化為包含末端集中質(zhì)量的懸臂梁模型。

3 柔性機(jī)械臂與柔性機(jī)械臂連接對(duì)應(yīng)懸臂梁的邊界條件

在ADAMS中，柔性機(jī)械臂末端添加一個(gè)柔性機(jī)械臂，關(guān)節(jié)處用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。關(guān)節(jié)處若添加電機(jī)則為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，若不添加電機(jī)則為自由關(guān)節(jié)。分析驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接對(duì)柔性機(jī)械臂的影響。表4是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)柔性機(jī)械臂模型的模態(tài)分析結(jié)果。

表4柔性機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接柔性機(jī)械臂的模態(tài)頻率
Tab.4Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorisaddedtodrivethejointtoconnecttheflexiblearm

模態(tài)階數(shù)歐拉梁理論值/Hz連接柔性機(jī)械臂模型/Hz相對(duì)誤差/%一階2.2202.2210.045二階170.403170.4110.0047三階551.191618.41512.20四階1151.3651305.90313.42五階1968.7982177.66310.61

表4中，第三列數(shù)據(jù)是柔性機(jī)械臂末端添加了柔性機(jī)械臂的模態(tài)分析結(jié)果。比較表4的第三列和表1的第三列數(shù)據(jù)，經(jīng)分析和計(jì)算，沒有適合的邊界條件能表達(dá)這種規(guī)律。因此也體現(xiàn)出，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)柔性機(jī)械臂之間的振動(dòng)耦合現(xiàn)象較明顯。基于當(dāng)量密度對(duì)梁的模態(tài)頻率影響規(guī)律，見圖11。本文提出添加末端集中質(zhì)量和修正當(dāng)量密度的表示方法。表4的第二列數(shù)據(jù)是修正了梁的當(dāng)量密和添加末端集中質(zhì)量后，懸臂梁的前五階模態(tài)頻率理論值。ADAMS模型分析值與理論值的相對(duì)誤差說明：末端集中質(zhì)量和修正當(dāng)量密度的表示方法雖然存在一定誤差，但可以有效的將誤差保持在一定范圍內(nèi)，而且此方法對(duì)研究柔性機(jī)械臂之間的振動(dòng)耦合有意義。

圖11 當(dāng)量密度對(duì)懸臂梁的模態(tài)頻率影響曲線Fig.11 The influence of equivalent density on the modal frequency of the cantilever beam

集中質(zhì)量和當(dāng)量密度的迭代求法為：

將連接柔性機(jī)械臂模型的前兩階模態(tài)頻率值帶入頻率特征方程中，得到兩個(gè)方程。方程組有兩個(gè)變量，即集中質(zhì)量和當(dāng)量密度。使用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解，迭代方程收斂。編寫MATLAB求解程序，經(jīng)3次迭代后求得集中質(zhì)量為11.043 kg，梁的當(dāng)量密度為4 891.99 kg/m3。

若柔性機(jī)械臂與柔性機(jī)械臂為自由關(guān)節(jié)連接，模態(tài)分析結(jié)果見表5。

表5柔性機(jī)械臂自由關(guān)節(jié)連接柔性機(jī)械臂的模態(tài)頻率
Tab.5Themodalfrequencyoftheflexiblemanipulatorwithfreejointsconnectedwiththeflexiblemanipulator

模態(tài)階數(shù)ADAMS模型/Hz連接柔性機(jī)械臂模型/Hz相對(duì)誤差/%一階6.3776.3051.291二階241.614241.6090.002三階774.315774.3110.005四階1596.2721596.2680.0003五階2675.7242675.7190.0002

由表5中的相對(duì)誤差可知，自由關(guān)節(jié)連接條件下，柔性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂的模態(tài)頻率影響很小，可以忽略。因此柔性機(jī)械臂可以直接簡(jiǎn)化為包含末端集中質(zhì)量的懸臂梁模型。

4 結(jié) 論

不同邊界條件對(duì)懸臂梁的模態(tài)振型和模態(tài)頻率變化規(guī)律的影響相差很大。因此，將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為懸臂梁時(shí)，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)機(jī)械臂末端受彎矩或剪力把梁末端的邊界條件簡(jiǎn)化為固定端或簡(jiǎn)支端。分析了兩個(gè)實(shí)例：① 剛性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂的模態(tài)影響，若是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接時(shí)，可用包含集中質(zhì)量加扭轉(zhuǎn)彈簧邊界條件的懸臂梁表示，若是自由關(guān)節(jié)連接，則可忽略剛性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂的模態(tài)影響；② 柔性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂的模態(tài)影響，若是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)連接，提出了用包含集中質(zhì)量和修正當(dāng)量密度的懸臂梁表示若是自由關(guān)節(jié)連接，柔性機(jī)械臂對(duì)柔性機(jī)械臂的模態(tài)影響同樣可忽略。

仿真結(jié)果表明，添加了合適邊界條件的懸臂梁模型，能很好的表示柔性機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中的柔性效應(yīng)。通過研究邊界條件對(duì)懸臂梁的模態(tài)影響，不僅能提高假設(shè)模態(tài)法建模的精度，而且進(jìn)一步有利于提出對(duì)欠驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)械臂的有效的控制方法，以及對(duì)柔性機(jī)械臂的減震的主動(dòng)控制方法。

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Modalanalysisofcantileverbeamswithdifferentboundaryconditions

LIU Jianying, WANG Xiaoyue, GONG Jinliang

(College of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

In order to improve the accuracy of the dynamic model of a flexible manipulator, deduced by the assumed mode method, the manipulator was simplified as a cantilever beam. By analyzing the influences of different boundary conditions on the lateral vibration of the Euler-Bernoulli cantilever beam, the shear boundary condition at the cantilever free end was specified as a specific mass and a tensile spring, and the bending moment boundary conditions were specified as specific torsion springs and rotational inertia components. The modal frequencies and vibration modes of the cantilever beam under various boundary conditions were calculated. The results show that the cantilever beam model attached with the specified boundary conditions can better describe the vibration of the flexible manipulator, and improve the accuracy of the dynamic model deduced by the assumed modal method. Considering the strong coupling between the modes of the flexible manipulator the method of equivalent density correction was further put forward. Finally, the iterative calculation method for taking into account the specified boundary conditions and the modified equivalent density was proposed. The ANSYS and Adams were used combinedly to simulate and analyse the vibration modes of a flexible manipulater with two links connected by driving joints and free joints, and the correctness of the calculation method was thus verified by the results.

flexible manipulator; cantilever beam model; boundary condition; modal vibration

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.033

國家自然科學(xué)基金(61303006)；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金項(xiàng)目(BS2012ZZ009)

2016-04-01 修改稿收到日期：2016-08-10

劉建英 男，碩士生，1990年2月生

王效岳 男，博士，教授，1961年3月生