基于非局部理論的軸向運動黏彈性納米板的參數(shù)振動及其穩(wěn)定性

劉金建，謝 鋒，姚林泉，李 成

(蘇州大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215131)

基于非局部理論的軸向運動黏彈性納米板的參數(shù)振動及其穩(wěn)定性

劉金建，謝 鋒，姚林泉，李 成

(蘇州大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215131)

研究了軸向運動黏彈性二維納米板結(jié)構(gòu)的非局部橫向參數(shù)振動及其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。利用哈密頓原理推導(dǎo)了問題模型的控制方程，應(yīng)用多尺度法分析了帶有周期脈動成分的變速運動黏彈性納米板的失穩(wěn)現(xiàn)象。根據(jù)邊界條件及復(fù)模態(tài)法可確定模態(tài)函數(shù)的表達，討論了其特例勻速運動時固有頻率與小尺度參數(shù)的關(guān)系，重點探討了當(dāng)脈動頻率為兩階固有頻率之和或者為某階固有頻率二倍時所發(fā)生的和型組合參數(shù)共振及主參數(shù)共振。結(jié)果表明，小尺度參數(shù)的存在使得軸向運動黏彈性納米板的彎曲剛度及固有頻率減小，并導(dǎo)致組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域減小但主參數(shù)共振區(qū)域增大，同時削弱了黏彈性系數(shù)對主參數(shù)共振區(qū)域的影響。同等條件下，黏彈性系數(shù)對組合共振區(qū)域的影響更為明顯。

非局部彈性理論；軸向運動；黏彈性納米板；多尺度法；參數(shù)穩(wěn)定

軸向運動系統(tǒng)在航天航空、軍事、電子、機械等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，多種工程系統(tǒng)如帶鋸、纜繩等都可以模型化為軸向運動結(jié)構(gòu)。目前，軸向運動弦、梁、板等宏觀結(jié)構(gòu)已經(jīng)得到較為廣泛的研究。比如Chen等[1]研究了扭力彈簧支撐的軸向運動梁的振動及其穩(wěn)定性。Zhang等[2]研究了超臨界區(qū)域內(nèi)軸向運動黏彈性梁非線性受迫振動的周期穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。Liu等[3]應(yīng)用多尺度法討論了軸向運動黏彈性梁在隨機周期激勵下的動態(tài)響應(yīng)。胡宇達等[4]研究了磁場環(huán)境中軸向運動導(dǎo)電薄板的磁彈性振動問題。Marynowski等[5]利用擴展伽遼金法分析了熱載荷作用下軸向運動板的動態(tài)性能。李成等[6]討論了軸向運動超薄梁的非局部動力學(xué)性能。Sui等[8]基于Timoshenko梁理論探討了軸向運動功能梯度梁的橫向振動問題。Yang等[9]考察了軸向運動梁的縱、橫向耦合非線性振動。Yan等[10]重點討論外部諧波激勵下軸向變速運動黏彈性Timoshenko梁的非線性動力學(xué)行為?；陴椥圆牧虾妥兘孛娼Y(jié)構(gòu)的工程前景，李成澄等[11]考察了軸向運動變截面黏彈性梁的振動與穩(wěn)定性問題。

隨著納米時代的到來，碳納米管、石墨烯等納米結(jié)構(gòu)引起了研究者的廣泛興趣。經(jīng)典連續(xù)力學(xué)已被證實難以預(yù)測納米材料固有的小尺寸效應(yīng)，而Eringen等[12-13]提出的非局部理論能夠有效的反映尺度因素的影響。因此，非局部理論在計及尺度效應(yīng)的納米力學(xué)研究中應(yīng)用廣泛。Murmu等[14]應(yīng)用非局部理論分析了單向預(yù)應(yīng)力條件下納米板的振動。LI等[15]分析了軸向受變載荷作用下非局部納米梁的橫向振動響應(yīng)及其穩(wěn)定性。Shen等[16]基于基爾霍夫板理論分析了非局部單層石墨烯納米傳感器的振動響應(yīng)。Thai[17]應(yīng)用非局部理論研究了納米梁的彎曲、屈曲及其振動響應(yīng)。Liang等[18]建立了非局部應(yīng)力模型以預(yù)測小尺度效應(yīng)對石墨烯納米板的影響。Fu等[19]基于精細非局部理論研究了核殼納米線的非線性自由振動。確定納米材料的動態(tài)響應(yīng)及其穩(wěn)定性，掌控納米材料工作的可靠性是其應(yīng)用和推廣的必要前提。然而，在已有文獻中，未見對軸向運動黏彈性納米板的非局部動力學(xué)探討。

本文從納機電系統(tǒng)中的納米傳動帶、隨血液循環(huán)的納米醫(yī)學(xué)機器人的伸縮臂等納米工程背景中提煉出軸向運動納米板結(jié)構(gòu)。基于非局部基爾霍夫板理論，以多尺度法和復(fù)模態(tài)法研究了帶有周期脈動成分的軸向變速運動黏彈性納米板的穩(wěn)定性，重點分析了尺度參數(shù)對納米動力系統(tǒng)主參數(shù)共振及組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響。研究結(jié)論對二維納米結(jié)構(gòu)動力學(xué)及其控制具有一定的價值。

1 理論模型

經(jīng)典連續(xù)力學(xué)認(rèn)為，連續(xù)體內(nèi)任一點的應(yīng)力僅與該點處的應(yīng)變有關(guān)?？紤]到尺度效應(yīng)及分子/原子間作用力的存在，非局部理論則認(rèn)為在參考點處的非局部應(yīng)力不僅取決于該點處的應(yīng)變，還取決于體內(nèi)其他所有點的應(yīng)變。Eringen等提出的均質(zhì)各向同性彈性體內(nèi)的非局部微分本構(gòu)方程為

(1)

考慮沿著x方向以速度v做軸向運動的矩形納米板，其在x、y、z方向上的長度、寬度和厚度分別是la、lb、h。假設(shè)中面位移為0，根據(jù)經(jīng)典板理論可知應(yīng)變分量為

εxx=-zw,xx

εyy=-zw,yy

εxy=-2zw,xy

(2)

式中：t為時間；w為撓度。

本文考慮的黏彈性納米板基于Kelvin-Voigt模型，其非局部本構(gòu)關(guān)系為

(3)

式中，E、η和μ分別為楊氏模量、黏彈性系數(shù)和泊松比。

利用哈密頓原理推導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)模型。首先，對形變能變分可得

(4)

其次，對外力功變分為

(5)

式中，F(xiàn)Tx為沿著x方向的拉力。

最后，對動能變分得

(6)

式中，ρ為納米板的質(zhì)量密度。

根據(jù)哈密頓原理可得

(7)

將式(4)～式(6)代入式(7)推得軸向運動黏彈性納米板的橫向自由振動控制方程為

(8)

運用如下無量綱變量

W,TT+2γW,XT+(γ2-1)W,XX+γ,TW,X+[ζ-τ2(γ2-1)]W,XXXX+[2ζξ2-τ2ξ2(γ2-1)]W,XXYY+ζξ4W,YYYY-τ2[W,XXTT+2γW,XXXT+γ,TW,XXX+ξ2(W,YYTT+2γW,XYYT+γ,TW,XYY)]=-εα[W,XXXXT+2ξ2W,XXYYT+

ξ4W,YYYYT+γ(W,XXXXX+2ξ2W,XXXYY+ξ4W,XYYYY)]

(9)

假設(shè)軸向速度γ隨時間T做簡諧波動，其主要部分是平均速度γ0，因此γ可寫成

γ=γ0+εγ1sinωT

(10)

應(yīng)用多尺度法，式(10)的解可設(shè)為

W(X,Y,T;ε)=W0(X,Y,T0,T1)+

εW1(X,Y,T0,T1)+O(ε)

(11)

式中，T0=T和T1=εT分別為快尺度和慢尺度時間。

將式(10)和式(11)代入式(9)，并歸并ε的同次冪項，推得勻速運動和變速運動黏彈性納米板的控制方程分別為

(12)

ζξ4W1,YYYY-τ2W1,XXT0T0-2τ2γ0W1,XXXT0-τ2ξ2W1,YYT0T0-2τ2ξ2γ0W1,XYYT0=

-2W0，T0T1-2γ0W0，XT1+2τ2γ0W0，XXXT1+2τ2W0，XXT0T1+2τ2ξ2γ0W0，XYYT1+

2τ2ξ2W0，YYT0T1+(2τ2γ0γ1W0，XXXX+2τ2ξ2γ0γ1W0，XXYY-2γ1W0，XT0-

2γ0γ1W0，XX+2τ2γ1W0，XXXT0+2τ2ξ2γ1W0，XYYT0)sinωt+(τ2ωγ1W0，XXX+

τ2ξ2ωγ1W0，XYY-ωγ1W0，X)cosωt-α[W0,XXXXT0+2ξ2W0,XXYYT0+ξ4W0,YYYYT0+

γ0(W0,XXXXX+2ξ2W0,XXXYY+ξ4W0,XYYYY)]

(13)

設(shè)方程式(12)的解為

(14)

式中：ψmn、ωmn分別為第mn階模態(tài)函數(shù)和固有頻率；cc為等式右端之前各項的共軛復(fù)數(shù)。

將式(14)代入式(12)推得

(15)

根據(jù)分離變量思想，方程式(15)的解可設(shè)為

ψmn=φm(X)φn(Y)

(16)

2 算例分析與討論

為了具體討論小尺度參數(shù)對軸向運動黏彈性納米板橫向振動的影響，分別考慮四邊簡支和四邊固支兩類納米板的邊界條件。Tang等和Murmu等分別探討了軸向運動黏彈性和非局部理論對邊界約束條件的影響，四邊簡支和四邊固支的數(shù)學(xué)表達式可簡化為

(17)

(18)

2.1模態(tài)函數(shù)的確定及勻速運動穩(wěn)定性分析

2.1.1 四邊簡支情形

根據(jù)邊界條件式(17)，可設(shè)四邊簡支軸向運動納米板沿Y方向的振型函數(shù)為

φn=sin(nπY)

(19)

將式(19)代入式(15)可得

[2γ0iωmn+2τ2n2π2ξ2γ0iωmn]φm,X+

(20)

常微分方程式(20)的解可設(shè)為

φm(X)=C1m(eiβ1mX+C2meiβ2mX+

C3meiβ3mX+C4meiβ4mX)

(21)

將式(21)代入式(20)推得

[2γ0ωmn+2τ2n2π2ξ2γ0ωmn]βjm+

(22)

式中，j=1,2,3,4。根據(jù)式(21)及式(17)中X方向上的邊界條件，可解得第m階模態(tài)函數(shù)。進一步將式(21)代入邊界條件式(17)，并令所得結(jié)果的系數(shù)行列式為0，可確定βjm及勻速運動情況下第mn階固有頻率ωmn。

2.1.2 四邊固支情形

根據(jù)式(18)可知，四邊固支運動納米板沿Y方向的振型函數(shù)可設(shè)為

φn= [coshβnY-cosβnY+

(23)

式中，cosβncoshβn=1。

將式(23)代入式(15)并對Y積分推得

[2γ0iωmn-2κτ2ξ2γ0iωmn]φm,X+

(24)

同樣設(shè)式(21)是方程式(24)的解，并將其代入式(24)得

[2γ0ωmn-2κτ2ξ2γ0ωmn]βjm+

(25)

根據(jù)同樣的分析思路，可求得四邊固支條件下的四個未知特征根βjm及固有頻率ωmn。

2.2變速運動時參數(shù)共振穩(wěn)定性分析

應(yīng)用式(13)可以分析帶有周期脈動成分變速運動黏彈性納米板的參數(shù)穩(wěn)定性。當(dāng)速度的脈動頻率ω接近某階固有頻率兩倍或者為某兩階頻率之和時將發(fā)生共振現(xiàn)象。

2.2.1 和式組合參數(shù)共振

當(dāng)脈動頻率為兩階固有頻率之和時，系統(tǒng)將發(fā)生和式組合共振?，F(xiàn)引入調(diào)諧參數(shù)σ表示脈動頻率ω在ωkl+ωk′l′附近變化

ω=ωkl+ωk′l′+εσ

(26)

式中，ωkl、ωk′l′分別為系統(tǒng)的第kl、k′l′階頻率。為分析和式組合共振響應(yīng)，方程式(12)的解可設(shè)為

W0(X,Y,T0,T1)=ψkl(X,Y)Akl(T1)eiωklT0+

ψk′l′(X,Y)Ak′l′(T1)eiωk′l′T0+cc

(27)

將式(26)和式(27)代入式(13)，并把右端的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)形式可得

ζξ4W1,YYYY-τ2W1,XXT0T0-2τ2γ0W1,XXXT0-τ2ξ2W1,YYT0T0-2τ2ξ2γ0W1,XYYT0=

{(-2iωklψkl-2γ0ψkl,X+2τ2γ0ψkl,XXX+2τ2iωklψkl,XX+2τ2ξ2γ0ψkl,XYY+2τ2ξ2iωklψkl,YY)Akl,T1+

2ξ2ψkl,XXXYY+ξ4ψkl,YYYYY)]Akl}eiωklT0+

{(-2iωk′l′ψk′l′-2γ0ψk′l′,X+2τ2γ0ψk′l′,XXX+2τ2iωk′l′ψk′l′,XX+2τ2ξ2γ0ψk′l′,XYY+2τ2ξ2iωk′l′ψk′l′,YY)Ak′l′,T1+

2ξ2ψk′l′,XXXYY+ξ4ψk′l′,YYYYY)]Ak′l′}eiωk′l′T0+cc+NST

(28)

式中，NST為不會給解帶來長期項的所有項。若要使得解不存在長期項則非齊次微分方程式(28)的非齊次部分與其伴隨方程的其次解正交，即有如下的正交關(guān)系

〈(-2iωklψkl-2γ0ψkl,X+2τ2γ0ψkl,XXX+2τ2iωklψkl,XX+2τ2ξ2γ0ψkl,XYY+2τ2ξ2iωklψkl,YY)Akl,T1+

2ξ2ψkl,XXXYY+ξ4ψkl,YYYYY)]Akl，ψkl〉=0

(29a)

〈(-2iωk′l′ψk′l′-2γ0ψk′l′,X+2τ2γ0ψk′l′,XXX+2τ2iωk′l′ψk′l′,XX+2τ2ξ2γ0ψk′l′,XYY+2τ2ξ2iωk′l′ψk′l′,YY)Ak′l′,T1+

2ξ2ψk′l′,XXXYY+ξ4ψk′l′,YYYYY)]Ak′l′，ψk′l′〉=0

(29b)

其中，復(fù)方程在區(qū)間[0,1]上的內(nèi)積為

(30)

于是由式(29)推得

(31a)

(31b)

可見式(32)的結(jié)果僅僅由模態(tài)函數(shù)所決定，而與軸向速度脈動量無關(guān)。

現(xiàn)做如下變換

(32)

把式(32)代入式(31)推得

(33)

方程式(33)有零解，通過分析其非零解情況，可推得和式組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域的邊界為

(34)

式中：上標(biāo)R為實部；I為虛部。

2.2.2 主參數(shù)共振

當(dāng)速度的脈動頻率接近某階固有頻率的兩倍時，系統(tǒng)將發(fā)生主參數(shù)共振，同樣引入調(diào)諧參數(shù)σ，那么脈動頻率ω可表示為

ω=2ωkl+εσ

(35)

此時，式(12)的解可設(shè)為

W0(X,Y,T0,T1)=ψkl(X,Y)Akl(T1)eiωklT0+cc

(36)

將式(35)和式(36)代入式(13)推得

(37)

其中,

(38a)

(38b)

作如下變換

Akl(T1)=Bkl(T1)e0.5iσT1

(39)

將式(39)代入式(37)推得

(40)

將式(40)的解分為實部和虛部則有

Bkl=p(T1)+iq(T1)

(41)

式中，p、q為與時間T1有關(guān)的實數(shù)。將式(41)代入式(40)并將結(jié)果分離成實部和虛部推得

p,T1=-[αdkl+γ1Re(ckl)]p+

[0.5σ-γ1lm(ckl)]q

q,T1=-[0.5σ+γ1lm(ckl)]p-

[αdkl-γ1Re(ckl)]q

(42)

式(42)的特征方程為

(43)

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)求得式(43)的穩(wěn)定區(qū)域為

(44)

在以下數(shù)值計算中，取參考文獻[16]中的數(shù)據(jù)進行計算，即納米板的楊氏模量E=1.06 TPa，泊松比μ=0.25，質(zhì)量密度ρ=225 kg/m3，厚度h=0.34 nm，長度la=20 nm，寬度lb=20 nm。四邊簡支納米板前四階頻率ωmn隨著小尺度參數(shù)τ的變化見圖1，其中平均速度γ0=2、長寬比ξ=1、剛度比ζ=1。由圖1可以看出，當(dāng)τ=0時，ωmn取得最大值即非局部效應(yīng)的存在使得簡支納米板的等效剛度減小，從而導(dǎo)致ωmn隨之減小，且非局部效應(yīng)越大ωmn的減幅越大。進一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)τ很小時(1,2)階頻率ω12和(2,1)階頻率ω21相當(dāng)接近，但隨著尺度效應(yīng)的增強，其結(jié)果區(qū)別明顯。

圖2(a)和圖2(b)分別給出了當(dāng)τ=0.001、τ=0.05、τ=0.1時四邊簡支第一階和第二階以及第三階和第四階組合參數(shù)共振在σ-γ1平面上的失穩(wěn)區(qū)域，其中α=0.000 1、γ0=2、ξ=1、ζ=1。由圖2知組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域隨著τ即非局部效應(yīng)的增大而減小，即在給定σ值時，非局部效應(yīng)越大對應(yīng)的脈動振幅γ1越大；反之當(dāng)給定γ1時，失穩(wěn)范圍隨著非局部效應(yīng)的增大而減小。同時由圖2可見拋物線的最低點對應(yīng)的γ1值隨著非局部效應(yīng)的增大而增大，因此黏彈性系數(shù)對組合穩(wěn)定區(qū)域的影響隨著非局部效應(yīng)的增大而越發(fā)明顯。圖3(a)～圖3(d)分別給出了四邊簡支前四階主參數(shù)共振的失穩(wěn)區(qū)域。對比圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，主參數(shù)共振與組合參數(shù)共振的不同之處在于，隨著小尺度參數(shù)的增大失穩(wěn)區(qū)域亦隨之增大。考慮到圖3中拋物線最低點對應(yīng)的γ1值隨著非局部效應(yīng)的增大而減小，因此非局部效應(yīng)的存在削弱了黏彈性系數(shù)對主參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響。

圖1 四邊簡支條件下前四階固有頻率隨著小尺度參數(shù)的變化
Fig.1 Effects of small-scale parameter on the first four frequencies for simply supported case

(a) 第一階和第二階組合參數(shù)共振

(b) 第三階和第四階組合參數(shù)共振圖2 小尺度參數(shù)對四邊簡支條件下組合參數(shù)共振邊界的影響Fig.2 Effects of small-scale parameter on the boundaries of summation parametric resonance for simply supported case

圖4給出了四邊固支軸向運動黏彈性納米板前四階頻率隨著非局部效應(yīng)的變化，其中γ0=2、ξ=1、ζ=1。ωmn隨著小尺度參數(shù)的變化趨勢與簡支的情形一致。同等條件下，固支納米板的橫向振動頻率大于簡支納米板。

選取與上述簡支納米板相同的參數(shù)，下面討論固支條件下的組合共振及主參數(shù)共振。圖5(a)～圖5(b)分別作出了當(dāng)τ=0.001、τ=0.05、τ=0.1時四邊固支變速運動黏彈性納米板第一階和第二階，以及第三階和第四階組合參數(shù)共振的失穩(wěn)區(qū)域，圖6(a)～圖6(d)分別給出了固支條件下前四階主參數(shù)共振的失穩(wěn)區(qū)域。由圖5和圖6發(fā)現(xiàn)固支納米板組合參數(shù)共振與主參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域隨著τ及α的變化規(guī)律與簡支納米板的定性結(jié)論是一致的。

(a) 第一階主參數(shù)共振

(b) 第二階主參數(shù)共振

(c) 第三階主參數(shù)共振

(d) 第四階主參數(shù)共振圖3 小尺度參數(shù)對四邊簡支條件下主參數(shù)共振邊界的影響Fig.3 Effects of small-scale parameter on boundaries of the principal parametric resonance for simply supported case

圖4 四邊固支條件下前四階頻率隨著小尺度參數(shù)的變化Fig.4 Effects of small-scale parameter on the first four frequencies for fully clamped case

以上分析了小尺度參數(shù)對固有頻率和參數(shù)共振的影響，下面再分析軸向運動速度對納米板前兩階固有頻率的影響，如圖7所示，其中小尺度參數(shù)τ=0.02、長寬比ξ=1、剛度比ζ=1。注意橫坐標(biāo)即無量綱軸向速度的選取是基于人體血液循環(huán)速度，一般情況下，動脈約為0.50 m/s，靜脈約為0.2 m/s，毛細血管約為0.01～0.02 m/s。由圖7可以看出，軸向運動納米板的固有頻率隨著速度的增大而減小，這是因為軸向運動速度的存在削弱了納米結(jié)構(gòu)的剛度，進而降低了振動頻率，在已有的軸向運動宏觀結(jié)構(gòu)的研究中，同樣證明了這一點。因此，在實際工程應(yīng)用中，比如針對納米醫(yī)學(xué)機器人，必須考慮血液循環(huán)速度帶來的影響。

(a) 第一階和第二階組合參數(shù)共振

(b) 第三階和第四階組合參數(shù)共振圖5 小尺度參數(shù)對四邊固支條件下組合參數(shù)共振邊界的影響Fig.5 Effects of small-scale parameter on boundaries of the summation parametric resonance for fully clamped case

(a) 第一階主參數(shù)共振

(b) 第二階主參數(shù)共振

(c) 第三階主參數(shù)共振

(d) 第四階主參數(shù)共振圖6 小尺度參數(shù)對四邊固支條件下主參數(shù)共振邊界的影響Fig.6 Effects of small-scale parameter on boundaries of the principal parametric resonance for fully clamped case

圖7 納米板前二階固有頻率隨著速度的變化Fig.7 Effects of axial velocity on the first two frequencies for nanoplates

3 結(jié) 論

基于Eringen非局部彈性理論分析了軸向運動黏彈性納米板的橫向振動響應(yīng)及其穩(wěn)定性，討論了各主要參數(shù)對橫向振動及失穩(wěn)區(qū)域的影響。結(jié)論如下：

(1) 小尺度參數(shù)的存在降低了軸向運動黏彈性納米板的剛度，從而導(dǎo)致橫向振動頻率隨著非局部效應(yīng)的增大而減小，且非局部效應(yīng)越大其減小的幅度越大。同等條件下，四邊固支軸向運動黏彈性納米板的橫向振動頻率大于四邊簡支情形。

(2) 組合參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域隨著非局部效應(yīng)的增大而減小，而主參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域卻隨之增大。小尺度參數(shù)的存在削弱了黏彈性系數(shù)對主參數(shù)共振失穩(wěn)區(qū)域的影響，卻增強了黏彈性系數(shù)對組合參數(shù)共振的影響。

(3) 軸向運動速度對納米板的振動頻率影響顯著，軸向速度越大，振動固有頻率越低，這一點與軸向運動宏觀結(jié)構(gòu)的結(jié)論是一致的。

[1] CHEN L Q, YANG X D. Vibration and stability of an axially moving viscoelastic beam with hybrid supports[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2006, 25(6): 996-1008.

[2] ZHANG G C, DING H, CHEN L Q, et al. Galerkin method for steady-state response of nonlinear forced vibration of axially moving beams at supercritical speeds[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(7): 1612-1623.

[3] LIU D, XU W, XU Y. Dynamic responses of axially moving viscoelastic beam under a randomly disordered periodic excitation[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(17): 4045-4056.

[4] 胡宇達, 孫建濤, 杜國君. 軸向運動導(dǎo)電薄板的磁彈性振動[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(13): 34-38.

HU Yuda, SUN Jiantao, DU Guojun. Magneto-elastic vibration of an axially moving current-conducting thin plate[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(13): 34-38.

[5] MARYNOWSKI K, GRABSKI J. Dynamic analysis of an axially moving plate subjected to thermal loading[J]. Mechanics Research Communications, 2013, 51(3): 67-71.

[6] 李成, 姚林泉. 軸向運動超薄梁的非局部動力學(xué)分析[J]. 工程力學(xué), 2013, 30(4): 366-372.

LI Cheng, YAO Linquan. Nonlocal dynamical analysis on axially travelling ultra-thin beams[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(4): 366-372.

[7] TANG Y Q, CHEN L Q. Stability analysis and numerical confirmation in parametric resonance of axially moving viscoelastic plates with time-dependent speed[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2013, 37(37): 106-121.

[8] SUI S H, CHEN L, LI C, et al. Transverse vibration of axially moving functionally graded materials based on Timoshenko beam theory[EB/OL]. (2014-08-16)[2014-10-18].http://dx.doi.org/10.1155/2015/391452.

[9] YANG X D, ZHANG W. Nonlinear dynamics of axially moving beam with coupled longitudinal-transversal vibrations[J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 78(4): 2547-2556.

[10] YAN Q, DING H, CHEN L Q. Nonlinear dynamics of axially moving viscoelastic Timoshenko beam under parametric and external excitations[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2015, 36(8): 971-984.

[11] 李成澄, 趙鳳群. 軸向運動變截面黏彈性梁的振動與穩(wěn)定性分析[J].振動與沖擊, 2016, 35(14): 107-111.

LI Chengcheng, ZHAO Fengqun.Vibration and stability analysis of axially moving viscoelastic beam with varying section[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(14): 107-111.

[12] ERINGEN A C, EDELEN D G B. On nonlocal elasticity[J]. International Journal of Engineering Science, 1972, 10(3): 233-248.

[13] ERINGEN A C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves[J]. Journal of Applied Physics, 1983, 54(9): 4703-4710.

[14] MURMU T, PRADHAN S C. Vibration analysis of nanoplates under uniaxial prestressed conditions via nonlocal elasticity[J]. Journal of Applied Physics, 2009, 106(10): 104301.

[15] LI C, LIM C W, YU J L. Dynamics and stability of transverse vibrations of nonlocal nanobeams with a variable axial load[J]. Smart Materials and Structures, 2011, 20(1): 015023.

[16] SHEN Z B, TANG H L, LI D K, et al. Vibration of single-layered graphene sheet-based nanomechanical sensor via nonlocal Kirchhoff plate theory[J]. Computational Materials Science, 2012, 61(4): 200-205.

[17] THAI H T. A nonlocal beam theory for bending, buckling, and vibration of nanobeams[J]. International Journal of Engineering Science, 2012, 52(3): 56-64.

[18] LIANG Y, HAN Q. Prediction of the nonlocal scaling parameter for graphene sheet[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2014, 45(2): 153-160.

[19] FU Y, ZHONG J. Nonlinear free vibration of core-shell nanowires with weak interfaces based on a refined nonlocal theory[J]. Acta Mechanica, 2015, 226(5): 1369-1377.

Parametricvibrationandstabilityofanaxiallymovingviscoelasticnanoplatebasedonthenonlocaltheory

LIU Jinjian, XIE Feng, YAO Linquan, LI Cheng

(School of Urban Rail Transportation, Soochow University, Suzhou 215131, China)

The nonlocal transverse parametric vibration and steady-state response of axially moving viscoelastic two-dimensional nanoplate-like structures were concerned. The Hamilton’s principle was employed to derive the governing partial differential equations of the mathematical model. The instable behaviors of an axially moving viscoelastic nanoplate with some periodic pulsation velocity were addressed using the method of multiple scales. The modal functions were determined under some specific boundary conditions by using the method of complex mode. The effects of small-scale parameters on the natural frequencies of the axially moving nanoplate with uniform velocity were discussed. Subsequently, the analyses were mainly focused on the instable regions caused by the summation parametric resonance and principal parametric resonance respectively. The summation parametric resonance occurs when the pulsation frequency approaches the sum of any two modal frequencies, while the principal parametric resonance occurs when the frequency approaches two times the natural frequency of certain mode. It is shown that the existence of small-scale parameter contributes to reduce the bending stiffness and natural frequencies of axially moving viscoelastic nanoplates, and further decreases the instable regions of the summation parametric resonance, while increases the instable regions of the principal parametric resonance. On the other hand, the small-scale parameter softens the influence of viscoelasticity on the instable regions of the principal parameter resonance. Moreover, the effect of viscoelasticity on the instability of the summation parametric resonance is more obvious, ceteris paribus.

nonlocal elasticity theory; axially moving; viscoelasticity nanoplate; method of multiple scales; parameter stability

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.19.003

國家自然科學(xué)基金(11572210)；江蘇省自然科學(xué)基金(BK20130303)；蘇州市科技計劃項目(SYG201537)；蘇州大學(xué)“東吳學(xué)者”計劃項目(R513300116)

2016-04-27 修改稿收到日期：2016-08-01

劉金建 男，碩士生，1989年生

李成 男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，1983年生