帶Poisson跳隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的穩(wěn)定性

鄭來運(yùn)

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 銀川 750021)

帶Poisson跳隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的穩(wěn)定性

鄭來運(yùn)

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 銀川 750021)

隨機(jī)資本系統(tǒng)；數(shù)值解；Poisson 跳；穩(wěn)定性

考慮如下帶Poisson跳的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)：

(1)

對(duì)于役齡相關(guān)的確定性資本系統(tǒng)(不含隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng))，研究者們?cè)M(jìn)行了大量的研究。例如Feichtinge等[1]建立了確定性役齡相關(guān)投資系統(tǒng)并給出了最優(yōu)控制的必要條件，發(fā)展了一種帶有技術(shù)進(jìn)步的役齡相關(guān)資本積累模型[2]；Goetz[3]研究了工廠資本替換決策中的投資回報(bào)決策和最優(yōu)控制問題。帶Poisson跳役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)(1)是確定性資本系統(tǒng)[4]的擴(kuò)展，它將隨機(jī)環(huán)境噪聲的影響考慮到模型中，能較好地描述動(dòng)力系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)的突然變化等[5]，從而使模型更符合實(shí)際，近年來受到了廣泛關(guān)注。事實(shí)上，一般很難或無法獲得該系統(tǒng)的解析解，因此，研究者們更加關(guān)注隨機(jī)微分方程數(shù)值解的研究[4,6-17]。例如，Li等[6]討論了具有Markovian調(diào)制的隨機(jī)時(shí)滯微分方程數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性；Pang等[7]研究了年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性；Wang等[8]研究了帶 Poisson 跳和 Markovian調(diào)制的隨機(jī)時(shí)滯微分方程數(shù)值解的收斂性，并討論了帶Poisson跳年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)半隱式Euler數(shù)值解的收斂性[9]；Rathinasamy[10]討論了具有Markovian調(diào)制的年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)分裂步數(shù)值方法的收斂性；Ding等[11]研究了隨機(jī)微分方程分裂步方法的收斂性和穩(wěn)定性；Cui等[12]分析了帶時(shí)滯和Poisson跳的隨機(jī)中立偏微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性。最近，徐麗麗[13]對(duì)幾類帶Poisson跳的非線性隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值算法的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；張啟敏等[14-16]研究了具有擴(kuò)散的年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性、一類帶隨機(jī)跳系數(shù)的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性，以及具有Markovian調(diào)制的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)半馴服Euler法的指數(shù)穩(wěn)定性。本文主要討論給定條件下帶Poisson跳的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)Euler數(shù)值逼近解的指數(shù)穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)和Euler逼近

這里V′=H-1([0,A])是V的對(duì)偶空間；|·|和‖·‖分別表示V和V′中的范數(shù)；〈·,·〉表示V與V′之間的對(duì)偶積；(·,·)表示H中的數(shù)量積；K是一個(gè)實(shí)可分Hilbert空間。算子B∈L(K,H)是所有K到H的有界線性算子空間，‖B‖2為Hilbert-Schmidt 范數(shù)，即

定義1 若(Ω,F,{Ft},P)為隨機(jī)基，Wt是一個(gè) Wiener過程。設(shè)隨機(jī)變量K0滿足E|K0|2<∞，若Kt滿足條件：

1)Kt是一個(gè)Ft-可測(cè)隨機(jī)變量；

3)Kt滿足方程：

(2)

(3)

(4)

其中Zt為階梯函數(shù)，定義為

假定役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)(1)滿足如下條件：

① (Lipschitz條件)存在常數(shù)M>0，對(duì)任意x,y∈H,有|f(t,y)-f(t,x)|∨g(t,y)-g(t,x)2∨|h(t,y)-h(t,x)|≤M|y-x|;

④f(t,0)=0,h(t,0)=0,g(t,0)=0,t∈[0,T]。由文獻(xiàn)[17]可證明：若上述條件成立，則系統(tǒng)(1)在(a,t)∈Q上存在唯一解K(a,t)。

2 相關(guān)引理

本小節(jié)給出用于證明主要結(jié)論的相關(guān)引理。

引理1 若條件① ～ ④成立，則存在常數(shù)C1>0(C1與Q0和T有關(guān))，使得

(5)

該引理的證明與文獻(xiàn)[18]的方法類似，這里不做贅述。

引理3 若條件①～ ④成立，則存在常數(shù)C2，使

(6)

證明：對(duì)任意的t∈[0,T]，存在正整數(shù)m，使得t∈[mh,(m+1)h)，有

于是，

應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式和條件①、②和④，有

應(yīng)用條件①和④及Burkholder-Davis-Cundy不等式，得

和

由此可得式(6)，且

證畢。

3 數(shù)值解的穩(wěn)定性

由引理1～3，可證明在給定條件①～ ④下，帶Poisson跳的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)的數(shù)值解具有如下定理成立。

定理1 若條件①～ ④成立，則對(duì)任意的T，存在常數(shù)C5(依賴于T但與h無關(guān))，使

(7)

證明：對(duì)由式(1)和式(4)，有

(1+λ)M2|Kt-Zt|2dt+2(Kt-Qt,(g(t,Kt)-g(t,Zt))dWt)+

于是，對(duì)?t∈[0,T]，有

應(yīng)用Burkholder-Davis-Gundy不等式，得

及

所以

由引理3可得

應(yīng)用Gronwall 不等式，有

其中：

再由引理1可得

證畢。

由引理1～3及定理1，容易推得下述定理2成立。

定理2 若條件①～④成立，則方程(1)的Euler數(shù)值方法在均方意義下是指數(shù)穩(wěn)定的。

4 結(jié)束語

本文討論了一種帶Poisson跳的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的指數(shù)穩(wěn)定性。分析結(jié)果表明在給定條件下，系統(tǒng)(1)的Euler數(shù)值逼近解在均方意義下是指數(shù)穩(wěn)定的。

[1] FEICHTINGER G,HARTL R F,KORT P M,et al.Anticipation effects of technological progress on capital accumulation:a vintage capital approach[J].Journal of Economic Theory,2006,126:143-164.

[2] FEICHTINGER G,HARTL R F,KORT P M,et al.Capital accumulation under technological progress and learning:A vintage capital approach[J].European Journal of Operational Research,2006,172:293-310.

[3] GOETZ R U,HRITONENKO N.The optimal economic lifetime of vintage capital in the presence of operating costs,technological progress,and learning[J].Journal of Economic Dynamics Control,2008,32:3032-3053.

[4] ZHANG Q M.Convergence of numerical solutions for a class of stochastic age-dependent capital system with Markovian switching[J].Economic Modelling,2011,28:1195-1201.

[5] MATITON M.Jump Linear Systems in Automatic Control [M].New York:Marcel Dekker,1990.

[6] LI R H,HOU Y M.Convergence and stability of numerical solutions to SDDE with Markovian Switching[J].Applied Mathematics and Computation,2006,175:1080-1091.

[7] PANG W K,LI R H,LIU M.Exponential stability of numerical solutions to stochastic age-dependent population equations[J].Applied Mathematics and Computation,2006,183:152-159.

[8] WANG L S,XUE H.Convergence of numerical solutions to stochastic differential delay equations with Markovian switching and Poisson jump[J].Applied Mathematics and Computation，2007,188:1161-1172.

[9] WANG L S,WANG X J.Convergence of the semi-implicit Euler method for stochastic age-dependent population equations with Poisson jumps[J].Applied Mathematical Modelling,2010,34:2034-2043.

[10] RATHINASAMY A.Split-step-methods for stochastic age-dependent population equations with Markovian switching[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2012,13:1334-1345.

[11] DING X H,MA Q,ZHANG L.Convergence and stability of the split-step-method for stochastic differential equations[J].Computers & Mathematics with Applications,2010,60:1310-1321.

[12] CUI J,YAN L,SUN X.Exponential stability for neutral stochastic partial differential equations with delays and Poisson jumps[J].Statistics & Probability Letters,2011,81:1970-1977.

[13] 徐麗麗.帶Poisson跳的非線性隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值算法的穩(wěn)定性分析[D].黃石：湖北師范大學(xué),2015.

[14] ZHANG Q M.Exponential stability of numerical solutions to a stochastic age-structured population system with diffusion[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,220:22-33.

[15] ZHANG Q M,RATHINASAMY A.Convergence of numerical solutions for a class of stochastic age-dependent capital system with random jump magnitudes[J].Applied Mathematics and Computation,2013,219:7297-7305.

[16] 楊洪福,張啟敏.具有Markov調(diào)制的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)半馴服Euler法的指數(shù)穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版),2016,37:7-88.

[17] ZHANG Q M,LIU W A,NIE Z K.Existence,uniqueness and exponential stability for stochastic age-dependent population[J].Applied Mathematics and Computation,2004,154:183-201.

[18] WANG Z P.Stability of solution to a class of investment system[J].Applied Mathematics and Computation,2009,207:340-345.

(責(zé)任編輯何杰玲)

StabilityofNumericalSolutionforStochasticCapitalSystemwithPoissonJumps

ZHENG Laiyun

(School of Mechanical Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

stochastic capital system; numerical solution; Poisson jump; stability

2017-04-15

寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ14048,NZ16005)；寧夏高?？蒲许?xiàng)目(NGY16061)

鄭來運(yùn)(1979—)，女，寧夏人，講師，主要從事運(yùn)籌學(xué)與控制理論的研究，E-mail:zhenglaiyun@126.com。

鄭來運(yùn).帶Poisson跳隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的穩(wěn)定性[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(10):222-228.

formatZHENG Laiyun.Stability of Numerical Solution for Stochastic Capital System with Poisson Jumps[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(10):222-228.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.10.036

O231

A

1674-8425(2017)10-0222-07