水下航行器附加質(zhì)量數(shù)值計(jì)算方法

莫慧黠,黨建軍,羅 凱,黃 闖,黃 標(biāo)

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,陜西 西安,710072)

水下航行器附加質(zhì)量數(shù)值計(jì)算方法

莫慧黠,黨建軍,羅 凱,黃 闖,黃 標(biāo)

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院,陜西 西安,710072)

附加質(zhì)量力是水下航行器在非定常運(yùn)動(dòng)中所受到的流體慣性力,其實(shí)驗(yàn)或數(shù)值計(jì)算過(guò)程均涉及非定常運(yùn)動(dòng),結(jié)果獲取難度大。為了進(jìn)一步提高水下航行器附加質(zhì)量參數(shù)的計(jì)算精度和效率,基于動(dòng)參考系的計(jì)算思想,耦合3D N-S方程和k-epsilon 湍流模型,建立了水下航行器非定常運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)計(jì)算模型; 對(duì)橢球、圓柱標(biāo)準(zhǔn)模型的慣性力特性以及水下航行器的全部附加質(zhì)量特性進(jìn)行了數(shù)值仿真。結(jié)果表明,橢球、圓柱附加質(zhì)量的數(shù)值計(jì)算結(jié)果精確,且水下航行器附加質(zhì)量的計(jì)算誤差不超過(guò)10%。文中所提方法將有助于水下航行器總體設(shè)計(jì)和水動(dòng)力計(jì)算。

水下航行器; 附加質(zhì)量; 動(dòng)參考系; 數(shù)值仿真

0 引言

附加質(zhì)量力是水下航行器在非定常運(yùn)動(dòng)中所受到的流體慣性力,水下航行器非定常運(yùn)動(dòng)相對(duì)于定常運(yùn)動(dòng),周圍流體作用于水下航行器的力會(huì)產(chǎn)生一個(gè)增量。這一部分增量在人為設(shè)定中可以擁有慣性度量的量綱,被稱為附加質(zhì)量力。附加質(zhì)量對(duì)于水下航行器的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定控制有著重要影響。準(zhǔn)確求解附加質(zhì)量對(duì)于水下航行器運(yùn)動(dòng)精確控制具有重要意義。

中船重工 705所周景軍等[1]基于相對(duì)運(yùn)動(dòng),采用添加動(dòng)量源項(xiàng)的方法,求解了附加質(zhì)量; 上海交大的姚保太[2]、傅慧萍[3]等人通過(guò)求解 3D N-S方程,采用網(wǎng)格重構(gòu),進(jìn)行了簡(jiǎn)單無(wú)附體附加質(zhì)量求解; 西北工業(yè)大學(xué)王鵬等[4-5]對(duì)復(fù)雜航行器的位置力和阻尼力進(jìn)行了計(jì)算,并未對(duì)慣性力進(jìn)行研究; 而簡(jiǎn)單的球、橢球、圓柱等形狀物體可以用基于勢(shì)流理論的理想流體附加質(zhì)量數(shù)值計(jì)算,獲得理論精確解[6-9]; 此外基于物體外形,采用細(xì)長(zhǎng)體假設(shè)及切片理論,使用修正系數(shù)考慮3D效應(yīng)的工程計(jì)算方法,也可以計(jì)算得到附加質(zhì)量[10-12]; 試驗(yàn)通過(guò)拖曳旋轉(zhuǎn)水池試驗(yàn)的方法來(lái)獲取附加質(zhì)量,但除平動(dòng)附加慣性力比較準(zhǔn)確之外,附加慣性矩和附加靜矩誤差較大[13]。

因此,為了進(jìn)一步提高水下航行器附加質(zhì)量參數(shù)的計(jì)算精度和效率,基于動(dòng)參考系的思想,耦合3D N-S方程和k-epsilon湍流模型,建立了水下航行器非定常運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)計(jì)算模型,通過(guò)讓外壁和雷體一起在流域中運(yùn)動(dòng),模擬幾何體的平動(dòng)與旋轉(zhuǎn),得到了一種新的附加質(zhì)量計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)數(shù)值解法。無(wú)需添加動(dòng)量源項(xiàng),不采用動(dòng)網(wǎng)格以及網(wǎng)格更新技術(shù),僅僅使用一套網(wǎng)格,就能求出復(fù)雜外形航行器的全部附加質(zhì)量,并且經(jīng)過(guò)橢球、圓柱以及一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)雜外形水下航行器進(jìn)行了檢驗(yàn),結(jié)果準(zhǔn)確,計(jì)算效率高。

1 數(shù)值模型建立

1.1 問(wèn)題描述

附加質(zhì)量一般取決于流場(chǎng)中物體形狀及運(yùn)動(dòng)方向,與運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)[1]。附加慣性力的影響只有通過(guò)非定常運(yùn)動(dòng)才能有所表現(xiàn),一般求解思路如下。

水下航行器加速直線運(yùn)動(dòng)、變角速度轉(zhuǎn)動(dòng)等非定常運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)值仿真最直接的方法是采用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù),但是對(duì)于帶有泵噴推進(jìn)器、對(duì)轉(zhuǎn)槳的水下航行器,采用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)由于涉及到網(wǎng)格重生,網(wǎng)格數(shù)量大,同時(shí)質(zhì)量難以保證,從而嚴(yán)重影響求解精度[1],或者通過(guò)在動(dòng)量方程中添加動(dòng)量源項(xiàng)的方法保證了整個(gè)流場(chǎng)壓力分布的真實(shí)性,但是在計(jì)算附加慣性矩時(shí),網(wǎng)格需要重新劃分,并且旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),需要編寫(xiě)復(fù)雜的UDF動(dòng)量源項(xiàng),在計(jì)算旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,航行器的受力復(fù)雜,受網(wǎng)格精度的影響很大。

而采用動(dòng)參考系法,將邊界與研究對(duì)象固定為體坐標(biāo)系,流域與地面坐標(biāo)系綁定,邊界與研究對(duì)象共同運(yùn)動(dòng),相對(duì)于研究對(duì)象速度不為零,邊界條件采用速度進(jìn)口與壓力出口,需要編寫(xiě)的UDF進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)。地面系不賦予任何運(yùn)動(dòng)特征,設(shè)置默認(rèn),速度為零,直接賦予研究對(duì)象所在體系相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)初始速度與加速度即可。

關(guān)于其方法的基本內(nèi)涵方程如下

式中:vr是流域相對(duì)地面坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度;ur是研究對(duì)象相對(duì)流域的運(yùn)動(dòng)速度;v是研究對(duì)象相對(duì)于地面坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度;ur1是研究對(duì)象相對(duì)邊界的運(yùn)動(dòng)速度;ur2是邊界相對(duì)于流域的速度;ω1是研究對(duì)象相對(duì)流域的轉(zhuǎn)速;ω2是流域相對(duì)于地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速,ω是研究對(duì)象相對(duì)于地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速。

該方法的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,與添加動(dòng)量源項(xiàng)的方法不同的是,該方法是直接將速度特性賦予研究對(duì)象與邊界。無(wú)需進(jìn)行第2套網(wǎng)格劃分,賦予 UDF二次開(kāi)發(fā)的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng),將不同網(wǎng)格的影響徹底排除。

1.2 數(shù)值方法

1.2.1 控制方程

文中采用雷諾時(shí)均 N-S方程,湍流模型采用Realizablek-ε模型。不可壓縮流動(dòng)控制方程主要包括連續(xù)性方程和N-S方程。

1) 連續(xù)性方程

2) 運(yùn)動(dòng)方程(N-S方程)

式中:U為速度矢量;ρ,p,g,μ分別為密度、壓強(qiáng)、重力加速度和動(dòng)力粘度。

1.2.2 湍流模型

劉丹[13]、劉成剛[14]、馬燁[15]等人的論文中提到關(guān)于Realizablek-ε是為了應(yīng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型對(duì)時(shí)均應(yīng)變率特別大時(shí),有可能導(dǎo)致負(fù)的正應(yīng)力出現(xiàn),為使流動(dòng)符合湍流的物理定律,對(duì)正應(yīng)力進(jìn)行某種數(shù)學(xué)約束的一個(gè)改進(jìn)模型。在 Realizablek-ε模型中,關(guān)于k和ε的輸運(yùn)方程如下。

關(guān)于湍流強(qiáng)度k方程

關(guān)于湍流耗散率ε方程

式中:μt為湍動(dòng)粘度;μ為流體的時(shí)均速度;kσ,εσ分別為k-ε方程的湍流能量普朗特?cái)?shù);C1,C2為經(jīng)驗(yàn)常數(shù);E為時(shí)均應(yīng)變率;ν為運(yùn)動(dòng)粘度;xi,xj為各方向距離。

1.2.3 計(jì)算域劃分及邊界條件

建立與控制方程相應(yīng)的離散方程,文中采用工程上應(yīng)用廣泛的壓力耦合方程組的半隱式方法——SIMPLE算法,通過(guò)構(gòu)造壓力修正方程以及速度修正方程,直至求得收斂解為止。

網(wǎng)格劃分是數(shù)值方法的基礎(chǔ),以某典型外形水下航行器為例,對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分。該航行器由于附體形狀比較復(fù)雜,因此網(wǎng)格劃分是工作重點(diǎn)。此次網(wǎng)格劃分采用 ICEM軟件,流域?yàn)閳A柱體,流域長(zhǎng)度為8l,l為產(chǎn)品的長(zhǎng)度,直徑為20d,d為產(chǎn)品圓柱段的橫截面直徑,以確保其流域足夠大。航行器附近流域?yàn)榧用軈^(qū)域,加密區(qū)邊界層起始厚度為0.1 mm,比例為1.2倍,共有5層,最終得到了一套完整的高質(zhì)量網(wǎng)格,網(wǎng)格質(zhì)量均在 0.5以上,可以滿足計(jì)算要求。網(wǎng)格如圖 1和圖2所示。

圖1 流域網(wǎng)格Fig. 1 Mesh of flow field

圖2 航行器網(wǎng)格Fig. 2 Mesh of an undersea vehicle

λ11,λ22,λ33,λ62計(jì)算邊界條件設(shè)置: 3 個(gè)平移方向的附加質(zhì)量通過(guò)3個(gè)方向加速運(yùn)動(dòng)與定常勻速運(yùn)動(dòng)的慣性力作差獲得,而λ62是由于平動(dòng)產(chǎn)生的矩,同樣通過(guò)加速運(yùn)動(dòng)與定常勻速運(yùn)動(dòng)的慣性靜矩作差可以得到。在動(dòng)參考系方法中,無(wú)需添加動(dòng)量源項(xiàng),如圖1,速度進(jìn)口不給予設(shè)置,速度設(shè)為零,其余默認(rèn),尾部的邊界條件設(shè)置為壓力出口,參考?jí)毫υO(shè)置為零即可,直接在動(dòng)坐標(biāo)系域中賦予研究對(duì)象速度特性與加速度特性,導(dǎo)入U(xiǎn)DF,便能獲得真實(shí)的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)壓力場(chǎng)分布。

λ44,λ55,λ66,λ35計(jì)算邊界條件設(shè)置: 3 個(gè)旋轉(zhuǎn)方向的附加質(zhì)量通過(guò)3個(gè)方向繞質(zhì)心的加速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與定常勻速旋轉(zhuǎn)的附加慣性矩作差獲得,λ35是旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的力,同樣通過(guò)加速運(yùn)動(dòng)與定常勻速運(yùn)動(dòng)的慣性力作差可以得到。在動(dòng)參考系中,無(wú)需添加動(dòng)量源項(xiàng),設(shè)置見(jiàn)圖 1,直接在動(dòng)坐標(biāo)系域中賦予研究對(duì)象旋轉(zhuǎn)角速度與角加速度特性即可,便能獲得真實(shí)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)壓力場(chǎng)分布。

若用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法,在計(jì)算非定常運(yùn)動(dòng)時(shí),添加動(dòng)量源項(xiàng)才能保證流場(chǎng)的真實(shí)性,并且在計(jì)算λ62和λ35時(shí)還要進(jìn)行特殊處理,比如為了避免流動(dòng)發(fā)生分離,采用理想流體計(jì)算; 而動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)需要網(wǎng)格重生,計(jì)算時(shí)間很長(zhǎng)。該方法避開(kāi)了 2種方法的不足,較以往方法有所改進(jìn)。

2 數(shù)值模型驗(yàn)證

文中全部采用了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格,一是對(duì)網(wǎng)格數(shù)量進(jìn)行了有效控制,二是對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量進(jìn)行了確保,從而在效率和結(jié)果上都確保了可行性。使用的數(shù)值方法為了證明其可用性與準(zhǔn)確性,計(jì)算模型首先采用了有精確解的橢球。橢球長(zhǎng)半軸長(zhǎng)500 mm,短半軸長(zhǎng)250 mm,網(wǎng)格數(shù)量分別選取20萬(wàn)、40萬(wàn)以及60萬(wàn),均采用有粘模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

分別對(duì) 3種數(shù)量的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算,得到了橢球的阻力系數(shù),對(duì)其進(jìn)行了網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證。最后選取數(shù)量為20萬(wàn)的橢球網(wǎng)格用于計(jì)算附加質(zhì)量。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)橢球附加質(zhì)量計(jì)算

給出了對(duì)應(yīng)尺寸橢球附加質(zhì)量理論解以及數(shù)值計(jì)算解的對(duì)比見(jiàn)表 1。對(duì)比計(jì)算結(jié)果,誤差在0.5%以內(nèi),精確度極高。為了驗(yàn)證該方法的適用性,又使用圓柱進(jìn)行了驗(yàn)證。圓柱與橢球?yàn)?2個(gè)擁有精確理論的簡(jiǎn)單模型。

表1 橢球附加質(zhì)量計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of ellipsoid′s additional mass

2.2 標(biāo)準(zhǔn)圓柱的附加質(zhì)量計(jì)算

由于圓柱的理論計(jì)算公式要求圓柱的長(zhǎng)細(xì)比較大,選取長(zhǎng)細(xì)比L/D=200。將圓柱的旋轉(zhuǎn)中心定在圓柱的形心,此時(shí),圓柱的附加質(zhì)量中不存在λ26,λ35。而λ11,λ44則基本可以忽略。表 2 給出了對(duì)應(yīng)尺寸的圓柱附加質(zhì)量理論解以及數(shù)值計(jì)算解的對(duì)比結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)其理論解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差在2%以內(nèi),

表2 圓柱附加質(zhì)量計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of circular cylinder′s additional mass

用相同的模型,將其旋轉(zhuǎn)中心定在形心偏左1 m的地方,這樣λ26和λ35就會(huì)存在。再次將對(duì)應(yīng)尺寸的理論參考值進(jìn)行求解,再用模型進(jìn)行驗(yàn)證,得出結(jié)果如表3所示。

表3 形心偏左1 m時(shí)圓柱附加質(zhì)量計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results of circular cylinder′s additional mass when the centroid is 1 m left

由橢球和圓柱計(jì)算結(jié)果對(duì)比,可以初步驗(yàn)證該方法的計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的,進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法求解附加質(zhì)量的可行性。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

對(duì)所劃分的計(jì)算域網(wǎng)格進(jìn)行無(wú)關(guān)性驗(yàn)證后,開(kāi)始流場(chǎng)計(jì)算,邊界條件見(jiàn) 1.2.3節(jié)求解λ11時(shí)所得到的對(duì)應(yīng)航行器對(duì)稱面壓力云圖如圖3所示。該圖的本質(zhì)是航行器做勻減速運(yùn)動(dòng),參考表壓力為零,由靜壓曲線圖 4表明,航行器運(yùn)動(dòng)使流體有了速度動(dòng)壓,所以靜壓曲線會(huì)出現(xiàn)負(fù)值。從而可知頭部高壓至尾部的壓力恢復(fù),頭部為滯止點(diǎn),壓力高,計(jì)算流體有粘性及粘性損耗,尾部壓力無(wú)法恢復(fù)至與頭部相同的壓力,形成壓差阻力。圖3表明,求解λ11的原理與源項(xiàng)法及動(dòng)網(wǎng)格法相近,均為求解非定常直線運(yùn)動(dòng)與定常直線運(yùn)動(dòng)受力,作差求解λ11。

圖3 航行器水平運(yùn)動(dòng)壓力云圖Fig. 3 Pressure contour of an undersea vehicle in horizontal motion

圖4 航行器水平運(yùn)動(dòng)軸向壓力特性曲線Fig. 4 Characteristic curve of axial pressure of an undersea vehicle in horizontal motion

而根據(jù)數(shù)值計(jì)算得到的仿真結(jié)果得出,不同的加速度計(jì)算附加質(zhì)量有 2%～5%的誤差,為了消除系統(tǒng)誤差,保證結(jié)果的準(zhǔn)確性,選取不同的初速度和加速度,即對(duì)多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)工況進(jìn)行求解,得到多個(gè)附加質(zhì)量參數(shù)λ11,文中提到附加質(zhì)量參數(shù)只與形狀運(yùn)動(dòng)方向有關(guān),與速度大小無(wú)關(guān),附加質(zhì)量參數(shù)λ11進(jìn)行算術(shù)平均,如表4所示。

求解λ22,λ33以及λ26相關(guān)的壓力云圖如圖5所示,邊界條件見(jiàn) 1.2.3,向z側(cè)移動(dòng),賦予航行器z向平移速度,航行器殼體的表面靜壓壓力特性曲線如圖6所示。壓力特性曲線中出現(xiàn)負(fù)值,是因?yàn)楹叫衅鬟\(yùn)動(dòng)過(guò)程中使水有了速度(0.4～0.6 m/s),而參考表壓力設(shè)置為零,水有了動(dòng)壓,因此在參考表壓力為零的情況下,靜壓出現(xiàn)了負(fù)值。一側(cè)高壓,一側(cè)低壓,流體依舊有粘性及粘性損失,與求解λ11時(shí)相同,對(duì)多組工況進(jìn)行求解,得到附加質(zhì)量參數(shù)λ22,λ33以及λ26的算術(shù)平均值(見(jiàn)表 4)。

表4 航行器附加質(zhì)量求解結(jié)果Table 4 Calculation results of undersea vehicle′s additional mass

圖5 航行器側(cè)向運(yùn)動(dòng)壓力云圖Fig. 5 Pressure contour of an undersea vehicle in lateral motion

圖6 航行器側(cè)向運(yùn)動(dòng)軸向壓力特性曲線Fig. 6 Characteristic curve of axial pressure of an undersea vehicle in lateral motion

求解λ55,λ66以及λ35得到的壓力云圖如圖 7所示,邊界條件見(jiàn)1.2.3節(jié),直接賦予航行器角速度與角加速度即可,航行器殼體表面的靜壓壓力特性曲線如圖8所示。運(yùn)動(dòng)為繞航行器浮心位置轉(zhuǎn)動(dòng)殼體一側(cè)的壓力不相等,航行器頭部受到流體作用的一個(gè)低頭力矩,航行器尾部受到一個(gè)抬尾力矩,殼體需要克服逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)力矩,同求解λ11過(guò)程,需要選取不同角速度與角加速度的工況,經(jīng)過(guò)求解,得到多個(gè)附加質(zhì)量參數(shù)λ55,λ66以及λ35的仿真結(jié)果,為了消除系統(tǒng)的誤差,最終得到各個(gè)附加質(zhì)量參數(shù)對(duì)應(yīng)的算術(shù)平均值(見(jiàn)表4)。

圖7 航行器繞浮心轉(zhuǎn)動(dòng)壓力云圖Fig. 7 Pressure contour of an undersea vehicle rotating around center of buoyancy

圖8 航行器繞浮心轉(zhuǎn)動(dòng)軸向壓力曲線Fig. 8 Characteristic curve of axial pressure of an undersea vehicle rotating around center of buoyancy

對(duì)該復(fù)雜外形航行器的附加質(zhì)量用文中方法進(jìn)行解算得到的結(jié)果中,可得結(jié)論: 在附加質(zhì)量主要的幾個(gè)參數(shù),λ22,λ33,λ26,λ55,λ66,λ35結(jié)果都是滿意的,再次驗(yàn)證了該方法的求解附加質(zhì)量精度相當(dāng)高,并且相比較前人的相對(duì)運(yùn)動(dòng)法和動(dòng)網(wǎng)格方法,求解效率有了質(zhì)的變化。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中基于運(yùn)動(dòng)參考系的思想,將邊界與研究對(duì)象固定為體坐標(biāo)系,流域與地面坐標(biāo)系綁定,邊界與研究對(duì)象共同運(yùn)動(dòng),邊界控制選取與速度無(wú)關(guān)的方程,湍流模型離散成與邊界控制相對(duì)的方程,得到了一套完整的水下航行器附加質(zhì)量計(jì)算方法。

文中基于運(yùn)動(dòng)參考系和 k-epsilon湍流模型建立了一種適應(yīng)性強(qiáng)、精度高的水下運(yùn)動(dòng)體全部附加質(zhì)量參數(shù)解算方法。采用該方法,計(jì)算橢球和圓柱2種標(biāo)準(zhǔn)模型的附加質(zhì)量具有較高的精度,相對(duì)誤差不超過(guò) 2%; 對(duì)于有附體水下航行器等比例模型,文中方法的計(jì)算精度與標(biāo)稱值[16]誤差不超過(guò)10%。

文中避免了采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法需要添加動(dòng)量源項(xiàng)以及不同附加質(zhì)量求解需要重新劃分網(wǎng)格的問(wèn)題,也避免了動(dòng)網(wǎng)格需要網(wǎng)格更新而帶來(lái)的計(jì)算緩慢,網(wǎng)格質(zhì)量難以保證的問(wèn)題,解決了傳統(tǒng)水下航行器附加質(zhì)量求解難度大、計(jì)算效率低的問(wèn)題。

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Numerical Calculation of Additional Mass for Undersea Vehicle

MO Hui-xia,DANG Jian-jun,LUO Kai,HUANG Chuang,HUANG Biao
(School of Marine Science and Technology,Northwestern Polytechnical University,Xi′an 710072,China)

Additional mass force on undersea vehicle is a fluid inertia force due to unsteady motion,which is difficult to obtain from experiment or numerical calculation. In this paper,an unsteady flow field calculation model of an undersea vehicle is presented in the moving coordinates system by making use of the 3D N-S equation and the k-epsilon turbulence model. The proposed model is verified by inertia force solutions of ellipsoid and circular cylinder models. Then,based on the present numerical method,the additional mass of an undersea vehicle is calculated. Simulation results show that the relative errors of the obtained additional mass are less than 10%. This numerical calculation method of additional mass may be helpful to the overall design and hydrodynamic calculation of an undersea vehicle.

undersea vehicle; additional mass; moving coordinates system; numerical simulation

TJ630.1; O351.2

A

2096-3920(2017)03-0250-06

莫慧黠,黨建軍,羅凱,等. 水下航行器附加質(zhì)量數(shù)值計(jì)算方法[J]. 水下無(wú)人系統(tǒng)學(xué)報(bào),2017,25(3): 250-255.

10.11993/j.issn.2096-3920.2017.03.006

2017-03-31;

2017-05-25.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51579209、51409215、51679202).

莫慧黠(1992-),男,在讀碩士,主要研究方向?yàn)樗潞叫衅髁黧w動(dòng)力仿真與動(dòng)力機(jī)械仿真.

(責(zé)任編輯: 許 妍)