關(guān)于廣義幾何數(shù)列的討論

張立國(guó)

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院,沈陽(yáng) 110159)

關(guān)于廣義幾何數(shù)列的討論

張立國(guó)

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院,沈陽(yáng) 110159)

廣義幾何數(shù)列是數(shù)列的推廣，其收斂情況與數(shù)列的值域密切相關(guān)。按照數(shù)列的取值范圍，討論廣義幾何數(shù)列的性質(zhì)，給出收斂的充要條件和必要條件，為極限理論的后續(xù)研究提供思路。

廣義幾何數(shù)列；倒數(shù)代換；收斂

數(shù)列極限是微積分學(xué)中最簡(jiǎn)單、最容易掌握的極限概念。雖然它不具有廣泛的代表性，但由于分析學(xué)中的極限大多可以利用數(shù)列極限來(lái)刻劃，因而它的地位是不言而喻的。廣義幾何數(shù)列是數(shù)列概念的推廣，其性質(zhì)對(duì)于極限理論的完善和發(fā)展是非常重要的。文獻(xiàn)[1]只在區(qū)間[0,1]上對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論，但對(duì)于區(qū)間[0,1]以外的廣義幾何數(shù)列沒(méi)有涉及。本文在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地討論廣義幾何數(shù)列的收斂情況，并給出收斂的充要條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè){xn}為數(shù)列，令

稱(chēng)數(shù)列{an}為廣義幾何數(shù)列。{xn}為{an}的基礎(chǔ)數(shù)列。

2 廣義幾何數(shù)列的收斂條件

如果基礎(chǔ)數(shù)列x1=x2=…=xn=…=r,則an=rn,此時(shí)這個(gè)廣義幾何數(shù)列{an}就是通常的幾何數(shù)列{rn}，因而在區(qū)間[0,1]之內(nèi)，廣義幾何數(shù)列與幾何數(shù)列有相似的性質(zhì)。

命題1[1]設(shè)基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(0,1)，則廣義幾何數(shù)列{an}收斂 。

命題2 設(shè)基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(-1,0)，若廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a，則a=0。

證明由于基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(-1,0),則a2n(0,1),a2n-1(-1,0)。據(jù)極限保號(hào)性可知由于廣義幾何數(shù)列{an}收斂a，從而故a=0。

若基礎(chǔ)數(shù)列{xn}位于區(qū)間[0,1]之外時(shí)，廣義幾何數(shù)列{an}收斂情況如下：

定理2 設(shè)基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(-∞,-1)，則廣義幾何數(shù)列{an}發(fā)散。

證明由于基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(-∞,-1),則a2n(1,+∞),a2n-1(-∞,-1)。若與都存在時(shí)，據(jù)極限保號(hào)性可知從而因此廣義幾何數(shù)列{an}發(fā)散。

定理3 設(shè)xn(1,+∞)，則廣義幾何數(shù)列{an}收斂當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂。

由拉格朗日(Lagrange)中值定理得

由歸結(jié)原則與洛必達(dá)法則有

根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，可以得出廣義幾何數(shù)列收斂的必要條件：

推論1 設(shè)xn(1,+∞)，若基礎(chǔ)數(shù)列{xn}的廣義幾何數(shù)列{an}收斂，則數(shù)列{xn}收斂于1。

利用倒數(shù)代換和逆否命題，可以得到xn(0,1)時(shí)，廣義幾何數(shù)列{an}收斂結(jié)論。

定理4[3]設(shè)xn(0,1)，則廣義幾何數(shù)列{an}的極限大于0，當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂。

定理5 設(shè)xn(0,1)，則廣義幾何數(shù)列{an}的極限為0,當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散。

推論2 設(shè)xn(0,1)，若數(shù)列{xn}的廣義幾何數(shù)列{an}極限大于0，則數(shù)列{xn}收斂于1。

合并推論1與2可以得到推論3。

推論3 設(shè)xn(0,+∞),若數(shù)列{xn}的廣義幾何數(shù)列{an}極限大于0，則數(shù)列{xn}收斂于1。

例1說(shuō)明推論2只是必要條件。通過(guò)倒數(shù)代換可以推知，推論1與推論3也僅是必要條件。

3 廣義幾何數(shù)列的性質(zhì)

定理6 若實(shí)數(shù)a(0,+∞),則存在收斂于1的基礎(chǔ)數(shù)列{xn},使得其廣義幾何數(shù)列收斂于a。

證明設(shè)基礎(chǔ)數(shù)列{yn|nN}={0.9,0.99,0.999,…,1-(0.1)n,…}，其廣義幾何數(shù)列{bn}的極限為p，即據(jù)極限保號(hào)性可知0

(1)若0

當(dāng)r>a時(shí)，由(1)可知，存在xn(0,1)，且使得廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a；

當(dāng)r=a時(shí)，xn=zn使得結(jié)論成立。

(4)若a=1或p時(shí),令xn1或yn，即為所求。

由定理6的證明過(guò)程可以得到如下結(jié)論。

定理7 若實(shí)數(shù)a(0,1)，則存在收斂于1的基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(0,1)，使得其廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a。

定理8 若實(shí)數(shù)a[1,+∞)，則存在收斂于1的基礎(chǔ)數(shù)列{xn}(1,+∞)，使得其廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a。

由例1與定理6的證明可以看出，廣義幾何數(shù)列{an}的極限值a的大小與數(shù)列{xn}收斂于1的速度有關(guān)，當(dāng){xn}緩慢的收斂于1時(shí)，a可能為0，而當(dāng){xn}快速的收斂于1時(shí)，a可能大于0，這個(gè)問(wèn)題需要深入探討。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本文的論證可以看到，廣義幾何數(shù)列的收斂不僅與基礎(chǔ)數(shù)列的值域有關(guān)，而且與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂聯(lián)系密切。若把兩者有機(jī)地聯(lián)系在一起時(shí)，可能得到判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的新方法，這是下一步研究的重點(diǎn)。

[1] 邱森.微積分探究性課題精編[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2016.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1980.

[3] Ahlfors L.Complex analysis [M].3rd ed.Mcgraw-Hill,New York,1979.

(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

TheConvergenceofGeneralizedGeometricSequence

ZHANG Liguo

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The generalized geometric sequence is a generalization of the sequence,the convergence of the situation and the range of values of the sequence are closely related.According to the sequence of the scope,to discuss the nature of the generalized geometric sequence，and to present the necessary and sufficient conditions and necessary conditions of the convergence,and to provide ideas for the subsequent research in the theory of limit.

generalized geometric sequence;inverse substitution;convergence

O13

A

2016-10-26

張立國(guó)(1970—)，男，副教授，研究方向：模糊拓樸學(xué)。

1003-1251(2017)05-0108-03