HERTZ型與非HERTZ型接觸理論計(jì)算方法

楊咸啟，錢勝，褚園，劉勝榮

(黃山學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，安徽黃山245041）

HERTZ型與非HERTZ型接觸理論計(jì)算方法

楊咸啟，錢勝，褚園，劉勝榮

(黃山學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，安徽黃山245041）

Hertz型接觸和非Hertz型接觸理論涉及的計(jì)算過程比較繁雜，因此，針對(duì)一般的Hertz接觸問題，通過理論分析，給出了接觸曲率比函數(shù)與接觸橢圓偏心率以及橢圓積分之間的關(guān)系。利用接觸曲率比函數(shù)直接計(jì)算出接觸參數(shù)率，使得接觸計(jì)算變得相對(duì)簡(jiǎn)化。同時(shí)，建立了非Hertz接觸參數(shù)的近似模型。

Hertz型接觸；非Hertz型接觸；曲率比函數(shù)；橢圓偏心率；計(jì)算方法

1 概述

工程中經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)構(gòu)件相互接觸，并且承受比較大的載荷。例如，火車輪軌接觸、齒輪嚙合接觸、軸承零件內(nèi)部接觸，等等。因此，需要計(jì)算接觸部位的應(yīng)力。這些接觸問題多數(shù)是屬于彈性Hertz接觸問題，也即是在微小接觸區(qū)域上的微小彈性變形接觸問題。計(jì)算接觸應(yīng)力時(shí)需要采用Hertz接觸理論。首先要利用接觸表面的曲率系數(shù)，再計(jì)算橢圓積分函數(shù)，這個(gè)過程往往比較復(fù)雜。

從初始接觸狀態(tài)的不同，接觸類型通常分為點(diǎn)接觸和線接觸。如果兩個(gè)物體開始接觸時(shí)只有一點(diǎn)的情況稱為點(diǎn)接觸，如果兩個(gè)物體開始接觸時(shí)是一條線的情況稱為線接觸。這些接觸通常都作為Hertz型接觸問題，Hertz問題的求解的前提假設(shè)為：

1.接觸體的材料處于彈性狀態(tài)；

2.接觸區(qū)域表面是理想光滑的二次曲面，不考慮摩擦；

3.接觸面尺寸與彈性體表面的曲率半徑尺寸相比是很小的量；

4.接觸壓力分布模式與接觸區(qū)域形狀與接觸表面相適應(yīng)。

在這些假設(shè)條件下，可以求解出接觸問題的理論解。下面分別介紹點(diǎn)接觸和線接觸的計(jì)算方法[1-7]。

2 Hertz型點(diǎn)接觸參數(shù)

2.1 球面體點(diǎn)接觸

當(dāng)兩個(gè)光滑的球面體在外力Q作用下相互接觸，如圖1所示。

圖1 球體點(diǎn)接觸模型

這是一種典型的點(diǎn)接觸情況，由于球體的對(duì)稱性，明顯的，接觸區(qū)域?yàn)榘霃綖閍的圓（如圖1（b）為接觸區(qū)域放大圖）。圓的方程可以寫為r2=x2+y2=a2。接觸區(qū)上的接觸壓力分布與接觸區(qū)域點(diǎn)的位置有關(guān)，在接觸區(qū)域中心點(diǎn)接觸壓力最大，在邊緣點(diǎn)上接觸壓力為零。因此，為了與接觸表面相適應(yīng)，Hertz解假定接觸壓力分布為半橢球面分布

式中，qmax為最大接觸力，a為接觸區(qū)半徑，r為極徑坐標(biāo)。求解接觸問題關(guān)鍵就是確定接觸區(qū)半徑a和最大接觸壓qmax。

由外力與接觸力的平衡條件，并且利用半橢球體的體積積分得到

所以，最大接觸壓力為

由于接觸發(fā)生在很小的區(qū)域，外力分布在接觸區(qū)上，可以將這樣的問題當(dāng)作為半無限大體上作用一個(gè)很小的分布力問題的Boussinesq解來處理。因此，經(jīng)過推導(dǎo)得到接觸區(qū)的參數(shù)為

式中，R1、R2為球面半徑，δ為接觸原點(diǎn)上兩個(gè)球體的變形之和（也稱為兩球體的彈性變形趨近量δ）。稱為當(dāng)量彈性模量。

2.2 二次曲面體點(diǎn)接觸

對(duì)于任意光滑曲面體，在外力Q作用下相互對(duì)中接觸在一起，如圖2（a）所示。在滿足Hertz假設(shè)條件情況下，這個(gè)問題可以得到完整的理論解。實(shí)際上，在微小的接觸面上，任意曲面總可以近似表達(dá)為二次曲面而具有足夠的精確性。下面來求解一般的曲面體的Hertz型接觸問題。

同前面一樣，建立接觸區(qū)域坐標(biāo)系，選擇初始接觸點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)。以接觸點(diǎn)的切平面為xy平面，z軸指向體內(nèi)部。

圖2 兩個(gè)任意曲面體接觸模型

Hertz解認(rèn)為接觸區(qū)域應(yīng)該是橢圓形區(qū)域(圖2（b）為接觸區(qū)域放大圖)。橢圓的方程可以寫為（x/a）2+（y/b）2=1，a、b為橢圓半軸長。橢圓形區(qū)域?yàn)?/p>

接觸區(qū)上的接觸壓力分布與接觸區(qū)域點(diǎn)的位置有關(guān)，在接觸區(qū)域中心點(diǎn)壓力最大，在邊緣點(diǎn)上壓力為零。因此，為了與接觸表面相適應(yīng)，Hertz解假定接觸壓力分布是一種半橢球的形狀(圖2（c）)，即

其中，qmax為最大接觸壓力。這是一種半橢球方程。求解接觸問題就是確定接觸區(qū)半徑a、b和最大接觸壓qmax。

由接觸壓力與外力的平衡關(guān)系，并且利用半橢球體的體積積分得到

所以，最大接觸壓應(yīng)力為

利用半無限大體上作用一個(gè)很小的分布力問題的Boussinesq解，經(jīng)過積分簡(jiǎn)化計(jì)算后得到接觸區(qū)域參數(shù)為

到此，一般的Hertz型接觸問題的理論解就確定出來了。但是具體的計(jì)算還需要求橢圓積分，其過程還是比較復(fù)雜的。

接觸區(qū)域各量的計(jì)算過程是已知接觸表面的主曲率后，首先計(jì)算出接觸表面曲率比函數(shù)

再定出接觸橢圓偏心率e

進(jìn)一步，計(jì)算出第一、二類完全橢圓積分Γ（e）、Π（e）以及計(jì)算a*、b*、δ*。但這個(gè)過程比較復(fù)雜。實(shí)際中是先給定參數(shù)e計(jì)算出Γ（e）、Π（e），再計(jì)算F（p），將計(jì)算結(jié)果制成圖表。在工程問題計(jì)算時(shí)，反過來利用已經(jīng)計(jì)算好的參數(shù)表，利用直接查和插補(bǔ)計(jì)算方法來快速近似計(jì)算[7-9]。

上面給出的接觸參數(shù)計(jì)算公式比較復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用中不太方便。下面介紹新的近似計(jì)算方法，根據(jù)接觸表面曲率函數(shù)F（p）與來確定橢圓參數(shù)e和橢圓積分。

在式（15）中，關(guān)系比較復(fù)雜，對(duì)參數(shù)e趨近于零時(shí)是一種不定式。為了避免這種不定式計(jì)算，本文利用接觸體的表面曲率比函數(shù)F（p）來近似計(jì)算接觸參數(shù)的方法如下。

3 二維彈性體線接觸參數(shù)

當(dāng)兩個(gè)光滑的圓柱體長度相同為l，或?yàn)闊o限長，軸線平行，在外力Q作用下對(duì)中接觸，如圖3（a）所示。這是一種理想的線接觸情況，這時(shí)接觸區(qū)域?yàn)榫匦危ㄈ鐖D3(b)所示接觸區(qū)域放大圖）。沿軸線的接觸壓力分布為均勻分布。這樣，它可以轉(zhuǎn)化為平面接觸問題。對(duì)無限長線接觸對(duì)應(yīng)于平面應(yīng)變問題，對(duì)相同長度的線接觸對(duì)應(yīng)于平面應(yīng)力問題。

在Hertz假設(shè)條件下也可以獲得二維彈性體接觸壓力分布等結(jié)果。

圖3 兩個(gè)長度相同圓柱體線接觸模型

設(shè)接觸圓柱體的半徑為R1、R2，材料彈性模量和泊松比分別為E1、ν1；E2、ν2。類似于點(diǎn)接觸的分析方法，為了與接觸表面相適應(yīng)，Hertz解假定接觸壓力分布為半橢圓柱體（圖3(b)所示接觸壓力示意圖，接觸區(qū)域?yàn)榫匦危?bXl）

由外力與接觸力的平衡條件，并且利用半橢圓柱體的體積積分得到

因此，得到接觸表面的最大壓力為

但是，線接觸不能嚴(yán)格導(dǎo)出彈性體的趨近量。而K.L.Johson利用平面應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)積分，得出兩個(gè)圓柱體接觸區(qū)中心彈性趨近量近似公式為[1]

式中，Q為作用外力，l為接觸圓柱體長度，R1、R2分別為接觸圓柱體的半徑，b為接觸區(qū)域半寬度，E1、ν1；E2、ν2分別為材料彈性模量和泊松比。

而A.Palmgren通過試驗(yàn)給出帶凸度的圓柱體接觸中心彈性趨近量的近似公式為[3]

文獻(xiàn)[11,12]中提出一種近似的線接觸變形趨近量計(jì)算公式為

4 非Hertz型接觸參數(shù)計(jì)算

如果在接觸分析中放棄Hertz假設(shè)，則稱為非Hertz接觸問題。通常分為兩類情況，一類是接觸表面為非光滑曲面，另外一類為大接觸表面。由于非Hertz接觸問題要復(fù)雜很多，很多問題還沒有理論解。下面介紹幾個(gè)典型的非Hertz接觸問題模型[10-13]。

4.1 有限長線接觸

當(dāng)兩個(gè)圓柱體長度不相同，而軸線平行地相接觸，或一個(gè)有限長的圓柱與無限大平面接觸，這樣就稱為有限長線接觸。如圖4所示。他們?cè)诠こ虇栴}中經(jīng)常會(huì)遇到。

圖4 有限長線接觸模型

有限長線接觸沒有理論解，在圓柱體端部邊界會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。求解有限長線接觸問題通常采用數(shù)值方法[10]。在接觸區(qū)域，劃分微小單元，利用數(shù)值積分求出下面的接觸變形

再利用接觸變形協(xié)調(diào)條件和平衡方程

可以建立一組方程。求解方程組（26）-（28）得到接觸區(qū)域上的壓力分布。在求解過程中，首先假定接觸區(qū)域的大小，同時(shí)，必須保證接觸壓力為非負(fù)值（qm≥0）。

圖5（a）為有限長線接觸示意圖。圖5（b）、（c）為有限長線接觸的變形和接觸應(yīng)力分布情況，在圓柱的端部出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中[3]。

圖5 有限長圓柱線接觸

4.2 曲面非對(duì)中接觸與非主曲率平面接觸

對(duì)于光滑曲面體非對(duì)中接觸問題，如圖6(a)所示?；蚍侵髑势矫娴慕佑|問題，如圖6（b）所示。他們?cè)诠こ虇栴}中有時(shí)也會(huì)遇到。

圖6 接觸模型

在彈性狀態(tài)下，本文假設(shè)這種接觸問題產(chǎn)生的接觸區(qū)域?yàn)?/p>

根據(jù)接觸壓力分布必須與接觸區(qū)域相適應(yīng)的原則，假設(shè)接觸區(qū)域上的壓力分布為

其中，q0為接觸壓力特征值，通過選擇不同的指數(shù)α來反映曲面的特點(diǎn)。

接觸力的平衡條件為

而接觸變形的協(xié)調(diào)條件可以寫成

上式中，δ(O)代表接觸原點(diǎn)上兩個(gè)球體的變形之和（也稱為兩體的彈性變形趨近量δ），w1，w2為兩個(gè)接觸表面的變形，且

在小變形的情況下，接觸變形的協(xié)調(diào)條件也可以寫成

同樣也可以利用半無限大平面上受分布力作用的變形計(jì)算方法（Boussinesq解），

上面的積分需要在已知壓力分布函數(shù)的情況下才可以進(jìn)行。多數(shù)情況下需要利用數(shù)值積分方法求解，如同有限長線接觸的計(jì)算過程。

4.3 非光滑曲面接觸

兩個(gè)非光滑表面受壓力作用而接觸形式如圖7所示。假設(shè)接觸區(qū)域邊界方程為

圖7 非光滑表面接觸模型

本文假設(shè)接觸區(qū)域上的壓力分布為

其中，q0為特征接觸壓力，β為指數(shù)，C為常數(shù)，Z1、Z2為接觸體非光滑表面坐標(biāo)。

對(duì)于非光滑表面，K1（H1，H2）、K2（H1，H2）為與接觸體材料硬度H1，H2有關(guān)的接觸變形分配系數(shù)，

材料硬度越大，接觸變形越小，因此，假設(shè)變形分配系數(shù)與硬度之間存在反比的關(guān)系

由接觸壓力與外載荷的平衡關(guān)系

考慮到非光滑表面的材料特性，上面的積分中

如果接觸表面的變化是平緩的，則有

以上的公式是非光滑表面的接觸壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

而非光滑表面的接觸變形大多數(shù)會(huì)出現(xiàn)塑性變形，計(jì)算這種塑性變形非常復(fù)雜，需要建立更復(fù)雜的模型。這方面已經(jīng)有不少的研究者給出了有意義的結(jié)果。

5 總結(jié)

本文介紹了Hertz型點(diǎn)接觸理論的分析結(jié)果，將接觸參數(shù)的計(jì)算過程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，滿足工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用要求。同時(shí)，對(duì)非Hertz型接觸的典型問題進(jìn)行了理論分析。得到的主要結(jié)果為

1.擬合出點(diǎn)接觸曲率比函數(shù)與接觸橢圓率e、橢圓積分的關(guān)系函數(shù)，省去了復(fù)雜的計(jì)算過程，使得接觸計(jì)算變得相對(duì)簡(jiǎn)化。

2.建立了非Hertz型接觸模型參數(shù)的近似計(jì)算方法。

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The Calculation Method of Hertzian and Non-Hertzian Contact Theory

Yang Xianqi,Qian Sheng,Chu Yuan,Liu Shengrong
(School of Mechanical and Electrical Engineering,Huangshan University,Huangshan 245041,China)

The calculation process involved in Hertzian contact and non-Hertzian contact theory is very com plicated.In this paper,for the general Hertzian contact problem,the relation between the contact curvature ratio function and the contact ellipse eccentricity as well as the elliptic integral is given by theoretical analysis.The contact parameters are calculated directly by the contact curvature ratio function,which relatively simplifies con tact calculation.And an approximate model for non-Hertzian contact parameters is also established.

Hertzian contact;non-Hertzian contact;curvature ratio function;elliptic eccentricity;calcula ion method

TH114

A

1672-447X(2017)05-0013-006

2017-08-29

安徽省教育廳質(zhì)量工程項(xiàng)目（2014zdjy122）

楊咸啟（1957-），安徽樅陽人，黃山學(xué)院教授，研究方向?yàn)闄C(jī)械工程設(shè)計(jì)、軸承理論、摩擦學(xué)。

責(zé)任編輯：胡德明