構(gòu)建解題思路 反思課堂教學—一類二元變量證明題的解題策略

江蘇省泰州市姜堰中學(225300) 王立振

構(gòu)建解題思路 反思課堂教學—一類二元變量證明題的解題策略

江蘇省泰州市姜堰中學(225300) 王立振

1、前言

當下,高中生學習數(shù)學最大的困難是不知如何解題、怎樣解題,數(shù)學概念基本能聽懂,習題課的效果也不錯,但是學生一旦自己動手解題時,往往就束手無策,不知從何入手,導致功夫沒少下,效果并不佳的情況,從而喪失學習數(shù)學的興趣和動力.

著名數(shù)學家波利亞解題理論告訴我們——解題要做“七分構(gòu)思”(讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納),“三分表達”(書寫、運算、訂正、反思與回顧).高三復習教學無外乎就是教會學生如何解題、怎樣解題及課后的自我整理消化.不只是簡簡單單地把一道題目講清楚講明白,而是教會學生如何構(gòu)建條件與目標之間的關系,并引導學生在課后進行自我消化與總結(jié),這才是高三復習教學的重中之重.

2、難在何處

二元變量的證明問題在每年的全國各地的大型考試、模擬試卷甚至高考試卷都出現(xiàn)過.學生心有余悸的二元變量證明題到底“難”在何處?一般來說,一是難在證明形式的復雜(2016屆陜西師大附中高三下第十次模擬文科試題);二是難在無從下手(2016屆安徽六安一中高三下模擬四理科試題);三是難在知識與方法的綜合(2015-2016學年江蘇如皋中學高二下月考試).

3、賞析解題策略

例1 已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,證明:當a＜?1時,對任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)?f(x2)|+4|x1?x2|≥0.

策略1 從目標結(jié)構(gòu)出發(fā),轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性的證明.如果我們單純從結(jié)論出發(fā),求|f(x1)?f(x2)|+4|x1?x2|的最小值恒大于等于零.首先討論x1,x2的大小關系,去掉絕對值,再求含有兩個變量的表達式最小值,且表達式較為復雜,可想而知這樣的解題是繁瑣的.那么有無簡化的可能?該如何簡化解題?事實上,我們觀察不等式的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn),含有x1的多項式中只有x1,x2,也是一樣的.可將含有x1,x2的多項式左右分離,分別置于不等號的左右兩邊,再利用新函數(shù)的單調(diào)性就可證明.

解析因為a＜?1,所以對于x∈(0,+∞),f′(x)＜0,有f(x)單減.不妨設0＜x1＜x2,

轉(zhuǎn)化為

令g(x)=f(x)?4x,當0＜x1＜x2時,有g(shù)(x2)≥g(x1),則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單減.即證明g(x)的導函數(shù)g′(x)在(0,+∞)恒有

因為a＜?1,x＞0,所以有則有?x∈(0,+∞),g′(x)≤0,故結(jié)論成立.

點評將不等式進行變形后,使得含有x1,x2式子分別置于不等式的左邊和右邊,形如:g(x1)＜g(x1).從而將兩個變量的不等式證明問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性的證明問題,轉(zhuǎn)化為學生易知、易求的問題.

例2 已知函數(shù)f(x)=xlnx,證明,對于任意的x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)+f(x2)+x1+x2＞f(x1+x2).

策略2 從變量形式出發(fā),轉(zhuǎn)化為一元變量的恒成立問題.從目標中變量所給的形式出發(fā),若二元變量可通過適當變形,使得x1,x2都以的整體形式出現(xiàn),那么我們可以通過整體換元,達到減元的目的,起到減少變量的效果.

解析將不等式進行化歸轉(zhuǎn)化:

不等式兩邊同時除以x2,可得

令函數(shù)

其導函數(shù)

令h′(t)=0,易知存在t0,有

且h(t)在(0,t0)單調(diào)減,(t0,+∞)單調(diào)增.則有

點評改變思考問題的角度.通過對不等式的變形和轉(zhuǎn)化,不等式中兩個變量都是的形式出現(xiàn),將整體換元,從而將二元變量的不等式證明問題轉(zhuǎn)化為一元變量的恒成立問題,使難解的問題簡單化,熟悉化.

策略3 從變量個數(shù)出發(fā),變量轉(zhuǎn)參數(shù)構(gòu)造新函數(shù).

有多元變量不等式的證明問題,即有兩個變量且變量間沒有內(nèi)在的聯(lián)系.如果我們從變量個數(shù)出發(fā),把x2看成變量x,x1看成參數(shù),這樣不僅減少變量的個數(shù),而且轉(zhuǎn)化為學生熟悉的、易入手的一元變量的不等式問題.

解析1 將參數(shù)x2變?yōu)槲粗獢?shù)x,記

其導函數(shù)

令f′(x0)=0,存在

使得f(x)在(0,x0)單調(diào)減,在(x0,+∞)單調(diào)減.所以

有?x2∈D,f(x2)＞0,易知

即結(jié)論成立.

點評將不等式中x2轉(zhuǎn)化為變量x,x1看作參數(shù),使得上述不等式的證明問題轉(zhuǎn)化含有一個變量不等式恒大于零的問題,再利用導數(shù)求出最小值,即可得證.而解題的關鍵在于轉(zhuǎn)換參數(shù)與變量的角色.(構(gòu)造的新函數(shù)不唯一,本題還可有如下構(gòu)造)

解析2 當x1=x2時,結(jié)論顯然成立,否則不妨設0＜x1＜x2,設

當0＜x＜x1時,F′(x)＜0,F(x)在(0,x1)上為減函數(shù),當x＞x1時,F′(x)＞0,F(x)在(x1,+∞)上為增函數(shù),則有

當x2＞x1時,有

化簡可得:

即

故結(jié)論成立.

解析3 對于m＞0,令F(x)=f(x)+f(m?x),0＜x＜m,則當即F′(x)＜0時,F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當即F′(x)＞0時,F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;因而對所有的0＜x＜m,都有即

取x=x1,m?x=x2,得

故有

結(jié)論成立.

一種漂亮解法的得出,需要我們對以往思路構(gòu)思及經(jīng)驗的不斷總結(jié),更需要我們對問題有更深層的剖析.

4、教學啟示

任何數(shù)學問題都存在于某類問題的共性之中,利用數(shù)學中這種共性結(jié)果處理數(shù)學學習的困難.通過這類題目解法及其分析可知,這類題目思維角度較小,解題方法固化,所用知識也是常規(guī)的,但學生做題還是問題不斷,漏洞百出.在平時教學中我們需要多關注的是什么呢?

4.1 解題應以“構(gòu)思”為綱

在現(xiàn)代任職心理學中,人的任職活動并非是對外部世界的簡單被動的反映,而是一個主體在其中發(fā)揮主觀積極能動性的過程.因此,高三復習教學活動不應看成教師教授知識,學生被動接受,而是啟發(fā)學生在已有的知識和經(jīng)驗的基礎上,主動構(gòu)建解題思路的過程.教師可根據(jù)每節(jié)課的教學內(nèi)容不同,尋找一個引發(fā)問題的“生長點”,啟發(fā)學生,積極構(gòu)思,培養(yǎng)學生勤于思考,善于構(gòu)思的習慣,使學生具有悟性.

4.2 課堂教學應以“反思”為魂

反思是什么?反思就是在解決完一道數(shù)學題后還需認真進行如下的探索:該題的命題意圖是什么?考查了哪些基本知識和基本方法?解題過程是否合理、是否完善?有無其他解法?該題的解法是否具有一般性(即舉一反三、一題多變、一題多解)?以上的思考就是教學反思.教學反思有助于培養(yǎng)學生思維的廣闊性,提高思維的靈活性,最終幫助學生提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,從而真正實現(xiàn)羅增儒老師倡導的“通過有限典型例題的學習領悟解無數(shù)道題的數(shù)學機智”.