例談初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效變式教學(xué)

廣東省廣州市育才中學(xué)(510000) 梁結(jié)文 毛曉琴

例談初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效變式教學(xué)

廣東省廣州市育才中學(xué)(510000) 梁結(jié)文 毛曉琴

作為一名教師,要教好學(xué)生,不是只要求自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有整體的認(rèn)識(shí)和把握,更重要的是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有整體的認(rèn)識(shí)和把握,但當(dāng)前的初三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的知識(shí)引入,大部分老師都采用自己講或者提問幾名學(xué)生,即知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系基本上是按老師的思維習(xí)慣來闡述的,根本無法促進(jìn)每名學(xué)生對(duì)自我知識(shí)體系的建構(gòu),更無法讓學(xué)生有效地進(jìn)行知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化.所以,教師應(yīng)設(shè)計(jì)更有效的復(fù)習(xí)教學(xué),而變式教學(xué)往往是一種很好的有段.本文主要從九年級(jí)的一節(jié)《全等三角形》的復(fù)習(xí)課進(jìn)行分析舉例.

好的開始是成功的一半,故初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效教學(xué),首先由有效引入談起.課堂引入是一座能在知識(shí)上承上啟下、在學(xué)法上溫故而知新的橋梁.有效的課堂引入應(yīng)建立在學(xué)生的主觀愿望和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上,教師向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì),幫助他們?cè)谧灾魈骄康倪^程中理解數(shù)學(xué)知識(shí)和掌握數(shù)學(xué)基本技能.

1 課題引入——萬變不離其中

問題1.1 如圖1,點(diǎn)C在直線XY上,AC⊥CF,AC=CF,作AD⊥XY于D,FN⊥XY于N.

(1)求證:∠A= ∠FCN;

(2)求證:AD=CN,DC=FN;

(3)已知DC=2AD,試求tan∠FCN的值.

圖1

圖2

由基礎(chǔ)題目引入面向了大部分學(xué)生,不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且學(xué)生在獨(dú)立完成題目時(shí)發(fā)現(xiàn)三角形全等的條件,順勢回顧了三角形全等的證明要素和方法.在解題時(shí),老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中線段之間的垂直關(guān)系,建立線段“三垂直關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型,為復(fù)習(xí)課中變式做準(zhǔn)備.

問題1.2 如圖2,一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.求過B、C兩點(diǎn)直線的解析式.

問題1.2是問題1.1的推廣,把問題1.1中的數(shù)學(xué)模型有機(jī)地與直角坐標(biāo)系結(jié)合起來.通過圖形的比較,尋找、構(gòu)造輔助線,讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用問題1中的“三垂直關(guān)系”建立模型解題,感受問題1.1、1.2中的通性通法.這時(shí)進(jìn)行的課堂引入設(shè)計(jì)充分暴露知識(shí)之間得到聯(lián)系,使問題建立在舊知識(shí)之上,但又不陌生,有思考的余地.

問題1.3 如圖3,BC在直線上,分別以△ABC的 邊AB、AC為邊朝外作正方形ABGH和ACFE,連結(jié)FG,P為FG的中點(diǎn),作直線PK⊥BC,垂足為K.求證:

圖3

問題1.3來自于一道中考?jí)狠S題,學(xué)生面對(duì)該類問題顯得無從下手.老師與學(xué)生一起分析題目的條件,適當(dāng)?shù)卦O(shè)置路標(biāo)如圖4,聯(lián)系中位線知識(shí),構(gòu)造輔助線.嘗試讓學(xué)生在解題過程中從復(fù)雜的圖形背景中剝離出基礎(chǔ)圖形,發(fā)現(xiàn)在上題中已建構(gòu)的“三垂直線段”數(shù)學(xué)模型如圖5.由繁入簡,在由簡得繁,深化題組中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)通性.

圖4

圖5

問題1.1從基礎(chǔ)題目入手,緊緊抓住本節(jié)課的復(fù)習(xí)重點(diǎn)——三角形的全等.在解題講題的過程中,滲透對(duì)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí).問題1.2、1.3通過對(duì)簡單問題進(jìn)行數(shù)學(xué)背景的變化,由簡入難,不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且讓學(xué)生投入到數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程中,感受數(shù)學(xué)變式中的不變模型.通過變式教學(xué)可以更好地對(duì)已建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行鞏固,也為下一組變式題組教學(xué)鋪下探究之路.

變式教學(xué)不能空泛而述,設(shè)計(jì)的變式與引導(dǎo)的方向要能促進(jìn)學(xué)生不斷進(jìn)入自己的“最近發(fā)展區(qū)”.對(duì)上一題組中已被學(xué)生內(nèi)化的舊題進(jìn)行改造、引申、變化,引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索新知識(shí)的過程中,更為迅速地將新知識(shí)納入原有的知識(shí)體系中,進(jìn)一步明白知識(shí)之間的聯(lián)系,進(jìn)一步掌握知識(shí)體系中的數(shù)學(xué)技能.另外用變式改題的方法,也能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與求知欲望,在學(xué)生的學(xué)習(xí)激情下,打破了昔日復(fù)習(xí)課上的沉悶.

2 課題深入

2.1 說一說,發(fā)現(xiàn)變換

將圖6通過怎樣的變換,分別可以對(duì)應(yīng)得到下列哪個(gè)圖形?并說出變換過程;

通過獨(dú)立思考或小組合作討論,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中的變換.每組的圖形可以存在不同的變換關(guān)系,但變換后線段的垂直關(guān)系仍然存在.圖形的變換可作為“三垂直線段”模型的一種推廣,也可在變換中發(fā)現(xiàn)模型的共性.

2.2 找一找,發(fā)現(xiàn)模型

(1)如圖10,已知E、F分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點(diǎn),連結(jié)BE、CF,若BE⊥CF,求證:BE=CF.

(2)如圖11,ABCD是正方形,EF⊥PM,求證:EF=PM.

(3)如圖12,在△ABC中,AD、BE是高,若∠ACB=60°,∠BAC=75°.

求證:△BDH≌△ADC.

圖10

圖11

圖12

學(xué)生在解題的過程中,可發(fā)現(xiàn)每題中相應(yīng)的變式中的基礎(chǔ)圖形.在變化的圖形背景中,發(fā)現(xiàn)題目的通性、通法,體現(xiàn)變式過程中的多題一法.

課題深入是引入課題的水平變式.在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行變式教學(xué),歸納、總結(jié)出一類問題基本解題方法.在講題的過程中,注重解題思路的分析,充分暴露思維過程,讓學(xué)生主動(dòng)探索,讓學(xué)生自主分析,讓學(xué)生在系列變式中把知識(shí)更牢固地記憶在腦里而不是淺層記憶.教師利用知識(shí)間的遷移規(guī)律,讓學(xué)生對(duì)同類知識(shí)進(jìn)行類比,把變式教學(xué)變得更活躍,課堂更有效.

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不只是把以前學(xué)過的知識(shí)再回顧一遍,重要的是把學(xué)過的知識(shí)的相互聯(lián)系搞清楚,把以往所學(xué)的知識(shí)綜合起來,形成有機(jī)的整體,從而提高學(xué)生的分析與解決問題的能力.所以,復(fù)習(xí)課的變式教學(xué),可以進(jìn)行垂直變式,把相連的知識(shí)點(diǎn)通過變式有機(jī)地聯(lián)系在一起,

3 課題推廣

3.1 弱化條件“AC=CE(線段相等)”,則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似

問題3.1.1 已知:如圖13,在Rt△CAB和Rt△ECD中,點(diǎn)D在邊BC的延長線上,且∠ACE= ∠B= ∠D=90°.求證:△CAB∽△ECD.

圖13

問題3.1.2 如圖14,正方形ABCD的邊長為4 cm,點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B,C重合的任意一點(diǎn),連接AP,過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q,設(shè)BP的長為xcm,CQ的長為ycm,求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過程中y的最大值.

圖14

通過課題引入、課題深入兩個(gè)環(huán)節(jié)的探索解題,學(xué)生已建立“三線段垂直”模型的認(rèn)識(shí),并且掌握了一般的數(shù)學(xué)解題技巧.對(duì)于課題推廣設(shè)計(jì)目的在于由全等知識(shí)過度相似知識(shí),實(shí)現(xiàn)知識(shí)的連通性.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目之間的共通點(diǎn),拓展基礎(chǔ)模型的應(yīng)用.

3.2 弱化條件“直角”,則“全等”結(jié)論仍然成立

問題3.2.1 如圖15,在和中,點(diǎn)D在邊BC的延長線上,AC=CE,且 ∠ACE= ∠B= ∠B.則△ABC≌△CDE.

圖15

圖16

問題3.2.2 如圖16,為等邊三角形,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,CA,AB上,且△DEF也為等邊三角形.證明:BD=CE

3.3 同時(shí)弱化條件“線段相等”和“直角”,則結(jié)論由全等弱化為相似

問題3.3.1 如圖17,在△ABC和△CDE中,點(diǎn)D在邊BC的延長線上,∠ACE=∠B= ∠B.求證:△CAB∽△ECD.

圖17

問題3.2.2、3.2.3可作為本節(jié)課堂上的延伸,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,進(jìn)一步加深對(duì)“三線段垂直”數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí).

課題推廣通過對(duì)課題引入的條件或結(jié)論的垂直變式,把全等三角形的模型轉(zhuǎn)化為一般的相似圖形,將學(xué)生思維中已建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變化、拓展,讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)縱向加深、橫向溝通.變式把固定的數(shù)學(xué)模型變活,在解題過程中,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“定”中的變,“變”中的“同”,感受數(shù)學(xué)的通性通法.

4 關(guān)于復(fù)習(xí)課變式教學(xué)的思考

4.1 選題—變式教學(xué)的基礎(chǔ)

選題就是要在準(zhǔn)確把握考試范圍和要求的基礎(chǔ)上,緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),緊扣考試的重點(diǎn)題型進(jìn)行選題,并不是題目的難度越大越好.一道好題目之所以能引起大家的共鳴,不是因?yàn)槠溆歇?dú)特的解題技巧,而是其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

課題由簡單基礎(chǔ)圖形題目引入,主要考查了學(xué)生全等三角形的判定證明、一次函數(shù)解析式的應(yīng)用求解、梯形的中位線等知識(shí).三小題中蘊(yùn)含了同一的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)用了同一的數(shù)學(xué)方法,建立了相同的數(shù)學(xué)模型.教師在變式教學(xué)中,深入發(fā)掘了簡單題目的內(nèi)涵和外延,不斷地整合知識(shí)點(diǎn),由易到難、由單一變復(fù)雜,讓題目所考查的問題更加清晰、明了,讓學(xué)生所獲的知識(shí)更加全面、深刻,真正達(dá)到解一題會(huì)一類的變式訓(xùn)練目的.選擇具有通性、通法的題目進(jìn)行變式教學(xué)講解,可以更加了解中考試題出題人出題的目的和出題的構(gòu)造過程,能充分發(fā)揮中考試題的教學(xué)功能,從而更好地提高變式教學(xué)的效率和質(zhì)量.

4.2 變題—變式教學(xué)的升華

變式教學(xué)在教學(xué)設(shè)計(jì)上要突出一個(gè)“變”字.用“變”來揭示問題的本質(zhì),用“變”來展示認(rèn)知的過程,用“變”來培養(yǎng)學(xué)生以不變應(yīng)萬變的辯證唯物思想.變式教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、變異出新、優(yōu)化解題、拓展創(chuàng)新,使之形成一種技巧.題目的變化過程,是學(xué)生一步一步嘗試、感受變化的過程,是學(xué)生一步一步反思、總結(jié)的過程,是學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”本質(zhì)的過程,是學(xué)生從“不變”的本質(zhì)探索“變”的規(guī)律的過程.變題讓學(xué)生形成了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)了一定的遷移能力.

課題引入的三小題讓學(xué)生在不同背景下的題目中尋找“變化”中的“不變”,構(gòu)造解題的數(shù)學(xué)模型.課題深入由圖出發(fā),通過數(shù)學(xué)的變換變化,在學(xué)生的思維“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行拓展延伸,讓學(xué)生在“不變”中又發(fā)現(xiàn)“變化”的規(guī)律.課題推廣由題出發(fā),通過條件或結(jié)論的變化,抓住了有效教學(xué)的“生長點(diǎn)”,不僅僅以題論題,而且拓展了學(xué)生思維的寬度和深度.

變題要有明確的意圖,要有一定的針對(duì)性,既要注意一題多解、一題多變和多題歸一,又要注意變式中數(shù)學(xué)認(rèn)知策略的滲透和提煉.變題要指出它與原題的聯(lián)系以及學(xué)生應(yīng)從中獲得的注意點(diǎn)與啟示點(diǎn),讓學(xué)生明白再復(fù)雜的問題也是由簡單的問題變化而來,也是與簡單的問題有著共同的數(shù)學(xué)思想,消除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的為難情緒,提高學(xué)生數(shù)學(xué)的解題能力,這樣才能是“授人以漁”而不是“授人以魚”.

總而言之,數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效變式教學(xué),是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效手段.