初中數(shù)學運用SOLO分層法進行評價的例題分析*

廣東省湛江一中培才學校(524037) 李雪迎

廣東省教育研究院(510035) 吳有昌

初中數(shù)學運用SOLO分層法進行評價的例題分析*

廣東省湛江一中培才學校(524037) 李雪迎

廣東省教育研究院(510035) 吳有昌

對學習者學習質(zhì)量的評價一般包括兩個方面:量化方面(學習者回答細節(jié)的數(shù)量),以及質(zhì)性方面(這些細節(jié)組織得怎么樣),而SOLO分層法是評價學習者學習質(zhì)量的有效手段.根據(jù)學習者在解決學習任務(wù)時表現(xiàn)的不同,SOLO分層理論將學習成果劃分為五種水平:前結(jié)構(gòu)層次、單點結(jié)構(gòu)層次、多點結(jié)構(gòu)層次、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次、拓展抽象層次.本文擬從SOLO分層理論的視角,通過兩道例題(代數(shù)題、幾何題各一道)對學習者的回答進行分析,探究學習者對相關(guān)知識的理解水平,并對后期教學提出建議.

1 問題、典型回答及相應(yīng)的評價

1.1 問題1

現(xiàn)對學習者的回答進行收集、分析,并做了以下分類:

(1)多點結(jié)構(gòu)層次:

較多的學習者采用這種回答方法,學習者掌握了多個知識點,能使用完全平方公式(和的平方、差的平方)、分式的乘方運算及分式的混合運算法則進行計算,但由于計算量較大,對最終結(jié)果的完成帶來一定的困難.

(2)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次:

這類回答引入?yún)?shù)表示式子,并類比、對比了和的完全平方式和差的完全平方式,利用(m?n)2、(m+n)2、m2+n2、4mn四個代數(shù)式之間的關(guān)聯(lián).與多點結(jié)構(gòu)層次相比,這無疑是計算量、書寫量上的優(yōu)化.

(3)拓展抽象層次:

從結(jié)果入手,觀察要求值的式子:

根據(jù)公式法分解因式得,x2?y2=(x+y)(x?y).

對已知條件觀察:x,y式子間的特點,第一項均為第二項恰好相反.所以

此類回答在多點結(jié)構(gòu)層次的基礎(chǔ)上,更加注重對于已知條件和要求值的式子的雙重觀察.根據(jù)求值式子的結(jié)構(gòu)特征,利用平方差公式因式分解,看起來多行的一步,卻利用了已知條件的特殊性(進行加或減運算均可以消去式子的一部分),有效地達到了簡化計算的目的.

能完成拓撲抽象層次回答的學習者在思維上具有明顯的系統(tǒng)性優(yōu)勢,他們可以將相關(guān)知識關(guān)聯(lián)起來,在對于相關(guān)題型的舉一反三、變式練習中,均能充分突顯優(yōu)勢.

1.2 問題2

如圖1,在平面直角坐標系中放入一塊等腰直角三角板ABC,∠BAC=90°,AB=AC,C點的坐標為(2,6),點D在x軸的負半軸,并以AD為邊作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,連接EC交y軸于點M.求證:EM=CM.

圖1

圖2

圖3

現(xiàn)對學習者的回答進行收集、分析,并做了以下分類:

(1)前結(jié)構(gòu)層次:

由于本題有一定的難度,有一半的學習者沒有作答或是做錯了.

(2)單點結(jié)構(gòu)層次:

在本層次中,20%的學習者嘗試直接去求EM和MC的長度,但因沒有具體的計算數(shù)據(jù)而放棄解答;30%的學習者觀察到EM和MC恰好是△AME和△AMC的邊,但并沒有足夠的條件去證明△AME和△AMC全等;50%的學習者構(gòu)造了以EM和MC為邊長的三角形△EMF和△DMG(如圖2),尋找全等的條件時卻因找不到一組相等的對應(yīng)邊,而放棄解答.

本層次的學習者對于證明線段相等有一定的積累并做了相應(yīng)的嘗試:通過計算數(shù)量比較的方法;去尋找、構(gòu)造三角形全等并利用全等三角形的性質(zhì)(對應(yīng)邊相等)去解決.學習者不能完成解答的原因主要體現(xiàn)在:過于直觀的去研究要證明的結(jié)論、缺乏足夠計算能力的支持、不能很好利用題目中已有的條件.

(3)多點結(jié)構(gòu)層次:

如圖 2、圖 3,先證得△AOB≌△CGA,同理得到△AOD≌△EFA;因為C點的坐標為(2,6),得A點的坐標為(0,2),B點的坐標為(4,0);設(shè)OD=t,易得點E坐標(?2,2+t);根據(jù)C、E兩點求直線CE解析式,進而得直線CE與y軸交點M坐標為得點

因為

確定點M為線段EC中點.

對比單點結(jié)構(gòu)層次,本層次的學習者對于三角形全等的判定方法、直線解析式的求法、兩直線交點坐標的求法和中點坐標公式掌握較好,并能利用線段中點坐標與端點坐標之間關(guān)系最終得到結(jié)論.此種回答的不足之處一是計算量較大,對學習者的計算能力的要求較高;二是學習者證明了兩次全等卻沒法將全等的結(jié)論進行有效的關(guān)聯(lián).

圖4

圖5

圖6

(4)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次:

如圖 4,圖 5,先證△AOB≌△CGA,得CG=AO;同理得到△AOD≌△EFA,得EF=AO;等量替換得CG=EF;再證明△EMF≌△CMG,得EM=CM.由于證明了三次三角形全等,過程較為繁瑣,學習者提出還可以使用面積法,將證明三角形全等的次數(shù)減少一次,方法如下:

因為CG=EF,根據(jù)同底等高的三角形面積相等,即MA·EF=MA·CG,得到S△AMC=S△AME;而△EMA和△CMA同時看成同高的兩個三角形,即EM·AH=CM·AH,面積相等的兩個三角形因為共高所以底相等,即EM=CM.

這個層次的回答能有效地解決這個問題,學習者對三角形全等證明中的常見模型——“兩山對峙形”和“漏斗形”有深刻的認識,并能很好的利用題目中現(xiàn)有的條件去處理圖形之間的聯(lián)系,答題中體現(xiàn)了數(shù)學等量替換和轉(zhuǎn)換思想.學習者在完成答題之余,還能去思考優(yōu)化計算量、簡化答題過程的方法,這是學習者思維具備一定發(fā)散性的體現(xiàn).

(5)拓展抽象層次:

如圖6,在線段OB上截取BN=AM,連接AN.先證△MAC≌△NBA,由全等的性質(zhì)得

根據(jù)同角的補角相等,得到∠DNA= ∠AME;再證得△EAM≌△ADN,由全等的性質(zhì)得AN=EM;等量替換得到EM=CM.

本層次的學習者能發(fā)掘本題的一些隱藏條件——頂點落在坐標軸上的等腰直角三角形:1.邊相等:AC=AB,AE=AD;2.同角的余角相等:

對輔助線的添加有兩點妙處,一是完美地利用好了上述兩點隱藏條件,將CM轉(zhuǎn)移到AN處;二是由全等的性質(zhì)和等角的補角相等,為構(gòu)造下一組三角形全等創(chuàng)造了必要條件.

此外,學習者還能在證明過程發(fā)現(xiàn)BD和AM的數(shù)量關(guān)系:BD=2AM.對比關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次,此層次的學習者的思維反應(yīng)呈現(xiàn)出較高的一致性、整體性和抽象性.

2 啟示及建議

2.1 啟示

通過對上述兩道例題的分析,可以體現(xiàn)SOLO分層法對學習者的數(shù)學學習狀況能進行有效評價和診斷.研究表明,學習者的思維水平由單點結(jié)構(gòu)發(fā)展到多點結(jié)構(gòu)只是一個知識存儲與提取量的變化,屬于量的積累.教師可以通過多種方式的對學習者進行適當?shù)囊龑?dǎo)(比如口頭抽查、書面抽測、同類型題目的反復(fù)加強練習),使學習者盡可能多的接受或回憶起相關(guān)數(shù)學概念,促使思維水平達到多點結(jié)構(gòu),為后續(xù)教學做鋪墊.要想使思維水平由多點結(jié)構(gòu)發(fā)展到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu),學習者要經(jīng)歷思維由簡單機械記憶到對提取的知識進行思維整合的過程.在這個過程中,教師要想方法幫助學習者找到不同知識點的關(guān)聯(lián)點,加強學習者學習者抽象與概括能力的訓練,訓練學習者分析問題的全面性和推理的嚴密性,教給學習者探究的手段,引導(dǎo)學習者總結(jié)分析數(shù)學問題的思維方法.

2.2 幾個問題

(1)由于SOLO分層法評價的五個結(jié)構(gòu)水平主要是一種質(zhì)的描述,在教學實際中如何識別不同的學習結(jié)構(gòu)水平,是教師遇到的最大難題,特別對于一些沒有經(jīng)驗的教師來說,要用SOLO分層法對學習者的回答進行判斷是有一些難度的.

(2)著名心理學教授比格斯(Biggs)所做的研究表明,那些喜歡熟記事實細節(jié)并使用機械學習策略的學生在傳統(tǒng)的測試中獲得了高分,但他們卻同時獲得了很低的SOLO等級.在我們目前的應(yīng)試教育的環(huán)境下,如何去科學地設(shè)計一份試題,既能很好評價學習者的思維能力,又能肯定學習者的個人努力、勤奮?SOLO分層法在開放性問題中能非常有效地評價我們學習者的思維水平,但如何根據(jù)本學科特點將評價結(jié)果應(yīng)用于實踐?

2.3 對今后教學的改進建議

在通過SOLO分層法對學習者進行評價后,教育者應(yīng)根據(jù)評價結(jié)果去確定教學目標,調(diào)整教學進度,同時對學習者的進行學習任務(wù)的分層布置,以便更加合理有效地安排教學.例如:若學習者的平均水平處在多點結(jié)構(gòu),那么在以后的教學中要加強知識點之間的聯(lián)系,指引學習者向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平邁進.同時,通過此類劃分,學習者可以發(fā)現(xiàn)自己當前的學習狀態(tài),明確學習的正確方向.

3 結(jié)束語

本文從分析兩道數(shù)學題出發(fā),應(yīng)用SOLO分層理論對初中數(shù)學中學習者的學習狀況、思維水平進行了有效的評價,評價的結(jié)果對教育者教育方案的實施、學習者學習目標的確定、學習方式的調(diào)整、學習狀態(tài)的改善均有較強的指引作用.值得注意的是,與任何教育目標分類理論一樣,SOLO分層法也不是萬能的,如在某些強調(diào)基本概念與基本技能學習的領(lǐng)域里,它的作用就難以充分發(fā)揮.

*本論文是廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃2013年度研究一般項目(批準號2013YQJK246)課題成果之一