改進(jìn)變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)預(yù)失真算法研究*

汪琳娜，劉 玲，楊 新

(1.四川工商學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，四川 成都 611745； 2.四川工商學(xué)院 云計(jì)算與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611745)

改進(jìn)變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)預(yù)失真算法研究*

汪琳娜1，劉 玲1，楊 新2

(1.四川工商學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，四川 成都 611745； 2.四川工商學(xué)院 云計(jì)算與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611745)

在數(shù)字預(yù)失真過(guò)程中，針對(duì)傳統(tǒng)的最小均方差(LMS)自適應(yīng)算法收斂速度較慢和穩(wěn)態(tài)誤差較大的缺點(diǎn)，通過(guò)分析各種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，提出了一種組合曲線的歸一化變步長(zhǎng)LMS數(shù)字預(yù)失真算法。仿真結(jié)果表明，新算法在保證預(yù)失真效果的前提下，算法性能得到極大提升。

預(yù)失真；最小均方差；變步長(zhǎng)；歸一化

0 引言

面對(duì)移動(dòng)用戶數(shù)量和帶寬需求的快速增長(zhǎng)，當(dāng)采用如最小頻移鍵控(Minimum Shift Keying，MSK)、正交振幅調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)、正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)等非恒定包絡(luò)的幅度調(diào)制方式提高頻譜利用率時(shí)，功率放大器(Power Amplifiers, PAs)成為無(wú)線通信系統(tǒng)中不可或缺的關(guān)鍵部件，但是其飽和工作帶來(lái)的非線性(Nonlinearities)失真和記憶效應(yīng)(Memory effects)使功率放大器的行為建模變得異常困難。數(shù)字預(yù)失真技術(shù)(Digital Pre-Distortion, DPD)是構(gòu)造一個(gè)與功率放大器行為模型相反的預(yù)失真器，通過(guò)預(yù)失真器對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)失真，使得系統(tǒng)在不失真的情況下實(shí)現(xiàn)線性放大。如何針對(duì)記憶非線性對(duì)功率放大器進(jìn)行精確建模以及數(shù)字預(yù)失真線性化成為當(dāng)前移動(dòng)通信研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)方向之一?；谝獯罄麛?shù)學(xué)家VOLTERRA V于1887年提出的Volterra 級(jí)數(shù)，先后出現(xiàn)了一系列記憶功率放大器模型，如Wiener模型[1]、Hammerstein模型[2]、并行Wiener模型[3]、并行Hammerstein模型[4]、Wiener-Hammerstein模型[5]、MP(Memory Polynomial)模型[6]、GMP(Generalized Memory Polynomial )[7]模型、DDR- Volterra (Dynamic Deviation Reduction-based Volterra)[8]模型等，但這些模型在參數(shù)辨識(shí)方面存在諸多困難。

在基于Voltera級(jí)數(shù)的數(shù)字預(yù)失真行為模型中，目前常用的參數(shù)辨識(shí)方法有自適應(yīng)算法包括最小均方(Least Mean Square，LMS)算法、遞歸最小二乘算法(Recursive Least Square Method，RLS)、離散牛頓法(Discrete Newton Method)等。為了更有效地描述帶有記憶的非線性系統(tǒng)特性，必須保留較多的模型參數(shù)，造成參數(shù)實(shí)時(shí)辨識(shí)的難度。因此為降低參數(shù)實(shí)時(shí)辨識(shí)的難度，一方面可以通過(guò)簡(jiǎn)化模型減少辨識(shí)參數(shù)數(shù)量，另一方面可以對(duì)自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)算法進(jìn)行改進(jìn)?；诰S納濾波理論的LMS算法雖然其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度低，但是其收斂速度較慢，嚴(yán)重影響了參數(shù)辨識(shí)的效率。目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)提出了很多基于改進(jìn)LMS的自適應(yīng)算法，如改變LMS步長(zhǎng)算法、改變LMS階數(shù)、稀疏LMS算法、帶泄露因子的LMS算法、變換域LMS算法、放射投影LMS算法等[6-7,9-11]。本文主要基于變步長(zhǎng)的思想提出了一種新的LMS自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)算法，仿真結(jié)果表明，在保證預(yù)失真精度的情況下，基于MP模型采用改進(jìn)的LMS算法使收斂速度得到明顯提升。

1 基于Volterra級(jí)數(shù)的MP模型

Volterra級(jí)數(shù)模型是一種重要的有記憶非線性系統(tǒng)模型，其離散P階截短Volterra級(jí)數(shù)模型為[12]：

(1)

其中x(n)和y(n)表示系統(tǒng)輸入和輸出信號(hào)的復(fù)包絡(luò)，P為非線性階數(shù),M為記憶深度,hp(k1,…,kp)為P階Volterra核函數(shù)。把Volterra級(jí)數(shù)中模型參數(shù)看作是由P維空間的延遲k1,k2，…，kp形成的P維超幾何體上的點(diǎn)，當(dāng)延時(shí)k1=k2=…=kp時(shí)，hn(k1,…，kn)≠0，即去掉Volterra級(jí)數(shù)中不同延時(shí)的交叉項(xiàng)，只保留對(duì)角核，而且由于偶階項(xiàng)產(chǎn)生的直流分量和諧波分量都落在通帶以外，因此只保留奇階項(xiàng)，Volterra級(jí)數(shù)模型簡(jiǎn)化為MP模型[6]，其表示為：

(2)

其中K和M分別為MP模型的階數(shù)和記憶深度，akm為MP模型的復(fù)系數(shù)，|x(n-m)|表示輸入復(fù)信號(hào)x(n-m)的模。

2 自適應(yīng)預(yù)失真結(jié)構(gòu)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)包括直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。由于直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)需要提前獲得功率放大器的模型參數(shù)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜且計(jì)算量大，很多優(yōu)化辨識(shí)參數(shù)的算法難以直接應(yīng)用，因此本文主要采用間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu),如圖1所示。

圖1 數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

在MPM模型中，前置數(shù)字預(yù)失真器的輸入x(n)與輸出z(n)的行為模型可以表示為：

(3)

其中ωkm是前置預(yù)失真器的待辨識(shí)參數(shù)。

(4)

為簡(jiǎn)化表達(dá)，式(4)可以表示為矩陣形式：

(5)

其中后置預(yù)失真器辨識(shí)參數(shù)矩陣可表示為：

Ω(n)=[ω10,ω30,…,ωK0,…,ω1M,ω3M,…ωKM]T

(6)

后置預(yù)失真器輸入矩陣可表示為：

(7)

3 參數(shù)辨識(shí)-改進(jìn)LMS算法

自1959年WIDROW B等人提出LMS算法[13]以來(lái)，因?yàn)槠渚哂杏?jì)算復(fù)雜度低、性能穩(wěn)定、硬件易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各種自適應(yīng)算法中。LMS算法主要是基于隨機(jī)梯度下降來(lái)實(shí)現(xiàn)代價(jià)函數(shù)最小化，傳統(tǒng)的LMS算法主要包括三個(gè)步驟：

(1)濾波輸出對(duì)輸入的響應(yīng)：

y(n)=ωT(n)x(n)

(8)

(2)比較輸出和期望產(chǎn)生誤差信號(hào)：

e(n)=d(n)-y(n)

(9)

(3)根據(jù)優(yōu)化算法迭代產(chǎn)生辨識(shí)參數(shù)：

ω(n+1)=ω(n)-μ(n)e(n)x(n)

(10)

其中μ(n)表示迭代步長(zhǎng)，參數(shù)μ(n)的選擇關(guān)系到算法的收斂性，當(dāng)μ(n)較大時(shí)會(huì)加快收斂速度，但穩(wěn)態(tài)誤差大；當(dāng)μ(n)較小時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差小，但是收斂速度慢。收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差在LMS算法中是一對(duì)矛盾體，因此μ(n)收斂步長(zhǎng)的合理選擇成為關(guān)鍵問(wèn)題。目前人們提出了很多基于變化步長(zhǎng)的改進(jìn)LMS算法[14-16]，一種是建立誤差信號(hào)與步長(zhǎng)之間的非線性函數(shù)關(guān)系，另一種是利用自適應(yīng)過(guò)程中的梯度信號(hào)，以此來(lái)同時(shí)獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，其主要思想是根據(jù)不同時(shí)間對(duì)收斂速度的需求來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整步長(zhǎng)大小，即在算法收斂階段采用較大的步長(zhǎng)提高收斂速度，而在算法收斂后采用較小的步長(zhǎng)來(lái)減小穩(wěn)態(tài)誤差。

在MP模型中，誤差函數(shù)可以表示為：

(11)

根據(jù)經(jīng)典的LMS算法，損失函數(shù)可以表示為：

(12)

又因?yàn)閾p失函數(shù)的梯度可以表示為：

(13)

則預(yù)失真器待辨識(shí)參數(shù)的迭代公式可以表示為：

(14)

即

(15)

因?yàn)楫?dāng)輸入大能量信號(hào)時(shí)，失真也會(huì)增大，因此可以通過(guò)歸一化LMS來(lái)解決梯度噪聲放大問(wèn)題，提高收斂速度。歸一化LMS算法可以表示為：

(16)

覃景繁等人[17]提出了一種基于Sigmoid函數(shù)變步長(zhǎng)最小均方算法(Sigmoid Variable Step Least Mean Square, SVSLMS)，其變步長(zhǎng)因子函數(shù)為:

(17)

式中:c值控制步長(zhǎng)曲線的上升速度，而β值控制補(bǔ)償曲線的最大高度。在誤差e(n)較大的初始階段該步長(zhǎng)因子較大，收斂速度較快；當(dāng)進(jìn)入誤差e(n)較小的穩(wěn)態(tài)階段后，步長(zhǎng)值變小，而穩(wěn)態(tài)誤差也較小。但是當(dāng)算法進(jìn)入收斂階段后，步長(zhǎng)變化越來(lái)越劇烈，對(duì)算法性能產(chǎn)生振蕩影響。

在文獻(xiàn)[9]中提出了一種新的變步長(zhǎng)因子:

μ(n)=υ·erf(1-e-α|e(n)|)

(18)

該變步長(zhǎng)因子運(yùn)用高斯誤差函數(shù)建立基于輸入函數(shù)和瞬時(shí)誤差的變步長(zhǎng)函數(shù)，相對(duì)傳統(tǒng)的LMS、NLMS(Normalized LMS)和GNGD(Generalized Normalized Gradient Descent)算法[18]，基于高斯誤差函數(shù)的MLMS算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差均得到提升，且在算法收斂后步長(zhǎng)變化較為平穩(wěn)。 但該算法過(guò)度依賴瞬時(shí)誤差，對(duì)算法整體誤差變化考慮不夠，而且在算法收斂初始階段，步長(zhǎng)并不能達(dá)到最大控制因子υ的值，因此算法有待進(jìn)一步改進(jìn)。

以上兩種基于歸一化LMS算法的變步長(zhǎng)因子各有優(yōu)勢(shì)，且均與反饋誤差有關(guān)，當(dāng)誤差較大時(shí)，采用較大的步長(zhǎng)來(lái)加快收斂速度，當(dāng)誤差較小時(shí)采用較小的步長(zhǎng)來(lái)降低穩(wěn)態(tài)誤差，提升算法性能。

假設(shè)SVSLMS算法中參數(shù)β=2,c=1，MLMS算法中υ=1,α=1，得到兩種算法步長(zhǎng)變化對(duì)比曲線如圖2所示。

圖2 SVSLMS算法與MLMS算法步長(zhǎng)曲線對(duì)比

由圖2可以看出，兩條曲線均滿足變步長(zhǎng)LMS算法的要求，但各有優(yōu)勢(shì)，在誤差較大時(shí)，SVSLMS算法具有更大變化的步長(zhǎng)，在誤差變小算法進(jìn)入收斂后，MLMS算法步長(zhǎng)減小更加平穩(wěn)，因此綜合考慮兩種變步長(zhǎng)算法的特點(diǎn)，在前面建立的功率放大器預(yù)失真模型的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS預(yù)失真自適應(yīng)算法，在誤差較大時(shí)，選擇SVSLMS算法得到較快的收斂速度，而在算法收斂趨于穩(wěn)定后，選用下降較為平穩(wěn)的MLMS算法。改進(jìn)的SVS-MLMS算法步長(zhǎng)因子為：

(19)

其中β,c,υ,α為步長(zhǎng)控制因子，分別控制曲線的最大步長(zhǎng)和變化率，e0為步長(zhǎng)函數(shù)轉(zhuǎn)換因子，可以選取兩條曲線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的誤差值為參考值進(jìn)行調(diào)整。

改進(jìn)的SVS-MLMS算法是一個(gè)由四個(gè)參數(shù)控制的非線性函數(shù)，其曲線如圖3所示，在圖3中通過(guò)改變四個(gè)參數(shù)的取值可以得到不同性能的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)算法。綜上所述，本文提出了一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)功率放大器預(yù)失真算法，具體如下：

(20)

式中：β,c,υ,α為步長(zhǎng)函數(shù)μ(x)的控制調(diào)整參數(shù)。

圖3 控制參數(shù)變化下的改進(jìn)SVS-MLMS算法步長(zhǎng)曲線

4 仿真驗(yàn)證及分析

在間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)下，采用前文基于Volterra級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化的MP模型為功放預(yù)失真模型，采用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)來(lái)驗(yàn)證模型準(zhǔn)確度，NMSE表達(dá)式如下：

(21)

為了驗(yàn)證改進(jìn)的SVS-MLMS算法在自適應(yīng)預(yù)失真器中收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)勢(shì)，下面采用APSK調(diào)制，發(fā)送濾波器和匹配濾波器的過(guò)采樣因子為6，滾降系數(shù)為0.5，預(yù)失真階數(shù)為4，記憶深度8，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，通過(guò)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)蒙特卡羅平均得到歸一化均方誤差NMSE曲線。SVS-MLMS算法中參數(shù)取值分別為：β=1,c=1,υ=1,α=1。比較改進(jìn)的SVS-MLMS算法與傳統(tǒng)LMS、SVSLM算法和MLMS算法在歸一化均方誤差NMSE方面的差異，如圖4所示，可以看出，經(jīng)過(guò)3 000次迭代后LMS算法收斂到-26 dB，SVSLMS算法收斂到-37 dB，而MLMS算法和改進(jìn)的SVS-MLMS算法要更加優(yōu)于前面兩個(gè)算法，分別收斂到-50 dB和-53 dB。因此對(duì)比結(jié)果表明，改進(jìn)的SVS-MLMS算法具有更快的收斂速度和更小的歸一化均方誤差。

圖4 改進(jìn)算法與其他算法間NMSE對(duì)比

5 結(jié)論

在功率放大器數(shù)字預(yù)失真中，分析現(xiàn)有的各種變步長(zhǎng)LMS算法的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，提出了一種改進(jìn)的SVS-MLMS預(yù)失真自適應(yīng)算法。該算法通過(guò)組合SVSLMS算法和MLMS算法得到一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)非線性函數(shù)。通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，無(wú)論從收斂速度和歸一化均方誤差，改進(jìn)的SVS-MLMS算法都要優(yōu)于LMS算法、SVSLMS算法和MLMS算法，在收斂初期采用SVSLMS算法得到變化更大的步長(zhǎng)，可以加快收斂速度，在算法收斂后采用MLMS算法得到更加平穩(wěn)的步長(zhǎng)變化函數(shù)，使得穩(wěn)態(tài)誤差較小，從而在數(shù)字預(yù)失真過(guò)程兼顧自適應(yīng)算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，具有良好的算法性能。

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Research on LMS adaptive algorithm for digital pre-distortion based on improving variable step size

Wang Linna1, Liu Ling1, Yang Xin2

(1. School of Electronical and Information Engineering, Sichuan Technology and Business University, Chengdu 611745, China;2. The Key Lab of Cloud Computing and Intelligent Information Processing, Sichuan Technology and Business University, Chengdu 611745, China)

In the process of digital pre-distortion, to deal with the shortcoming of the slower convergence speed and larger steady-state error in typical LMS adaptive algorithm，by analyzing the strengths and weaknesses of various improved Least Mean Square (LMS) algorithms, a normalized variable step-size LMS digital pre-distortion algorithm with combination of curve is proposed. The simulation results show that the proposed algorithm can improve performance extremely and ensure the accuracy of pre-distortion.

pre-distortion; Least Mean Square (LMS); variable step-size; normalization

TN722.7

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.20.023

汪琳娜，劉玲，楊新.改進(jìn)變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)預(yù)失真算法研究[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36(20)：80-83,91.

四川省教育廳科研項(xiàng)目(15ZB0458)； 四川工商學(xué)院科研項(xiàng)目(2016ZYB17X)

2017-03-30)

汪琳娜(1986-)，女，碩士研究生，講師，主要研究方向：非線性信號(hào)處理和三支決策等。

劉玲(1978-)，女，碩士研究生，講師，主要研究方向：電力電子與電力傳動(dòng)等。

楊新(1981-)，通信作者，男，碩士研究生，副教授，主要研究方向：數(shù)據(jù)挖掘，粗糙集及三支決策。E-mail:yangxin2041@163.com。