從一道課本例題“證明+<2”說起

丁勝鋒

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527300)

丁勝鋒

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527300)

這是一道比較簡單的不等式的證明，教材的意圖是想通過這道題目來說明直接證明不容易，根據(jù)不等式的特點，尋求成立的充分條件，從而讓學(xué)生掌握分析法證明的基本思想和操作方法.我們很多老師在實際教學(xué)中也就是按照課本上的方式處理問題，然而，學(xué)生或多或少會產(chǎn)生疑問，這道題除了分析方法外，難道就沒有其它的方法？筆者從函數(shù)的觀點來證明不等式問題.

圖1

我們?nèi)1=3,x2=7，也得到不等式的證明.

例若a,b∈R,且e

根據(jù)上述結(jié)論，我們可得到如下結(jié)論：

上述結(jié)論都是通過構(gòu)造函數(shù)來解決不等式的問題，但如何恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，這需要根據(jù)題目本身的結(jié)構(gòu)來構(gòu)造，有時候我只需根據(jù)題目的原型結(jié)構(gòu)來構(gòu)造，有時候需要適當(dāng)?shù)淖冃?，但具體選擇那種方式來構(gòu)造，這需要根據(jù)題目本身來決定.下面我們通過一個例子來多角度的說明怎樣構(gòu)造函數(shù).

(1)求a,b值；(2)證明：f(x)>1.

試題分析：試題(1)問不難，主要是考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在一點處的切線方程，只要學(xué)生對切線概念充分理解并能準(zhǔn)確求導(dǎo)，即可解決第(1)問.但第(2)問中函數(shù)不等式對大多數(shù)學(xué)生設(shè)置了門檻，這個門檻主要是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點不好求，因此需要對函數(shù)不等式做適當(dāng)?shù)淖冃魏笤贅?gòu)造函數(shù)來處理.

e-lnx≥e(-lnx)③,當(dāng)且僅當(dāng)-lnx=1時等號成立.

(1)若g(x)與f(x)在同一點處有相同的極值，求實數(shù)a的值;

(2)若對一切x∈(0,+∞)，有不等式f(x)≥2xg(x)-x2+5x-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

因此關(guān)于不等式還是函數(shù)不等式的證明，我們可以通過題目本身的結(jié)構(gòu)特點來構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)性質(zhì)來加以證明.為我們提供了解決不等式的一個有力工具.但我們在構(gòu)造函數(shù)時，又會出現(xiàn)構(gòu)造的函數(shù)“好”“壞”直接影響解題成敗，一般來說，應(yīng)盡可能的構(gòu)造較為簡捷且很容易求出導(dǎo)函數(shù)零點的函數(shù)，要做到這一點，需要我們熟悉初等函數(shù)之間的組合.

[1]吳振奎.中學(xué)數(shù)學(xué)證明方法[M].遼寧人民出版社，1985.

[2]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，2010.

[3]王健.一道課本例題的多視角探究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016，8.