“簡(jiǎn)潔、初等、本源”2016浙江(理)高考數(shù)學(xué)試題印象

潘建偉 虞關(guān)壽

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

“簡(jiǎn)潔、初等、本源”2016浙江(理)高考數(shù)學(xué)試題印象

潘建偉 虞關(guān)壽

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

2015年與2016年這兩年浙江數(shù)學(xué)高考有點(diǎn)特殊，這兩年的數(shù)學(xué)高考的考查內(nèi)容與形式與以往和以后數(shù)學(xué)高考在內(nèi)容與形式上有所不同，這使得這兩年的高考試題尤為令人關(guān)注，高考之前撲朔迷離，總有許多的猜測(cè)，高考之后甜酸苦辣總有許多感慨.筆者閱讀了這份試卷，并認(rèn)真演算了一番，感覺(jué)到這份試卷與以往的高考試題在考查知識(shí)能力，及方法上符合考綱要求，承延了以往高考試題的風(fēng)格與特點(diǎn)，但這份試卷又有自已獨(dú)特的個(gè)性，給筆者印象頗深的是六個(gè)字：簡(jiǎn)潔、初等、本源.下面具體展開(kāi)，與同行商討，一家之言，謹(jǐn)請(qǐng)批評(píng)指正.

一、簡(jiǎn)潔

浙江數(shù)學(xué)高考卷與其它省市的高考試卷相比，從外觀上一個(gè)顯著的特征是“簡(jiǎn)潔”.試題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔，題干語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，不過(guò)多浪費(fèi)考生的閱讀時(shí)間.今年的高考試題不但試題外觀簡(jiǎn)潔，題干語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，更值得推崇的是考題中呈現(xiàn)的所有圖形簡(jiǎn)潔明了，這是區(qū)別于以往考題的明顯特點(diǎn)，不論是立體幾何的圖形，還是解析幾何的圖形，呈現(xiàn)給考生的是一目了然，清晰意會(huì)的圖形，圖形中線(xiàn)條較少，且都是涉及圖形面上、形上的問(wèn)題.

A.m>n且e1e2>1

B.m>n且e1e2<1

C.m1

D.m

例2 (第14題)如圖1，在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線(xiàn)段AC上的點(diǎn)D，滿(mǎn)足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________.

圖1

解析：本題考查空間幾何體及其體積的求法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.本題所給的圖形清楚簡(jiǎn)單樸素.

由AB=BC=2,∠ABC=120°，可得AC=

例3 (第16題)在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.

(1)證明：A=2B；

解析：把三角恒等變換與解三角形結(jié)合起來(lái)是近幾年高考考查的主要形式與內(nèi)容，但考查核心依舊是三角恒等變換、正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及三角形面積公式.該題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔，題意清楚明了.在解決此題時(shí)易抓住問(wèn)題的本質(zhì)，能選好公式快速解決.

(1)∵b+c=2acosB，由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB，故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π)，故0

圖2

例4 (第17題)如圖2，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(1)求證：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

解析：本題圖形簡(jiǎn)單，所給的條件與所要求的結(jié)論都在面上，所要添加的輔助線(xiàn)也不多.本題主要考查線(xiàn)面垂直的證明、二面角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

圖3

(1)延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K，如圖3所示.∵平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC=BC，且AC⊥BC，∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC，又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2，∴ΔBCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK，又∵AC∩CK=C，∴BF⊥平面ACFD；

注：第(2)題也可用空間直角坐標(biāo)向量解決.

二、初等

在高考之前，我們所進(jìn)行的專(zhuān)題復(fù)習(xí)中，可能會(huì)熱衷于搞好一些與高等數(shù)學(xué)相關(guān)聯(lián)或以高等數(shù)學(xué)為背景的題，我們?cè)诟鞣N高考模擬考題中總能看到這類(lèi)題，但從今年的高考試題一掃這類(lèi)題目，反而增多了背景“初等”的題目，比如考幾何多以三角形的背景的圖形、考函數(shù)多以二次函數(shù)為背景、考數(shù)列多以等差等比數(shù)列為背景等.難怪，2016年高考之后，許多老師感慨這一年高三復(fù)習(xí)又白復(fù)習(xí)了，復(fù)習(xí)方向走偏了，這值得我們來(lái)年高三復(fù)習(xí)深思.下面例舉幾題并作適當(dāng)?shù)脑u(píng)說(shuō).

解析：本題主要考查了不等式組表示的平面區(qū)域、兩點(diǎn)間的距離公式、投影等基本知識(shí)，通過(guò)這些初等知識(shí)的考查，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

圖4

作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖4中的ΔCDE，過(guò)C、D分別作直線(xiàn)x+y-2=0的垂線(xiàn)，垂足分別為A、B，則四邊形ABDC為矩形，又C(2,-2),D(-1,1)，

∴|AB|=|CD|=

例6 (第6題)如圖5，點(diǎn)列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2,n∈N*；|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合).若dn=

|AnBn|，Sn為ΔAnBnBn+1的面積，則( ).

A．{Sn}是等差數(shù)列B.{S2n}是等差數(shù)列

C.{dn}是等差數(shù)列D.{d2n}是等差數(shù)列

圖5

解析：本題考查等差數(shù)列的概念、平行線(xiàn)的性質(zhì)等初等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)的能力.

|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|為定值，所以{Sn}是等差數(shù)列.故選A.

例7 (第13題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*，則a1=________,S5=___________.

解析：本題主要考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式，通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的基本運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力.

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).

解析：本題涉及二次函數(shù)、二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值等基本性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生的推理論證、分析問(wèn)題等基本能力.處理函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論是最常用和最基本的思想方法，準(zhǔn)確地畫(huà)出圖像可以規(guī)避許多冗長(zhǎng)的計(jì)算，所以從最基本的方法著手，可直至問(wèn)題的核心.最值函數(shù)是浙江省高考的特色，利用max函數(shù)、min函數(shù)可讓分類(lèi)討論更簡(jiǎn)捷.

(1)由于a≥3，故當(dāng)x≤1時(shí)，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).∴使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a].

(2)①設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2，則f(x)min=f(1)=0，g(x)min=g(a)=-a2+4a-2，∴由F(x)的定義知m(a)=

min{f(1),g(a)}，即

②當(dāng)0≤x≤2時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2)；當(dāng)2≤x≤6時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=

max{F(2),F(6)}.

三、本源

2016年的浙江高考試題給我們有這樣的一個(gè)共同感受：運(yùn)算量明顯減少，思維量增大，好多題不是靠“算”能夠解決的，感覺(jué)到“有力使不進(jìn)去”，考查數(shù)學(xué)概念化的東西明顯增多，試卷的“數(shù)學(xué)味”增濃了.可能這也是我們高三復(fù)習(xí)所要重視的問(wèn)題，我們應(yīng)更加關(guān)注數(shù)學(xué)本源的東西，讓學(xué)生明白所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容“源頭”是什么，為什么要學(xué)，學(xué)了又有何用.比如說(shuō)什么是函數(shù)？函數(shù)的本質(zhì)是什么？學(xué)習(xí)數(shù)列，我們到底要培養(yǎng)哪種素能？又比如說(shuō)，碰到絕對(duì)值問(wèn)題，我們第一反應(yīng)是如何脫絕對(duì)值符號(hào)，那如何去脫呢等.

例9 (第5題)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c，則f(x)的最小正周期( ).

A.與b有關(guān)，且與c有關(guān)

B.與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān)

C.與b無(wú)關(guān)，且與c無(wú)關(guān)

D.與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān)

解析：本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的最小正周期等基礎(chǔ)知識(shí)，其本質(zhì)上主要考查了形如“y=Acos(ωx+φ)+B”的周期公式.

例10 (第8題)已知實(shí)數(shù)a,b,c.

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

解析：本題給學(xué)生的感覺(jué)是選擇題的壓軸題很難，從正面去化解絕對(duì)值符號(hào)，的確較難，但該題的考查本意是看考生能不能找到適合的“反例”去破解問(wèn)題，這是該題本源的東西.

取a=10,b=10,c=-110，可排除選項(xiàng)A；取a=10,b=-100,c=0，可排除選項(xiàng)B；取a=10,b=-10,c=0，可排除選項(xiàng)C.故選D.

圖6

(1)求直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)(用a,k表示)；

(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

解析：解析幾何重點(diǎn)考查圓錐曲線(xiàn)的方程、幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系以及與圓結(jié)合的綜合問(wèn)題等.本題就考查了這個(gè)本源的內(nèi)容，第(1)問(wèn)只要聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求得；第(2)問(wèn)先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，利用|AP|=|AQ|，求得a的取值范圍，進(jìn)而得到滿(mǎn)足題目要求的a的取值范圍，從而求得離心率的取值范圍.

(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)Ρ，Q，滿(mǎn)足|ΑΡ|=|ΑQ|．記直線(xiàn)ΑΡ，ΑQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

例13 (第20題)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足|an-

(1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*；

∴|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*.

綜上，對(duì)于任意n∈Ν*，均有|an|≤2,n∈N*.