進(jìn)階變式最值教學(xué)設(shè)計(jì)漫談

周培培

(江蘇省泰州中學(xué)，江蘇 泰州 225300)

進(jìn)階變式最值教學(xué)設(shè)計(jì)漫談

周培培

(江蘇省泰州中學(xué)，江蘇 泰州 225300)

變式教學(xué)是復(fù)習(xí)教學(xué)的主導(dǎo)方式，進(jìn)階式變式教學(xué)旨在提升教學(xué)的層次性，讓學(xué)生學(xué)習(xí)呈現(xiàn)螺旋式上升的一種過(guò)程，也為教師教學(xué)設(shè)計(jì)能力的提升提供更多的探索.

變式教學(xué)；進(jìn)階式；數(shù)學(xué)；設(shè)計(jì)；最值；復(fù)習(xí)

在習(xí)得新概念知識(shí)之后，學(xué)生對(duì)新知識(shí)處于一個(gè)似懂非懂的階段，因此教師可以通過(guò)“進(jìn)階式”變式教學(xué)的設(shè)計(jì)、分析幫助學(xué)生從抽象的理論知識(shí)搭一條通向?qū)嵺`操作的棧道.“進(jìn)階式”變式教學(xué)能從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般、從單一知識(shí)到綜合知識(shí)，層層逼近、步步提高，做到穩(wěn)中前進(jìn)，穩(wěn)步發(fā)展地掌握知識(shí)和技能，提高知識(shí)的理解和運(yùn)用能力，使學(xué)生對(duì)顯性知識(shí)的掌握能一步一腳印，踏踏實(shí)實(shí).“進(jìn)階式”變式教學(xué)成為復(fù)習(xí)教學(xué)有效、高效的一種良好教學(xué)方式.筆者在復(fù)習(xí)教學(xué)中，以多種不同的，類型嘗試進(jìn)階式變式教學(xué)：

一、從淺入深型設(shè)計(jì)

“進(jìn)階式”變式教學(xué)的選擇要由淺入深、由易到難，由表及里，由淺、易、表的例題先使學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，在符合學(xué)生具體學(xué)情的情況下，再逐步提升難度，逐步加大坡度，讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)逐步提高解題能力，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的自信，勇于實(shí)踐探索的精神.由淺入深型是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中鞏固顯性知識(shí)的習(xí)得的最實(shí)際最有效的途徑之一.

例如，二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，所以在解決此類問(wèn)題的時(shí)候多數(shù)采用“低起點(diǎn)，小步快進(jìn)” 逐步提升難度，逐步加大坡度.

問(wèn)題1 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a在R上f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析顯然本題二次函數(shù)的恒成立屬于簡(jiǎn)單問(wèn)題，本質(zhì)是單元最值的求解.在實(shí)數(shù)集上恒成立可以從函數(shù)視角切入，以初中三個(gè)二次的基本關(guān)系不難判別問(wèn)題的基本解決思路.

進(jìn)階變式1 若x∈[-2,2]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析對(duì)于給出給定區(qū)間的二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，自然難度進(jìn)階了，從圖形結(jié)合的角度來(lái)看，以對(duì)稱軸分類的解決方案應(yīng)運(yùn)而生.其設(shè)計(jì)思路明顯將問(wèn)題1(初中數(shù)學(xué)問(wèn)題)——進(jìn)階變式1(高中分類角度).

進(jìn)階變式2 若x∈[-2,2]時(shí)，f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

分析進(jìn)階變式2，問(wèn)題本質(zhì)與變式1如出一轍，可以作為給學(xué)生提供同類型問(wèn)題訓(xùn)練的設(shè)計(jì)，教師在此的設(shè)計(jì)出于鞏固目的.

進(jìn)階變式3 函數(shù)f(x)=x2-2x-3在x∈[a,a+1]上大于等于0恒成立，求a的取值范圍.

分析教師在此處的設(shè)計(jì)顯然將問(wèn)題從“動(dòng)函數(shù)定區(qū)間”轉(zhuǎn)換為“定函數(shù)動(dòng)區(qū)間”型，顯然問(wèn)題的分類與變式1、2類似，但是問(wèn)題的變換還是體現(xiàn)了學(xué)生是否真正理解為什么需要引入分類的視角，對(duì)于“動(dòng)函數(shù)定區(qū)間”和“定函數(shù)動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題類型的掌握，體現(xiàn)了學(xué)生基本問(wèn)題的理解和運(yùn)用.

進(jìn)階變式4 若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求k的取值范圍.

分析很明顯，教師設(shè)計(jì)變式4的目的是加入了“換元思想”，其本質(zhì)依舊是變式2，通過(guò)轉(zhuǎn)換為t=cosx∈[-1,1]的二次函數(shù)模型進(jìn)行分類求解，學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的理解可以從思想的角度更進(jìn)一步.

進(jìn)階變式5 已知奇函數(shù)f(x)定義在R上，且在[0,+)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)，對(duì)所有θ∈[0,]都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

分析以抽象函數(shù)為背景的設(shè)計(jì)，將換元二次函數(shù)問(wèn)題包裝進(jìn)入抽象函數(shù)的載體之中，運(yùn)用知識(shí)整合的命題設(shè)計(jì)思路，將問(wèn)題層層疊加，達(dá)到進(jìn)階的目的.變式5體現(xiàn)了三個(gè)層次：其一是利用函數(shù)性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變式4形態(tài)；其二是換元思想下的二次函數(shù)模型的提煉；其三是問(wèn)題變式2的基本分類視角.可以說(shuō)教師精心的層層遞進(jìn)式的設(shè)計(jì)，旨在提高學(xué)生對(duì)二次函數(shù)恒成立問(wèn)題的知識(shí)理解和思想認(rèn)識(shí).

二、單一到綜合型設(shè)計(jì)

新概念課程中由于學(xué)生初次接觸新知識(shí)，對(duì)其還很陌生，例題的選取應(yīng)先從應(yīng)用概念、公式進(jìn)行判斷、辨析、計(jì)算等單一知識(shí)的實(shí)際操作，讓學(xué)生夯實(shí)了雙基之后，再嘗試進(jìn)行綜合題型的分析.綜合題主要涉及代數(shù)、幾何等相同學(xué)科的多方面內(nèi)容以及不同學(xué)科之間的相通內(nèi)容，所應(yīng)用的知識(shí)和技巧比較多，有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)的顯性知識(shí)融會(huì)貫通，起到能力提高的作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.例如

問(wèn)題2 已知實(shí)數(shù)x、y滿足(x+1)2+(y-3)2=4，求x+y的最大值和最小值.

分析以單一知識(shí)進(jìn)行了兩元最值問(wèn)題的求解，可以從三角換元的視角切入，也可以從幾何意義的截距視角分析，屬于單一知識(shí)型問(wèn)題.

進(jìn)階變式1 求ax+by(a,b為參數(shù))的最大值和最小值.

分析將問(wèn)題提升到參數(shù)級(jí)別，其解決方式大同小異.

進(jìn)階變式3 求(x+t)2+(y-2t)2(-2≤t≤1)的最大值和最小值.

分析從幾何意義的視角來(lái)得更為直觀，即圓上的點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題探討，參數(shù)的引入需要思考其意義何在？知識(shí)漸漸從熟知的截距和斜率向綜合型知識(shí)發(fā)散，涉及到距離探索.

進(jìn)階變式4 求(x-2cosα)2+(y-sinα)2(α為參數(shù))的最大值和最小值.

分析與變式3類似，但曲線從線段向圓轉(zhuǎn)變，其本質(zhì)研究量不同圓上雙動(dòng)點(diǎn)之間的距離最值，從單一知識(shí)繼續(xù)向綜合型能力拓展.

本問(wèn)題將最常見(jiàn)的求最值問(wèn)題整合到一個(gè)題根下，匯集了借助于非線性的規(guī)劃問(wèn)題；分式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線的斜率問(wèn)題；動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離的最值等價(jià)到圓心到線段的距離加減半徑，最后歸結(jié)為線段與圓上兩動(dòng)點(diǎn)見(jiàn)距離的最值；圓與橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)間的距離的最值.

限于篇幅，筆者就單元最值和兩元最值作出了進(jìn)階式變式教學(xué)的思考，旨在思考如何通過(guò)教師的合理設(shè)計(jì)讓學(xué)生層層遞進(jìn)的理解最值的求解，如何靈活的將知識(shí)進(jìn)行整合思考，是復(fù)習(xí)教學(xué)有效、高效的嘗試.

[1]李渺.如何在數(shù)學(xué)課堂叫徐中促進(jìn)學(xué)生的思維建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2012(3).

[2]何聰.一個(gè)例題開(kāi)放式探索課的設(shè)計(jì)與反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2014(4).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

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1008-0333(2017)24-0013-02

2017-06-01

周培培(1982.06-)，女，江蘇泰州人，本科，中學(xué)一級(jí),主要從事學(xué)校教學(xué)工作.