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    問題引導 關(guān)聯(lián)思考 明晰本質(zhì)
    ——例說初中數(shù)學微探究的實踐與思考

    2017-11-01 17:25:24朱建良
    中學數(shù)學研究(江西) 2017年10期
    關(guān)鍵詞:圓周角四邊形變式

    朱建良

    江蘇省太倉市第一中學 (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領銜人

    問題引導 關(guān)聯(lián)思考 明晰本質(zhì)
    ——例說初中數(shù)學微探究的實踐與思考

    朱建良

    江蘇省太倉市第一中學 (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領銜人

    初中數(shù)學課堂教學微探究主要著力于學生的學,是一種類似于課題研究的學習模式,微探究的教學目標指向培養(yǎng)學生的問題意識和探究能力,教師嘗試將教學內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔⑻骄俊比蝿?,在問題引導下啟發(fā)學生主動探究,有效改善傳統(tǒng)學習方式的缺點,基于學生的親身經(jīng)歷,以疑問激發(fā)他們的求知欲望,優(yōu)化學生數(shù)學思維方式和思維品質(zhì),具有提高學生學習效果和探究能力的功效.

    《數(shù)學課標2011版》指出,綜合與實踐是一類以問題為載體,重視問題情境創(chuàng)設,以學生主動參與為主的學習活動.倡導教師深入用好教材、挖掘教材,并在教材內(nèi)容的基礎上開發(fā)微探究學習實踐活動,精心設計一個微探究學習內(nèi)容,充分調(diào)動學生的學習積極性,引導學生善于思考、樂于探究.筆者以蘇科版九(上)數(shù)學第二章《圓》第四節(jié)《圓周角(3)——圓內(nèi)接四邊形》為微探究課題,談談在教學實踐中的一些收獲和認識,供同行參考.

    1.微探究學習內(nèi)容分析

    微探究學習內(nèi)容為九(上)蘇科版數(shù)學§2.4 圓周角(3)——圓的內(nèi)接四邊形,其學習目標為:(1)掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理.(2)引導學生經(jīng)歷探究“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的學習過程,培養(yǎng)學生動手操作、自主探索和合作交流的能力.(3)培養(yǎng)學生合情推理意識,掌握說理的基本方法,滲透從特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.

    2.問題啟智、類比探究

    從具體的作四邊形的外接圓的動手操作實驗出發(fā)來設計微探究學習內(nèi)容,類比作三角形外接圓的方法,激發(fā)學生的思維始終處于積極主動的狀態(tài),通過猜想、發(fā)現(xiàn)與歸納推理,理解數(shù)學概念.數(shù)學概念的形成過程是進行數(shù)學思想方法教學的最好載體,引導學生理解沒有“過程”就沒有“思想”.

    圖1

    問題1 (1)過三角形的三個頂點能畫一個圓嗎?為什么?(2) 過三角形的三個頂點這個圓叫什么?這個三角形又稱為什么?(3) 過四邊形的四個頂點能畫一個圓嗎?為什么?(4) 如圖1,已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,請?zhí)骄俊螦與∠C,∠B與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?(說明理由)用幾何語言準確表述你的發(fā)現(xiàn).

    解析:嘗試畫圖實踐操作入手,類比探究圓內(nèi)接四邊形ABCD性質(zhì),得出∠A+∠C=∠B+∠D=180°的數(shù)量關(guān)系,歸納出“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”.

    設計意圖:關(guān)注學生微探究學習方式,引導學生自己經(jīng)歷思考的過程,通過交流合作和動手操作來感悟和體驗知識發(fā)生、由來的過程,在學生親身感受、體驗的歷程后,抓住四邊形ABCD與⊙O的位置特征,運用合情推理去探索結(jié)論,從“共同特征”中歸納“本質(zhì)特征”,獲得數(shù)學學習經(jīng)驗.

    3.理解性質(zhì),提煉方法

    從簡單的特例出發(fā),尋求圓周角之間的數(shù)量關(guān)系,以數(shù)學知識的探究過程為學習重心,通過學生獨立思考發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),設計動態(tài)變化的微探究問題情境,從本質(zhì)上探究圓周角之間的合理聯(lián)系與邏輯聯(lián)系.

    圖2

    問題2 如圖2,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠AOC=140°.

    求:(1)∠ABC的度數(shù);

    (2) ∠OAD+∠OCD的度數(shù).

    變式1 (續(xù)問題2)如圖2,若DA=DC,你能求出哪些角的度數(shù)?

    變式2 如圖2,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若有ABCO,你能求出哪些角的度數(shù)?

    微探究問題設計基于學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗,言簡意賅,應用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)解決問題簡約明了,以特殊圓周角度數(shù)為突破口,幫助學生快速捕捉、理解有效信息、解決問題.

    圖3

    解析:(1)連接AC,在等腰ΔDAC中,求出∠DAC=55°,解讀四邊形ACED內(nèi)接于⊙O模型,得∠DAC+∠E=180°,求出∠E=125°.

    在圓上增加一動點,將圖形變換,一圖多用,一題多變,問題設置別致精巧,平中見奇,微探究指向培養(yǎng)學生探究能力,幫助學生正確理解基本圖形、基本知識,通過特殊圓周角的求解,實現(xiàn)知識立意到能力立意的轉(zhuǎn)變.

    設計意圖:通過將條件弱化或增強,從而轉(zhuǎn)化為微探究新問題,引導學生對數(shù)學問題進行引申、推廣,促使學生積極思考,尋求最佳的解決思路,積累經(jīng)驗方法,培養(yǎng)學生自主探究、合作學習的能力.問題2難度較低,為后續(xù)探究做好鋪墊,拓展問題為學生提供了展示自己智慧的舞臺,使其在新問題情境中探求出解決陌生問題的方法.

    4.變式探究,拓展延伸

    構(gòu)建“圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角”幾何模型,聯(lián)系三角形角平分線和三角形相似等相關(guān)性質(zhì),采用類比聯(lián)想的研究方法,及時歸納總結(jié)出解決此類問題的一般方法,幫助學生在變式的微探究的思考中發(fā)現(xiàn)一類數(shù)學問題的本質(zhì)和規(guī)律,經(jīng)歷數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)過程.

    圖4

    問題3 如圖4,四邊形ABCD內(nèi)接⊙O,DB=DC,∠DAE是四邊形ABCD的一個外角,問∠DAE與∠DAC相等嗎?為什么?

    變式1 如圖4,ΔABC內(nèi)接⊙O,AD為ΔABC的外角平分線,交⊙O于D,連接BD、CD,判斷ΔDBC的形狀,并說明理由.

    變式2 (續(xù)問題3)如圖5,若AF平分∠BAC,連接DF,問:DF與BC有怎樣的位置關(guān)系?為什么?

    解析:通過尋求相等量,巧妙轉(zhuǎn)化,尋求∠DAE=∠DCB=∠DBC,變式1互逆變換問題3的條件

    圖5

    拓展如圖6,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC、BD相交于點F,BA、CD的延長線交于點E,若CB=CA=AE.

    (1)判斷BD是否平分∠EBC,說明理由;(2)若CD=6,BD=8,求DF的長.

    圖6

    解析:依據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì),尋求等腰ΔACE、ΔCAB角之間數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn),∠CAB=2∠EBD,又∠CAB=

    通過變式問題縱向拓展,在編制問題、解決問題、完善問題的系列操作過程中經(jīng)歷了數(shù)學思維的運用與逐步完善,數(shù)學微探究過程不止于數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程,更在于數(shù)學知識、經(jīng)驗、思想方法的內(nèi)化和遷移過程,從特殊到一般進行探究,體現(xiàn)數(shù)學思維中的“火熱思考”,指向解題突破時要回歸到“圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)”的核心概念.

    設計意圖:基于“理解數(shù)學”的視角,通過將問題設計成同一模型多個層次的問題串,變式探究,分散難點,逐層展開,循序深入,數(shù)學微探究按圖示方式展開:

    真正體現(xiàn)了《數(shù)學課程標準(2011版)》人人學有用的數(shù)學,不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展的理念.

    5.沉淀思維,積累經(jīng)驗

    突出能力培養(yǎng)應重視在問題解決中滲透數(shù)學思想方法,數(shù)學思維訓練的重要目的是積累解題經(jīng)驗,拓展數(shù)學思維深度,優(yōu)化解題策略.在思考題中以旋轉(zhuǎn)變換為問題載體,涉及操作不變性思想和分類討論的思想方法,幫助學生從特殊到一般的角度理解“化動為靜、動靜結(jié)合”的方法.

    思考題已知在ΔABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,交AC于點E.(1)如圖7①,若AB=6,CD=2,求CE的長;(2)如圖7②,當∠A為銳角時,試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)圖7②中的邊AB不動,邊AC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),當∠BAC為鈍角時,如圖7③,CA的延長線與⊙O相交于點E,試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系是否與(2)中你得出的關(guān)系相同.若相同,請加以證明;若不同,請說明理由.

    圖7

    設計意圖:“好奇——探究——解題——感悟——創(chuàng)新”是數(shù)學微探究學習的必由之路,以激發(fā)學生動手操作實驗為主線貫穿整個教學過程,問題設計從發(fā)散性視角培養(yǎng)學生的學習興趣,因材施教,引導學生在微探究學習過程中深層地體會學習的樂趣.

    課堂教學中,教師重視微探究學習的過程,微探究問題設計遵循學生的認知規(guī)律,立足于學生的實際認知水平和能力.以開放性、探究性的數(shù)學問題引導學生獨立思考、合作發(fā)現(xiàn),幫助學生正確理解問題,避免出現(xiàn)“只見教師智慧,不見學生感悟”現(xiàn)象,數(shù)學微探究對于學生學習方式的轉(zhuǎn)變、培養(yǎng)學生的數(shù)學問題意識,培養(yǎng)學生的質(zhì)疑問難的能力,具有十分重要的現(xiàn)實意義.

    教學微探究是一種行之有效的教學方法,教師根據(jù)教材特點、學情設計微探究內(nèi)容,讓學生在經(jīng)歷知識的形成與應用的過程中,真正理解數(shù)學知識,內(nèi)化知識結(jié)構(gòu),形成技能,積累方法,獲得數(shù)學思想方法,通過數(shù)學微探究的學習,讓學生更加有興趣地學習知識,提升學生實踐動手能力,提高數(shù)學思維模式的層次,提高教學效果,真正踐行有效教學.

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