系統(tǒng)優(yōu)化 高效生成
——“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)

陳海珍

福建省邵武第一中學(xué) (354000)

系統(tǒng)優(yōu)化 高效生成
——“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)

陳海珍

福建省邵武第一中學(xué) (354000)

1.教學(xué)設(shè)計(jì)的視角

設(shè)計(jì)或評(píng)議同樣一堂課，往往是各有各法、眾說紛紜，這是因?yàn)椴煌娜擞衅洳煌慕虒W(xué)認(rèn)識(shí)和傾向．由于新課標(biāo)的要求，“教壇新秀”的賽課常出現(xiàn)表面熱鬧，實(shí)質(zhì)教學(xué)效果不佳的“作秀”，這是一種片面、膚淺地迎合新課改的現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，追求實(shí)效，不要為形式而形式，為教改而教改，我們要能以自己的“實(shí)踐性智慧[1]”來真正實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)的要求．為提高教學(xué)效果，要注意從以下三個(gè)視角或要求來審視或設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)．

(1)明確教學(xué)目標(biāo)．確定好恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)是提高教學(xué)效果的前提，離開教學(xué)目標(biāo)空談教學(xué)效果是沒有意義的．課堂教學(xué)目標(biāo)要能根據(jù)現(xiàn)實(shí)的學(xué)生情況以及教材特點(diǎn)和新課標(biāo)要求來擬定，不能固定不變，千人一面．

(2)因“才”和“材”施教．因才施教是指教學(xué)要適應(yīng)學(xué)生，以人為本，“適合的才是最好的”；因“材”施教是指要能對(duì)不同的教材采取相適應(yīng)的教學(xué)方法，充分挖掘利用其教學(xué)價(jià)值．我們既要能因教材的價(jià)值而教學(xué)，又要能為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而組織或設(shè)計(jì)教材，并在整體最優(yōu)化的總目標(biāo)指導(dǎo)下協(xié)調(diào)定位好各個(gè)教學(xué)子目標(biāo)．

(3)系統(tǒng)優(yōu)化，高效生成．“教學(xué)實(shí)踐表明：沒有效率的教學(xué)是走不遠(yuǎn)的”[2]. 數(shù)學(xué)一個(gè)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)教學(xué)也是個(gè)系統(tǒng)工程，要提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，就必須從系統(tǒng)的整合優(yōu)化入手．設(shè)計(jì)一堂數(shù)學(xué)課，首先應(yīng)該定位好這節(jié)課在這個(gè)教學(xué)單元或整個(gè)課程發(fā)展體系中的位置和作用，然后再優(yōu)化整合好本節(jié)課的小系統(tǒng)．“削枝裁葉，突出主題”是優(yōu)化整體，提高教學(xué)效率的基本策略．

2.函數(shù)單調(diào)性的教材和教法分析

基于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的系統(tǒng)性，必修一中“函數(shù)的單調(diào)性”是高一新生第一次學(xué)習(xí)用抽象數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫幾何直觀變化的過程．對(duì)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解及推理過程是高中數(shù)學(xué)最難的地方，這是個(gè)挑戰(zhàn)，也是“因材施教”，培養(yǎng)學(xué)生能力的好機(jī)會(huì)．所以本節(jié)課在教學(xué)過程中要著眼于學(xué)生抽象的形式推理能力培養(yǎng)，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)形式化定義和推理過程的意義，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的能力．

從本章節(jié)的整體性來看，函數(shù)的單調(diào)性要三個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)重點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)單調(diào)性的意義及其形式化定義的理解和初步應(yīng)用，第二、三課時(shí)則側(cè)重于函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用．由于是首次接觸這種形式化定義，學(xué)生缺乏經(jīng)驗(yàn)，要靠學(xué)生自己“主動(dòng)構(gòu)建”出這種定義是不可能的！但機(jī)械地灌輸和模仿訓(xùn)練也是不可取的，這樣既不利于學(xué)生理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性，也不利于學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀念的形成和抽象推理能力的發(fā)展．我們教師要能對(duì)教材進(jìn)行“再創(chuàng)造”，通過精心設(shè)計(jì)的一系列問題，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”地學(xué)，從中理解函數(shù)單調(diào)性的意義和形式化定義．

課堂教學(xué)是“社會(huì)建構(gòu)”，即“師生共建”性的高效率學(xué)習(xí)，所以一方面要在學(xué)生能力和時(shí)間允許范圍內(nèi)盡量讓學(xué)生獨(dú)立思考解決問題，另一方面教師要對(duì)學(xué)生的疑難及時(shí)地給予啟發(fā)引導(dǎo)，或用“師生共做”的方式解決，甚至有些問題教師可以采取“設(shè)問自答”的方式，但至少要讓學(xué)生和教師共同經(jīng)歷這些問題的思考過程．這樣既可以讓學(xué)生在問題思考的經(jīng)歷中理解知識(shí)，了解思維探究方法，又可以把握好課堂教學(xué)的節(jié)奏，比較高效率地在課堂45分鐘內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)．

3.教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：使學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性定義的形成過程，從中理解單調(diào)性定義的意義．初步掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法．體會(huì)數(shù)學(xué)化的思想和意義，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和理性精神．

教學(xué)重點(diǎn)：理解單調(diào)性的定義，掌握單調(diào)性的判斷方法．

難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性形式化定義的理解和掌握．

教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師在黑板上作曲線圖模擬股票上漲、下跌和股民心情的變化(盡量生動(dòng)搞笑些)，最后裝腔作勢(shì)地發(fā)誓:“我是股民，我一定要弄明白股票啥時(shí)上漲，啥時(shí)下跌！”，這樣既活躍了課堂，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的興趣．接著說明圖像的上升、下降是函數(shù)的基本性質(zhì)，稱之為“單調(diào)性”，并結(jié)合函數(shù)曲線提出函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的概念，由此引出函數(shù)單調(diào)性(板書)．

通過直觀引入股票漲勢(shì)圖，引出主題．

環(huán)節(jié)2 問題引導(dǎo)，形成概念

(1)課題引入后，師質(zhì)疑：如何分析函數(shù)f(x)=x2-2x+2的單調(diào)性？

用此問題說明對(duì)熟悉的函數(shù)可直接用“圖像判斷法”分析其單調(diào)性．

學(xué)生不知此函數(shù)的圖像，怎么辦呢？師引導(dǎo)學(xué)生回顧前遞增、遞減函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)y=f(x)在區(qū)間D遞增?x與y同增同減；y=f(x)在區(qū)間D遞減?x與y增減相反．顯然，x?y=，所以函數(shù)f(x)=在[0,+∞)是增函數(shù)．用幾何畫板作圖驗(yàn)證，果真如此！我們可以把這種方法叫做“趨勢(shì)判斷法”．接著學(xué)生練習(xí)用此法分析函數(shù)f(x)=在(0,+∞)的單調(diào)性，f(x)=x+的單調(diào)性等．并舉個(gè)反例，說明這種借助了直覺的方法不是絕對(duì)可靠，只適合簡(jiǎn)單問題的判斷，不可以作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明．

這下學(xué)生又傻眼了！再次的認(rèn)知沖突激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，師相機(jī)引導(dǎo)：看來我們還得深入探究函數(shù)單調(diào)性的代數(shù)本質(zhì)！

師質(zhì)疑:“x,y”與“對(duì)任意的x1,x2∈區(qū)間D，當(dāng)x1

(4)反思總結(jié)：函數(shù)單調(diào)性的這三種判斷方法體現(xiàn)了逐漸代數(shù)化、精確化的過程，“趨勢(shì)判斷法”是通向嚴(yán)格的形式化定義的“腳手架”，第三種方法完全實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化，最精確可靠，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的作用和魅力，它也是函數(shù)單調(diào)性最深刻的代數(shù)本質(zhì)的體現(xiàn)，所以我們就把它當(dāng)作函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格的代數(shù)定義．

此環(huán)節(jié)以尋找判斷方法為主線，雖然后兩個(gè)問題更多地是依靠教師的引導(dǎo)分析，但這樣展現(xiàn)了由三個(gè)遞進(jìn)的問題引發(fā)的探究性教學(xué)生成過程，既讓學(xué)生系統(tǒng)了解函數(shù)單調(diào)性的三種判斷方法，又讓學(xué)生體會(huì)到這種抽象的形式化定義產(chǎn)生的必要性和作用，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程；既突破了教學(xué)難點(diǎn)，又充分利用了此環(huán)節(jié)的教學(xué)價(jià)值，提高了教學(xué)效果．

總而言之，多元化教學(xué)方法在初中語文教學(xué)中的使用，不僅激發(fā)了學(xué)生對(duì)于語文學(xué)科的興趣，提高了他們的課堂參與度，還增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，促進(jìn)了他們的全面發(fā)展。

環(huán)節(jié)3 說文解字，精確掌握

(1)闡述本質(zhì)，系統(tǒng)建構(gòu)．

師要強(qiáng)調(diào)上述關(guān)系結(jié)構(gòu)的可逆性、等價(jià)性，順推是判斷，反推則成性質(zhì)．“同增同減，同大同小”等口訣便于學(xué)生形象記憶和靈活應(yīng)用，以克服抽象的形式定義的學(xué)習(xí)困難．此關(guān)系結(jié)構(gòu)將是學(xué)生理解和應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的有力抓手，有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效果．

(2)反例思辨，精確掌握．下列判斷正確嗎？請(qǐng)說明理由．

①因?yàn)閒(0)

②因?yàn)閒(1)

以此強(qiáng)調(diào)定義中的“任意”、“都”關(guān)鍵詞不可或缺．光靠教師口頭強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞，即使喊破喉嚨也效果一般．只有讓學(xué)生經(jīng)歷錯(cuò)誤，痛定思痛，才是防止學(xué)生出錯(cuò)的最有效的辦法．

環(huán)節(jié)4 練習(xí)鞏固，形成技能

單調(diào)性的形式化定義比較難理解，也比較難掌握．在前三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性形成了初步認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行初步的應(yīng)用訓(xùn)練，有助于增進(jìn)單調(diào)性這種操作性概念理解．

數(shù)學(xué)具有“算法性”，即為一系列的操作步驟，且要求規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)．所以要注意整理出系列的操作步驟，以便于學(xué)生掌握，提高教學(xué)效果．

(2)鞏固性練習(xí)：證明函數(shù)f(x)=x2-2x在區(qū)間(1,+∞)是增函數(shù)．

這是第一次的模仿訓(xùn)練，所以題目要簡(jiǎn)單，這樣可以集中時(shí)間和精力學(xué)好這種推理形式和書寫規(guī)范(可安排兩個(gè)學(xué)生做對(duì)比性板演)．

在單調(diào)性的證明中，學(xué)生除形式的規(guī)范性外，還常出現(xiàn)的一個(gè)問題是在“定號(hào)”環(huán)節(jié)說理不明確，甚至“渾水摸魚”地隨意下結(jié)論．教師要能預(yù)見學(xué)生學(xué)習(xí)和作業(yè)過程中可能出現(xiàn)的疑難和錯(cuò)誤，在課堂教學(xué)中提前讓學(xué)生試錯(cuò)糾正，這樣有助于提高學(xué)習(xí)效果．

環(huán)節(jié)5 綜合思考，反思總結(jié)

這是本課的“收官”，是完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“點(diǎn)睛之筆”，對(duì)提高教學(xué)效果有重要價(jià)值．

在綜合思考題的基礎(chǔ)上，結(jié)合前保留的重要板書，引導(dǎo)學(xué)生從單調(diào)性的判斷方法及其解答規(guī)范，數(shù)學(xué)化思想及其意義等方面對(duì)本課所學(xué)進(jìn)行梳理總結(jié)，強(qiáng)調(diào)只有“定義法”才能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明．

課堂教學(xué)中的例題和思考練習(xí)題要典型，目標(biāo)明確，主題突出，系統(tǒng)有層次，避免隨意和雜亂，不要因其它問題沖淡了主題的學(xué)習(xí)，這樣才能提高主題的學(xué)習(xí)效果和效率．

本課的主線是單調(diào)性的判斷，第一環(huán)節(jié)是引子，通過第二、三、四環(huán)節(jié)闡述本節(jié)的核心和重點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上通過第五環(huán)節(jié)的總結(jié)和提升，這五個(gè)環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，相互配合，缺一不可，形成一個(gè)完整的教學(xué)系統(tǒng)．

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育改革十五誡[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23(3)：1-7.

[2]張奠宙 于波.數(shù)學(xué)教育的“中國(guó)道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.