基于ARX模型四旋翼飛行器的LQR控制方法

劉麗麗，左繼紅

(1.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083; 2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南 株洲 412001)

基于ARX模型四旋翼飛行器的LQR控制方法

劉麗麗1,2，左繼紅1,2

(1.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083; 2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南 株洲 412001)

四旋翼飛行器飛行過程中具有非線性和強(qiáng)耦合性，導(dǎo)致難以建立精確的物理力學(xué)模型，針對(duì)這個(gè)難題，提出了基于多個(gè)ARX模型四旋翼飛行器的LQR控制器設(shè)計(jì)方法;ARX模型全稱是帶外生變量的自回歸模型，LQR控制器一種基于局部線性化模型的無限時(shí)域預(yù)測(cè)控制器;該法首先基于四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)特性構(gòu)建四旋翼飛行器多個(gè)ARX的模型結(jié)構(gòu)，并利用結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化方法辨識(shí)模型參數(shù)，獲取滿足工程精度需求的四旋翼非線性動(dòng)態(tài)模型;然后，基于該模型給出了具有狀態(tài)反饋的LQR控制器設(shè)計(jì)方法，并通過求解工作點(diǎn)的Riccati方程，獲得狀態(tài)反饋矩陣，最后通過仿真和實(shí)時(shí)控制結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性和可靠性。

四旋翼飛行器；ARX模型；LQR控制;非線性

0 引言

四旋翼飛行器是一種由4個(gè)獨(dú)立電機(jī)驅(qū)動(dòng)的螺旋槳組成的6自由度(位置與姿態(tài))欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，具有垂直起降、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操縱方便及靈活機(jī)動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于搜救、航拍與偵察等軍事和民用領(lǐng)域[1]。四旋翼飛行器的控制主要包括姿態(tài)控制和位置控制，且位置的改變是由于姿態(tài)的變化引起的，故姿態(tài)控制是四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的核心，其控制性能優(yōu)劣直接決定了飛行器的飛行性能。

為了實(shí)現(xiàn)四旋翼飛行器飛行姿態(tài)的穩(wěn)定控制，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究工作。近年來的研究呈多樣性，如采用PID控制和LQ控制方法共同實(shí)現(xiàn)四旋翼飛行器的控制[2]、飛行姿態(tài)自適應(yīng)控制的 PD2研究[3-4]、將魯棒非線性PI控制策略和backstepping技術(shù)相結(jié)合的控制方法[5]、采用滑模技術(shù)的飛行姿態(tài)的跟蹤控制反饋控制算法[6]、為降低模型精確性對(duì)姿態(tài)控制的影響，有些文獻(xiàn)討論了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器設(shè)計(jì)方法，如基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線提供有限脈沖響應(yīng)系數(shù)的PID控制方法[7-8]。然而，這些方法大多基于系統(tǒng)物理力學(xué)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，而由于四旋翼在飛行過程中，不僅受到空氣動(dòng)力、重力和陀螺效應(yīng)等多種物理效應(yīng)作用外，還受制于氣流等外部環(huán)境的干擾[9-10]，難以建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，使得傳統(tǒng)的基于物理力學(xué)模型的四旋翼姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)效果有限[11-14]。

為此，提出了一種基于ARX(AutoRegressive model with exogenous variable)模型組的自適應(yīng)LQR(linear-quadratic regulator)控制方案[15]。通過對(duì)飛行器的飛行狀態(tài)進(jìn)行區(qū)間分化，在每個(gè)區(qū)間內(nèi),采用非線性參數(shù)優(yōu)化方法辨識(shí)模型參數(shù)，獲取滿足工程精度需求的四旋翼非線性動(dòng)態(tài)模型。然后，基于該模型設(shè)計(jì)了具有狀態(tài)反饋的LQR控制器，并通過求解工作點(diǎn)的Riccati方程，獲得該區(qū)間內(nèi)狀態(tài)反饋矩陣, 并建立狀態(tài)反饋控制，在局部線性區(qū)間內(nèi)得到理想的控制效果，每個(gè)局部區(qū)間內(nèi)的模型辨識(shí)與最優(yōu)控制律完成后，設(shè)計(jì)一種具有切換特性的自適應(yīng)控制器，最終使得飛行器在其整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)良好運(yùn)行。

1 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)

本文所研究的四旋翼飛行器是由呈交叉對(duì)稱結(jié)構(gòu)的四個(gè)帶直流電機(jī)的螺旋槳組成，如圖1所示，型號(hào)是固高GHP3001，采用GT-400-SV運(yùn)動(dòng)控制器，電機(jī)采24 V 5000RPM永磁直流電機(jī)，電機(jī)提供飛行動(dòng)力，PC機(jī)和運(yùn)動(dòng)控制卡交換數(shù)據(jù)，采用MATLAB的SIMULINK模塊控制平臺(tái)實(shí)時(shí)控制電機(jī)電壓。由繞Y軸旋轉(zhuǎn)的俯仰角(pitch)、繞X軸旋轉(zhuǎn)的翻轉(zhuǎn)角(roll)和繞Z軸旋轉(zhuǎn)的巡航角(yaw)來定位飛行器的飛行姿態(tài)輸出。其物理參數(shù)如表1所示。很明顯，四旋翼飛行器是一個(gè)具有四輸入三輸出的非線性耦合系統(tǒng)，4個(gè)電機(jī)的輸入電壓是其4個(gè)輸入，由于系統(tǒng)的硬件約束，電機(jī)控制電壓范圍為[-20，+20] V。

圖1 四旋翼飛行器物理結(jié)構(gòu)圖

2 ARX模型組的建模、辨識(shí)和結(jié)果分析

2.1 ARX模型組建模

為了描述飛行器系統(tǒng)的全局非線性，采取多個(gè)線性模型去逼近對(duì)象的全局模型，將全局劃分為多個(gè)工作區(qū)間，每個(gè)區(qū)間用一個(gè)ARX模型建模，就會(huì)得到一組ARX模型。四旋翼飛行器的非線性耦合特性主要與決定飛行姿態(tài)的翻轉(zhuǎn)角和俯仰角有關(guān)。故根據(jù)俯仰角和翻轉(zhuǎn)角的區(qū)間分布，采用下式將系統(tǒng)的輸出區(qū)間均衡分成16個(gè)區(qū)域。

(1)

式中,n代表區(qū)域編號(hào)，fix()為取整函數(shù)。顯然俯仰角和翻轉(zhuǎn)角在相應(yīng)工作區(qū)間都可以分成4個(gè)區(qū)域，這些區(qū)域相互交叉，共組成16個(gè)區(qū)間。在每個(gè)工作區(qū)，按照同樣的方法建模、辨識(shí)出局部ARX模型。

ARX模型是一種常用的線性自回歸模型。它利用過去有限個(gè)輸出與輸入，建立起其當(dāng)前時(shí)刻的輸出的關(guān)系。它的結(jié)構(gòu)是：

y(t)+a1(t-1)+…+anay(t-na)=

b1u(t-d)+…+bnbu(t-d-nb+1)+e(t)

(2)

其中:na,nb分別是系統(tǒng)階次，d是輸入到輸出的延時(shí)。

對(duì)于多輸入多輸出四旋翼飛行器系統(tǒng)，它的局部線性ARX模型結(jié)構(gòu)是：

Y(t)+A1Y(t-1)+…+AnaY(t-na)=

B1u(t-d)+…+Bnbu(t-d-nb+1)+e(t)

(3)

式中,Y(t)=[p(t)r(t)y(t)]T為輸出俯仰角、翻轉(zhuǎn)角和巡航角，輸入u(t)=[Vf(t)Vr(t)Vl(t)Vb(t)]T包括四個(gè)電機(jī)的控制電壓，na、nb和d是模型的階次，系數(shù)矩陣Ak和Bk為：

ny和nu為輸入和輸出的個(gè)數(shù)，對(duì)于四旋翼飛行器，ny=4，nu=3。

2.2 系統(tǒng)模型的辨識(shí)和結(jié)果分析

模型辨識(shí)過程，需要對(duì)na、nb、d這三個(gè)參數(shù)進(jìn)行選擇，選擇方法有損失函數(shù)檢驗(yàn)法、殘差白性檢驗(yàn)法、AIC(Akaike Information Criterion)信息準(zhǔn)則法等。本文采用AIC信息準(zhǔn)則法[16]，該法常用來定階和估計(jì)相應(yīng)參數(shù)值，效果良好，其表達(dá)式為：

(4)

針對(duì)飛行器，AIC的計(jì)算式如下：

(5)

為了驗(yàn)證ARX模型的有效性，采樣基于物理模型LQR控制的四旋翼飛行器實(shí)時(shí)運(yùn)行的數(shù)據(jù)來辨識(shí)和測(cè)試模型，采樣周期為0.1 s。因螺旋槳有一定的慣性，到達(dá)給定轉(zhuǎn)速有一定的延遲，故應(yīng)選取d>1，實(shí)際中選取d=2，效果比較好。采集模型辨識(shí)數(shù)據(jù)時(shí)，先使飛行器在某一狀態(tài)點(diǎn)穩(wěn)定，然后，在給定值上疊加一小幅的擾動(dòng)，使得飛行器在給定值的小范圍內(nèi)抖動(dòng)，以得到有效數(shù)據(jù)，在實(shí)際操作時(shí)，疊加的擾動(dòng)為白噪聲序列。

得到辨識(shí)數(shù)據(jù)后，選取不同的階次，比較不同階次下模型的AIC值，AIC值最小時(shí)的模型階次：na=3,nb=1。

圖2為ARX模型對(duì)四旋翼飛行器測(cè)試數(shù)據(jù)的建模效果。

圖2 ARX模型的建模精度

圖2中，y(1)t,y(2)t,y(3)t分別是俯仰角、翻轉(zhuǎn)角和巡航角的實(shí)際輸出和模型預(yù)測(cè)輸出，單位是rad；e(1)t,e(2)t,e(3)t分別代表相應(yīng)輸出角實(shí)際和期望輸出的誤差，應(yīng)殘差直方圖來觀察誤差分布情況?？梢钥闯?，ARX模型下系統(tǒng)實(shí)際輸出很好的跟隨期望輸出，誤差波動(dòng)在很小范圍內(nèi)且成高斯?fàn)罘植?，表明模型比較理想，具有優(yōu)良的建模精度，能很好地描述系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性。

3 基于ARX模型組的LQR控制策略和控制結(jié)果分析

3.1 基于ARX模型組的LQR控制策略

LQR是線性二次型最優(yōu)控制，在控制工程中，其問題可以描述為：

(6)

式中，x為n維狀態(tài)，u為p維輸入，A和B為相應(yīng)維數(shù)系數(shù)矩陣。

通過求解Riccati方程:

ATS+SA-(SB+N)R-1(BTS+NT)+Q=0

(7)

得到最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣:

K=R-1(BTS+NT)

(8)

通過建立狀態(tài)反饋來進(jìn)行對(duì)系統(tǒng)的控制。

求解LQR問題必須滿足的前提條件為：

1)(A，B)是可控的；

2)R=RT>0；

3)Q=QT>0；

4){A,Q1/2}完全能觀測(cè)。

首先需要將ARX模型轉(zhuǎn)化成狀態(tài)方程。式(1)可以轉(zhuǎn)化為如式(9)所示狀態(tài)方程[17]，式中n是na和nb中較大的一項(xiàng)，an和bn中多于實(shí)際值的項(xiàng)用0代替。

(9)

對(duì)于式(2)的MIMO系統(tǒng)可以相應(yīng)做出擴(kuò)展，結(jié)果如下：

(10)

其中：

其中：aij,k和bij,k是(2)式中Ak和Bk中對(duì)應(yīng)的元素。同樣，n是na和nb中較大的一項(xiàng)。

實(shí)際中，為了保證穩(wěn)態(tài)誤差，在構(gòu)造狀態(tài)方程時(shí)，可擴(kuò)展出一個(gè)積分狀態(tài)量，用來對(duì)輸出進(jìn)行積分運(yùn)算。需將aii進(jìn)行如下調(diào)整，并且其他的相關(guān)參數(shù)用0的行或列來擴(kuò)展。

(11)

通過式(10)中的A和B，通過辨識(shí)數(shù)據(jù)求得各個(gè)狀態(tài)量，并搭建出狀態(tài)反饋。選取Q和R為對(duì)角陣，Q中第i行第i列的數(shù)值大小表示對(duì)第i個(gè)狀態(tài)量的優(yōu)化權(quán)重，R中第i列第i行的數(shù)值表示對(duì)第i個(gè)輸入量的優(yōu)化權(quán)重。

顯然A是可觀測(cè)的，并且Q和R都滿足LQR問題求解的前提條件。利用Matlab中的Control System Toolbox中的lqrd命令可以得到離散時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)反饋K。

在每個(gè)區(qū)間都有個(gè)ARX模型，都有其特有的狀態(tài)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋矩陣K。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)根據(jù)實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)來選取合適區(qū)域化模型的自適應(yīng)控制器是可行的。

采用離線辨識(shí)模型得到ARX模型，轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，選取合適的Q和R矩陣求解LQR問題，建立狀態(tài)反饋控制。需確定Q，對(duì)狀態(tài)方程(8)中C的系數(shù)為1的狀態(tài)量給予足夠的優(yōu)化，選取10較優(yōu)，其它的系數(shù)為1。因?yàn)槲锢項(xiàng)l件的限制，輸入在有限范圍內(nèi)，所以選取R的對(duì)角陣元素也為1。

3.2 基于ARX模型組LQR實(shí)時(shí)控制結(jié)果

實(shí)時(shí)控制時(shí)，先在單個(gè)區(qū)域內(nèi)調(diào)試出合適的狀態(tài)反饋值，使得飛行器能在單個(gè)區(qū)間內(nèi)能很好很快的達(dá)到穩(wěn)定，然后再利用設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行大范圍的自適應(yīng)控制。在控制輸出時(shí)，可以根據(jù)加入微小的微分作用，減小系統(tǒng)的振蕩效果。

控制周期定為0.1 s。因?yàn)樵?.1 s內(nèi)，飛行器動(dòng)態(tài)特性變化比較小，計(jì)算最優(yōu)控制律有足夠的時(shí)間。實(shí)時(shí)控制的結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3 基于ARX模型LQR實(shí)時(shí)控制輸出結(jié)果

圖4 實(shí)時(shí)控制時(shí)四個(gè)電機(jī)的輸入信號(hào)

圖3、圖4是四旋翼飛行器四個(gè)輸入電機(jī)電壓和三個(gè)輸出角隨時(shí)間變化的控制曲線，圖3括號(hào)中的數(shù)值分別代表俯仰角、翻轉(zhuǎn)角和巡航角的控制目標(biāo)值，箭頭指的是控制目標(biāo)值的時(shí)間范圍，實(shí)線是俯仰角變化曲線，虛線是翻轉(zhuǎn)角變化曲線，點(diǎn)線是巡航角變化曲線。

圖3中四旋翼首先處于水平懸停姿態(tài)，即：俯仰角(p)、翻轉(zhuǎn)角(r)和巡航角(y)分別為22、20和0；在20 s處，控制俯仰角由初始值22變?yōu)?2，保持翻轉(zhuǎn)角和巡航角不變；在43 s處，控制翻轉(zhuǎn)角由初始值20變?yōu)?0，保持俯仰角和巡航角不變；在60 s處，控制巡航角由初始值0變?yōu)?0，保持俯仰角和翻轉(zhuǎn)角不變；根據(jù)控制目標(biāo)依次分別改變?nèi)齻€(gè)輸出角，保持一段時(shí)間后，控制四旋翼飛行器達(dá)到另一目標(biāo)飛行姿態(tài)，并保持一段時(shí)間，最終使四旋翼飛行器恢復(fù)初始水平懸停狀態(tài)。

圖3曲線顯示，當(dāng)輸出姿態(tài)角分別變化時(shí)，基于ARX模型LQR控制策略的控制效果比較好。初始懸停狀態(tài)，輸出曲線略有小幅震蕩，當(dāng)姿態(tài)角目標(biāo)值分別變化時(shí)，動(dòng)態(tài)過程響應(yīng)迅速，并且超調(diào)很小，在穩(wěn)態(tài)階段，基本沒有超調(diào)和震蕩，輸出比較平穩(wěn)。

為進(jìn)一步說明基于ARX模型組LQR實(shí)時(shí)控制的優(yōu)越性，控制飛行器基于物理模型和基于ARX模型組下LQR實(shí)時(shí)情況，圖5和圖6分別展示了兩種模型下的控制效果。

圖6 基于ARX模型組的LQR實(shí)時(shí)控制效果

與圖3跟蹤信號(hào)不同，三個(gè)輸出姿態(tài)角不是依次變化，而是同時(shí)變化。調(diào)整兩種模型下控制器的參數(shù)到最優(yōu)，并完成相同任務(wù)，即跟蹤信號(hào)為四旋翼飛行器首先處于初始水平懸停姿態(tài)，維持一段時(shí)間后，控制四旋翼飛行器到達(dá)另一目標(biāo)飛行姿態(tài)，并維持一段時(shí)間，最終回到初始水平懸停姿態(tài)。

通過對(duì)比分析圖5和圖6，從圖5所示的基于物理模型的LQR實(shí)時(shí)控制曲線可以看出，在初始水平懸停姿態(tài)，輸出曲線有較大的震蕩；飛行器目標(biāo)姿態(tài)突然變化后，雖然動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速，但超調(diào)較大，穩(wěn)定到新姿態(tài)后穩(wěn)態(tài)特性尚可；穩(wěn)定一段時(shí)間重新回到初始水平懸停狀態(tài)，輸出曲線又出現(xiàn)了存在較大超調(diào)和振蕩。原因是物理模型參數(shù)不夠精確，是一個(gè)簡(jiǎn)化的模型，并且旋翼的非線性動(dòng)態(tài)特性被簡(jiǎn)化為線性，無法保證在所有姿態(tài)下的控制都表現(xiàn)良好。

從圖6所示的基于ARX模型組的LQR實(shí)時(shí)控制曲線可以看出，相比圖6曲線，該建模及控制方法取得了較好的控制效果。如6圖所示，在初始懸停位置，輸出曲線震蕩在很小幅度內(nèi)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后基本平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)大幅震蕩現(xiàn)象；控制輸出姿態(tài)角突然變化后，其動(dòng)態(tài)反應(yīng)迅速，超調(diào)量明顯比基于物理模型的控制策略小得多；回到初始水平懸停姿態(tài)后，并未出現(xiàn)大的振蕩和超調(diào)現(xiàn)象。

總之，這種在多個(gè)線性區(qū)域上建立ARX模型，針對(duì)每個(gè)模型用LQR單獨(dú)設(shè)計(jì)控制律，進(jìn)而得到整體控制器的方法是可行的，且效果十分顯著。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于ARX模型的LQR方法控制器。針對(duì)其特性，將非線性模型空間劃分為若干個(gè)子空間，在每個(gè)子空間中辨識(shí)出ARX模型，得到一組ARX模型，并設(shè)計(jì)LQR最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器的整體最優(yōu)控制。該方法在實(shí)際運(yùn)行中，效果良好。

比起傳統(tǒng)物理建模，該方法更具有針對(duì)性和精準(zhǔn)性，并且實(shí)施并不困難。本文提出的方法是離線進(jìn)行的，避免了在線運(yùn)行所帶來的一些致命問題，給設(shè)計(jì)者更充足的時(shí)間來考慮和分析問題。

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LQR Control for a Quad-Rotor Helicopter Based on ARX mode

Liu Lili1,2，Zuo Jihong1,2

(1.School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;2.Hunan College of Railway Professional Technology, Zhuzhou 412001, China)

The Quad-Rotor Helicopter which is nonlinear and coupled with each other makes it difficult to establish accurate physical mechanics model,for the problem,the design of LQR controller on Quad-Rotor Helicopter based on identified ARX mode were discussed.Using state-dependent AutoRegressive model with exogenous variable yields the ARX model, LQR controller is a predictive controller of infinite time domain based on local linear model.The structure of the Quad-Rotor Helicopter’identified ARX model based on dynamic properties was built firstly,and identify the model parameters using the structured nonlinear parameter optimization methods, obtain the Quad-Rotor Helicopter’s nonlinear dynamic model to meet the demand of engineering precision.then,the state feedback’s LQR controller based on the model was given, and by solving the Riccati equation of working point, the state feedback matrix was accessed. Finally, the simulation results and real time control verify the validity and reliability of the proposed method.

quad-rotor helicopter; ARX model ; LQR control; nonlinear

2017-02-19；

2017-03-08。

2015年度湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目(15C0903)；2015年度國(guó)家自然科學(xué)基金(61403045)。

劉麗麗(1985-)，女，河南駐馬店人，碩士研究生，工程師，主要從事控制科學(xué)與工程等方面的教學(xué)與科研工作。

1671-4598(2017)08-0068-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.08.018

TP18

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