沈啟鵬, 吳道祥, 胡雪婷, 郭佳誠, 孟祥龍, 魏東權
(1.合肥工業(yè)大學 資源與環(huán)境工程學院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省交通規(guī)劃設計研究總院股份有限公司,安徽 合肥 230088)
基于應力應變曲線類型的鄧肯張模型修正
沈啟鵬1,2, 吳道祥1, 胡雪婷1,2, 郭佳誠1, 孟祥龍1, 魏東權1
(1.合肥工業(yè)大學 資源與環(huán)境工程學院,安徽 合肥 230009; 2.安徽省交通規(guī)劃設計研究總院股份有限公司,安徽 合肥 230088)
鄧肯張模型應用于鈣質(zhì)結核土三軸試驗的分析時,發(fā)現(xiàn)部分應力應變曲線不能有效地被預測。文章基于本構模型所具有的特性,結合土的結構性及應力應變曲線的特性,分析本構方程參量的作用并引進能有效描述S型應力-應變曲線的參量(密實點D為切線彈性模量為最大值時對應的應力應變點)。通過推廣鄧肯張模型、建立和修正反正切模型,結合鈣質(zhì)結核土應力應變曲線類型,探究本構模型各自的實用性與適應范圍。結果表明:應用于應變硬化的反正切修正模型與鄧肯張修正模型,由于變量的增加,而使得對應力-應變曲線的擬合度有所增加;鄧肯張修正模型適應于反映應變軟化巖土的性質(zhì),但其表現(xiàn)巖土物理性質(zhì)的形式隨著參量增加而更加復雜;反正切修正模型能較為簡單地體現(xiàn)S型應力應變曲線的性質(zhì),表達密實點D的位置。
反正切;鄧肯張;修正模型;S型應力應變曲線;密實點
在巖土力學計算分析中,為描述巖土的任何一個物理演變過程,除了需要適應于任何材料的物理定律(力的平衡方程和位移協(xié)調(diào)方程)外,還要滿足與具體巖土相對應的本構模型[1]。本構模型作為嫁接應力場和應變場的橋梁,泛指各種表明狀態(tài)與變量之間關系的單值方程,如反映材料力學性質(zhì)的彈性模型、鄧肯張模型、蠕變模型,反映材料熱學性質(zhì)的傅里葉熱傳導定律、克拉伯龍理想氣體定律等,因此其是研究巖土物理力學性質(zhì)的必要工具,也是區(qū)分巖土材料性質(zhì)的依據(jù)[2]。
巖土的力學性質(zhì)不僅受到自身密度、孔隙度、含水率、顆粒級配、礦物成分等固有性質(zhì)的影響,而且受到應力路徑、應力水平、應變程度等外界環(huán)境影響,無法建立一個能全面考慮各種性質(zhì)和因素的理想模型,即使建立了理想模型,在模型求解過程中需要獲取的巖土體自身參數(shù)和外界環(huán)境參數(shù)的量是非常多的,甚至部分參數(shù)目前還無法有效地獲取[3],因此在分析巖土應力應變狀態(tài)時應抓住其應力-應變的主要特征,忽略次要影響因素。目前,巖土的本構模型主要包括彈性模型、彈塑性模型、黏彈塑性模型3種,在精度方面,黏彈塑性模型能較好地反映土的變形特征和內(nèi)部機理以及土體的硬化軟化和剪脹性質(zhì),彈塑性模型次之,具有廣闊的發(fā)展前景[4]。但非線性彈性模型略去塑性變形、應力路徑和第二主應力等因素的影響作用,求解公式簡單、實用,適應于工程計算分析[5]。康納等根據(jù)大量土的三軸壓縮實驗結果,提出用雙曲線擬合發(fā)生應變硬化的應力-應變曲線。Duncan等人據(jù)此提出了被廣泛應用的增量彈性模型,即鄧肯張模型,因其模型簡單、概念清楚,8個參數(shù)均有對應的物理與幾何意義,并可以通過常規(guī)三軸壓縮實驗獲得[6]。然而當荷載較高時,計算沉降值偏差較大;模型對體變難以準確預測,泊松比值誤差較大等諸如此類模型本身具有的缺陷[7]。
應變硬化的應力-應變曲線用指數(shù)函數(shù)A(1-e-Bx)擬合效果也較好,而與雙曲線擬合效果相比,當初始彈性模量與極限偏差應力相同時,應力應變曲線變化趨勢略有差別。此外含水率較低的鈣質(zhì)結核土或碎石土會呈現(xiàn)出S型應力應變曲線與應變軟化,關于此方面的研究不多[8]。鈣質(zhì)結核土是淮北平原廣泛分布的一種區(qū)域性特殊土,土層中含有大量的大小不一、形狀各異、分布形式多樣的鈣質(zhì)結核[8]。
對于含水率為18%的鈣質(zhì)結核土的常規(guī)三軸壓縮實驗,其應力應變曲線呈現(xiàn)S型。S型應力應變曲線各階段圖如圖1所示,結合其變形特征,將其劃分為4個階段,并引入密實點D,即擠密階段與彈性階段分界點,此時密實點的切線模量最大,記為ED。
圖1 S型應力應變曲線各階段圖
(1) 擠密階段。剪應力增幅漸漸增大,變形主要為顆粒角度調(diào)整,顆粒間沒有相對的滑移。
(2) 彈性變形階段。應力-應變呈直線關系,變形主要為顆粒排列方式改變,顆粒未有破壞面。
(3) 硬化階段。剪應力增幅漸漸降低,局部剪切破壞面開始形成,顆粒間部分發(fā)生滑移。
(4) 理想塑性階段。剪應力增幅很小,表現(xiàn)為曲線趨平。剪切破壞面已經(jīng)完全形成[9]。
土具有結構性和散體性等特點,應力場與應變場之間的關系是復雜的、多變的。在描述其之間關系時,需要人為設定有物理與幾何意義的參數(shù)(如彈性模量、極限偏差應力等),表示應力場與應變場在變化過程中某一特定時刻存在的關系。本構模型與物理參數(shù)之間關系如圖2所示,可以看出,本構模型包含的參量越多,所表達的應力場-應變場關系與實際巖土所具有的應力場-應變場關系相一致的性質(zhì)越多,則其反映應力場與應變場之間的關系越精準[10]。
2.1 系數(shù)推廣
鄧肯張模型只容納初始彈性模量與極限主應力差2個物理參數(shù),不適應于反映應變軟化巖土的性質(zhì)。經(jīng)過大量的試驗與理論研究,眾多學者提出在原有鄧肯張模型基礎上添加參量c,修正鄧肯張模型,使其可以體現(xiàn)部分巖土體特有的軟化性質(zhì),即
(1)
其中,a、b、c為與試驗有關的常數(shù)[11]。
將鄧肯張修正模型與鄧肯張模型相比較,發(fā)現(xiàn)修正模型的公式在形式上等同于鄧肯張模型乘上一個系數(shù)(為雙曲線函數(shù))。當a與b值相同時,比較曲線變化趨勢,通過計算發(fā)現(xiàn)兩者切線斜率只相差一個系數(shù),同樣為一雙曲線函數(shù),具體如下:
F(x)=[a+(2c-b)x]/(a+bx)
(2)
c與b大小不同時,系數(shù)與應變之間關系如圖3所示。鄧肯張修正模型中a與b參量值相同、c大小不同時,主應力差與應變關系圖如圖4所示。由圖3、圖4結合(1)式、(2)式可以發(fā)現(xiàn):
(1) 當c
(2) 當c=b時,系數(shù)恒等于1,修正模型變成鄧肯張模型。
(3) 當c>b時,修正模型曲線比鄧肯張模型曲線的切線斜率遞減速度減緩[12]。
圖3 c、b大小不同時系數(shù)與應變關系
圖4 鄧肯張修正模型中c不同時主應力差與應變關系
通過分析可以發(fā)現(xiàn),增加系數(shù)不會導致模型的初始彈性模量改變,極限主應力差一直存在并僅與增加參量b值有關,改變的是曲線的變化趨勢。本文提出了鄧肯張修正模型的一般公式,即鄧肯張通用模型為:
(3)
在對其導數(shù)計算過程中發(fā)現(xiàn):① 導數(shù)的表達式隨著參量的增加越加復雜,而且對具有物理意義的參數(shù)也難以表示;② 理論上存在S型曲線,但需要滿足條件較多,而且表示密實點D的表達式較為復雜。
2.2 導數(shù)推廣
對于鄧肯張模型,切線模量Et為:
(4)
在忽略分母中次要影響因子2abε并積分、調(diào)整之后,得到能較好反映應變硬化性質(zhì)的反正切函數(shù),即
σ1-σ3=a×arctan(bε)
(5)
從中不難求解出初始彈性模量為ab、極限應力差為πa/2,從而也可得到類似于鄧肯張的其他參數(shù)[13]。反正切函數(shù)是一個呈S型的奇函數(shù),移動坐標軸可以使曲線用于反映S型應力-應變曲線特征。具體過程[14]為添加一參量c使bε變?yōu)閎ε+c,并減去a×arctanc,稱之為反正切修正模型,即
σ1-σ3=aarctan(bε+c)-aarctanc
(6)
其中,a、b、c為試驗所得常數(shù)。
反正切修正模型中,a與b值相同,c不同時,主應力差與應變關系如圖5所示。
圖5 反正切修正模型中c不同時主應力差與應變關系
從圖5可以發(fā)現(xiàn),當c>0時,模型為應變硬化型,c值使曲線切線斜率遞減速度變得可控;當c=0時,還原為反正切模型;當c<0時,模型也為應變硬化型,但線型略有不同,呈S型,密實點為-c/b,并且切線模量最大為ab[15]。
3.1 應變硬化曲線
應變硬化型的三軸試驗曲線及不同本構模型擬合曲線如圖6所示。鈣質(zhì)結核土三軸試驗參數(shù)用W18~L2-3~H15~B150表示,含水率為18%,結核粒徑為2~3 cm,結核體積分數(shù)為15%,結核圍壓為150 kPa。從圖6可以看出,鄧肯張模型與反正切模型對于應變硬化的應力-應變曲線的預測效果總體較好,局部略有差別。而修正模型、反正切修正模型則能有效地反映,但反正切修正模型為獲取更高的擬合度而使得參量取值較大,且可浮動范圍也較大。
(a) W18~L2-3~H15~B150
(b) W18~L3-5~H06~B200圖6 應變硬化曲線與擬合曲線
3.2 S型應力應變曲線
S型三軸試驗曲線及不同本構模型擬合曲線如圖7所示。從圖7中可以發(fā)現(xiàn),鄧肯張模型與反正切模型對于S型應力應變曲線不能作出有效預測。而修正模型盡管從理論上可以擬合S型應力-應變曲線,但由于其需要滿足條件較為苛刻而一般難以反映S型應力-應變曲線特點。反正切修正模型則能有效地預測S型應力應變曲線。
圖7 S型應力-應變曲線與擬合曲線
3.3 應變軟化曲線
應變軟化曲線及不同本構模型擬合曲線如圖8所示,選用的試樣參數(shù)為W18~L3-5~H15~B200。從圖8可以發(fā)現(xiàn),鄧肯張模型、反正切模型及反正切修正模型對于應變軟化曲線不能作出有效預測;鄧肯張修正模型可以貼切地反映應變軟化的變化過程,并且對于應變軟化所具有的各個特征能夠簡單地表達。
圖8 應變軟化曲線與不同本構模型擬合曲線圖
不同應變軟化曲線及鄧肯張修正模型擬合曲線如圖9所示。
圖9 應變軟化曲線與鄧肯張修正模型擬合曲線
圖9中,3組實驗參數(shù)從上向下依次為W18~L1-2~H09~B100、W18~L2-3~H15~B50和W18~L1-2~H03~B50。不難看出,當峰值后曲線存在拐點時,鄧肯張修正模型對此不能有效地反映,依據(jù)上述參量與物理參數(shù)之間關系可知,這是由于鄧肯張修正模型本身只包含3個參量,并有各自對應的物理參數(shù)。因此要描述拐點的存在需要增加參量,但鄧肯張通用模型中參量的增加,各物理參數(shù)表達式復雜程度也隨之增加。
本文定義新參數(shù)密實點,將S型應力應變曲線分為4個階段;從系數(shù)和導數(shù)2個方面修正鄧肯張模型,使其可以適應于新線型;從應變硬化、S型曲線和應變軟化,相比較得出鄧肯張模型、反正切模型、修正模型和反正切修正模型分別適應的范圍。
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Duncan-Changmodelmodificationbasedonstress-straincurvetype
SHEN Qipeng1,2, WU Daoxiang1, HU Xueting1,2, GUO Jiacheng1, MENG Xianglong1, WEI Dongquan1
(1.School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Anhui Transport Consulting and Design Institute Co., Ltd., Hefei 230088, China)
When Duncan-Chang model was applied to the analysis of three axis test of calcareous soil, it was found that some stress-strain curves could not be predicted effectively. On account of the characteristics of constitutive model, and in view of the soil structure and the characteristics of stress-strain curves, the function of the constitutive equation parameters is analyzed and the parameters which can effectively describe the stress-strain curves of S type are introduced(density point D is the corresponding strain when the tangent elastic modulus is the maximum). By generalizing the Duncan-Chang model, establishing and modifying the arctangent model and considering the type of stress-strain curves of calcareous nodules, the practicability and adaptability of the constitutive model are explored. The results show that the arctangent correction model and Duncan-Chang correction model which are applied to strain hardening make the fitting degree of stress-strain curve increased due to the increase of variables; Duncan-Chang correction model is adapted to reflect the properties of strain softening of rock and soil, but the physical properties of rock and soil expressed by it are more complex with the increase of parameters; the arctangent correction model can simply reflect the character of S type stress-strain curve and express the position of density point D.
arctangent; Duncan-Chang; modified model; S type stress-strain curve; density point
2017-01-23;
2017-03-10
國家自然科學基金資助項目(41002117;40872190);合肥工業(yè)大學2015年省級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃資助項目(2015CXCYS099)和合肥工業(yè)大學2017年校級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃資助項目(2017CXCY351)
沈啟鵬(1992-),男,江蘇徐州人,合肥工業(yè)大學碩士生;
吳道祥(1975-),男,湖北洪湖人,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.
10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.022
TU411.7
A
1003-5060(2017)09-1264-05
(責任編輯 馬國鋒)