基于雙迭代學習-交叉耦合的雙軸誤差控制

許 萬, 鄭 威, 楊 維, 曹 松, 羅 西

(湖北工業(yè)大學 機械工程學院,湖北 武漢 430068)

基于雙迭代學習-交叉耦合的雙軸誤差控制

許 萬, 鄭 威, 楊 維, 曹 松, 羅 西

(湖北工業(yè)大學 機械工程學院,湖北 武漢 430068)

在雙軸高精度輪廓加工中,單軸的跟蹤誤差和雙軸間運動不協(xié)調(diào)產(chǎn)生的輪廓誤差都會影響加工精度。文章提出了一種基于雙迭代學習-交叉耦合的雙軸運動控制策略,將單軸的迭代學習控制(iterative learning control,ILC)與雙軸的交叉耦合控制(cross-coupled control,CCC)以及輪廓誤差的ILC相結(jié)合。單軸的ILC用來改善單軸的跟蹤性能,減小單軸的跟蹤誤差;雙軸的CCC用以增加各軸之間的匹配程度,減小輪廓誤差;輪廓誤差的ILC可以提高輪廓的跟蹤性能,進一步削減輪廓誤差。仿真結(jié)果表明,雙迭代學習-交叉耦合控制系統(tǒng)不僅能夠有效降低單軸的跟蹤誤差,而且能顯著減小輪廓誤差。

交叉耦合;迭代學習;輪廓誤差;跟蹤誤差;雙迭代學習-交叉耦合

對于多軸運動系統(tǒng),各軸之間運動不協(xié)調(diào)而產(chǎn)生的輪廓誤差是影響復(fù)雜型面零件加工精度的主要因素,各單個軸在加工過程中產(chǎn)生的跟蹤誤差也是影響零件加工的重要因素。因此,在有效減小輪廓誤差的同時降低單個軸的跟蹤誤差,對于提高零部件加工精度是極其重要的。

近年來,許多學者都對提高加工精度的控制方法進行了研究。通過迭代學習控制(iterative learning control,ILC)[1]、滑?？刂芠2]、自適應(yīng)控制[3]以及零相位誤差跟蹤控制[4]等方法能夠有效減小單軸的跟蹤誤差,但是不能從根本上減小系統(tǒng)的輪廓誤差。為削減多軸運動不匹配引起的輪廓誤差,文獻[5]提出了交叉耦合控制(cross-coupled control,CCC);文獻[6]提出了變增益交叉耦合控制。一些學者將現(xiàn)代控制技術(shù)與交叉耦合控制方法相結(jié)合,以更好地減小輪廓誤差。文獻[7]提出了一種基于輪廓誤差傳遞函數(shù)(contouring error transfer function,CETF)的單變量CCC方法,可以得到滿足交叉耦合增益變化的具有穩(wěn)定性和魯棒性的CCC補償器;文獻[8]在CETF基礎(chǔ)上采用極點配置法設(shè)計了一個PI型CCC控制器;文獻[9]提出了一種基于任務(wù)坐標系(task coordinate frame,TCF)的多變量CCC方法;文獻[10]提出了基于零相位誤差跟蹤控制器的輪廓誤差交叉耦合控制;文獻[11]提出了一種基于多層模糊控制的交叉耦合補償方法;文獻[12]提出了基于遺傳算法的變增益交叉耦合控制;文獻[13]提出了直線電機XY平臺交叉耦合迭代學習控制。文獻 [5-13]等方法能夠較好地減小運動系統(tǒng)的輪廓誤差,但是不能有效地降低單軸的跟蹤誤差,提高單軸的跟蹤性能。

針對目前加工制造業(yè)多為零部件的重復(fù)性加工運動,本文設(shè)計了將單軸的迭代學習控制和雙軸的交叉耦合-迭代學習控制相結(jié)合的控制方法。在Matlab/Simulink下搭建仿真模型,仿真結(jié)果表明,利用該方法不僅能夠大幅降低單軸的跟蹤誤差,而且更能有效減小輪廓誤差,提高輪廓加工精度。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

在數(shù)控加工、機器人控制和高精度加工等領(lǐng)域,永磁同步電機都有著及其重要的應(yīng)用。因為永磁同步電機數(shù)學模型是一個非線性、強耦合的多變量系統(tǒng),所以不能完全適應(yīng)高動態(tài)性能的調(diào)速系統(tǒng)或者伺服系統(tǒng)。因此,建立永磁同步電機的數(shù)學模型并將其簡化是研究運動控制的首要問題[14]。

將建立在三相靜止坐標系上的永磁同步電機的數(shù)學模型通過坐標變換轉(zhuǎn)換到互相垂直的兩相坐標系上,這樣使得兩相繞組之間沒有磁的耦合,從而簡化永磁同步電動機的模型。經(jīng)過矢量轉(zhuǎn)換的永磁同步電機模型等效于直流電動機的模型,因而可以獲得與直流電動機相類似的特性[14]。采用矢量變換的永磁同步電機數(shù)學模型可以簡化為:

(1)

其中,kf為常值比例系數(shù);Js為電機動子的質(zhì)量;B為黏滯摩擦系數(shù)。

2 雙迭代學習-交叉耦合控制

2.1 交叉耦合控制CCC

CCC系統(tǒng)的主要目的是消除多軸運動系統(tǒng)的輪廓誤差,而不是減小單個軸的跟蹤誤差[6]。CCC系統(tǒng)框圖如圖1所示。其基本控制思想是:多軸運動系統(tǒng)的輪廓誤差由各單軸的跟蹤誤差經(jīng)過實時輪廓誤差估計模型計算得到,經(jīng)過交叉耦合控制器的作用產(chǎn)生一個新的控制信號,再經(jīng)過輪廓誤差分配模型補償?shù)礁鬏S以消除每個軸對其他軸的影響,從而達到減小運動系統(tǒng)輪廓誤差的目的。本文采用比例誤差分配方法進行誤差補償,這是由于該方法不僅可以控制不同軸的分配量,而且不會為了得到合適的分配參數(shù)而不斷修改權(quán)值增加計算量,同時也不會因為各軸之間誤差較大而造成補償失調(diào)[15]。

圖1 CCC系統(tǒng)框圖

圖1中,輪廓誤差ε的計算與交叉耦合增益系數(shù)Cx、Cy密切相關(guān)。因此,要計算運動系統(tǒng)的輪廓誤差ε,就必須先計算出交叉耦合增益系數(shù)Cx、Cy以及單軸的跟蹤誤差Ex、Ey。

根據(jù)文獻[6]的輪廓誤差建模方法可知,輪廓誤差的計算公式為:

ε=EyCy-ExCx

(2)

其中,Ex=xr-xs,Ey=yr-ys,xr、yr分別為x、y軸的期望軌跡,xs和ys分別為x、y軸的實際軌跡。

對于期望直線輪廓運動軌跡,可將其交叉耦合增益系數(shù)定義為:

Cx=sinθ,Cy=cosθ

(3)

對于期望圓形輪廓運動軌跡,其交叉耦合增益系數(shù)可定義為:

(4)

對于期望一般曲線輪廓運動軌跡,其交叉耦合增益系數(shù)可定義為:

(5)

其中,θ為某一時刻期望軌跡或者其切線方向與x軸的夾角;R為期望圓形輪廓運動軌跡的半徑;ρ為該時刻期望一般曲線輪廓運動軌跡的曲率半徑。

2.2 迭代學習控制ILC

ILC適用于具有某種重復(fù)運動特性的被控對象,可以實現(xiàn)有限時間區(qū)間上的完全跟蹤任務(wù)[16]。迭代學習的控制思想是:對于具有重復(fù)運動的控制系統(tǒng),每次控制都將前一次期望軌跡和實際軌跡的誤差信號作為修正控制輸入信號,以此產(chǎn)生一個新的控制信號,使得該重復(fù)運動系統(tǒng)在下一次執(zhí)行中有更好的輪廓跟蹤效果。ILC的系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 ILC系統(tǒng)框圖

假定一般開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出為:

yj(t)=Guj(t)+FL(t)

(6)

其中,G為被控對象;j為迭代次數(shù);FL(k)為外部施加信號;t為時間變量。則系統(tǒng)的比例-微分(proportion-differentiation,PD)型迭代學習律為:

uj+1(t)=uj(t)+kpej+1(t)+kdej(t+1)

(7)

其中,kp、kd為迭代學習系數(shù)。

2.3 雙迭代學習-交叉耦合控制

CCC方法能夠有效提高多軸運動系統(tǒng)的輪廓跟蹤能力,減小系統(tǒng)的輪廓誤差,但是,該方法也存在一定的問題。一方面,其改進運動系統(tǒng)的輪廓跟蹤能力與交叉耦合增益系數(shù)的精確程度密切相關(guān),對于曲線加工輪廓精確計算增益系數(shù)是十分困難的;另一方面,CCC只是減小了輪廓誤差,并沒有改進單軸的跟蹤誤差[17]。而ILC則是一種無模型綜合控制方法,對運動系統(tǒng)的數(shù)學模型和參數(shù)的精確度要求不嚴格,不需要很多的先驗知識和計算量,并且能夠有效提高跟蹤性能。

基于上述控制方法的特點,本文結(jié)合反饋控制、單軸的ILC、雙軸的CCC以及輪廓誤差的ILC,提出了一種雙迭代學習-交叉耦合控制(ILC&CCILC)的方法,其控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。圖3中,xr、yr分別為x、y軸的期望軌跡;Ex、Ey分別為x、y軸的期望軌跡和實際軌跡的誤差;xj和yj分別為x、y軸的實際軌跡;ε為雙軸運動系統(tǒng)的輪廓誤差。

圖3 ILC&CCILC系統(tǒng)框圖

輪廓誤差ε的迭代學習律為:

(8)

其中,kpε、kdε為輪廓誤差的學習率。

x軸、y軸的迭代學習律分別為:

ux,j+1=[ux+(kpx+kdx)Ex-Cx(kpε+kdε)ε]j,

uy,j+1=[ux+(kpy+kdy)Ey+Cy(kpε+kdε)ε]j

(9)

其中,kpx和kdx、kpy和kdy分別為x、y軸的迭代學習系數(shù)。

由于Ex(t)=xr(t)-xj(t),Ey(t)=yr(t)-yj(t),將(6)式代入(9)式,可得:

(10)

其中

M11=I-[(kpx+kdx)+Cx(kpε+kdε)Cx]Gx;

M12=Cx(kpε+kdε)CyGy;

M21=Cy(kpε+kdε)CxGx;

M22=I-[(kpy+kdy)+Cy(kpε+kdε)Cy]Gy。

(11)

其中,i∈[1,n];λ為譜半徑。由于max|λi|<1,收斂條件可以轉(zhuǎn)化為:

(12)

3 仿真驗證

為了驗證ILC&CCILC方法對改善雙軸運動系統(tǒng)的輪廓跟蹤能力和降低單軸的跟蹤誤差的有效性,在Matlab/Simulink環(huán)境下建立模型并仿真。本仿真實驗采用2臺不同參數(shù)的永磁同步電機,電機的參數(shù)如下:Jx、Jy為5.8、1.4 kg;Bx、By為244.319 2、82.017 6 N·s/m,kfx、kfy為10.979 4、0.852 6 N/A。

本文采用雙軸期望行切運動軌跡和螺旋線運動軌跡進行仿真驗證,分別進行雙軸交叉耦合-迭代學習控制(CCILC)仿真實驗、雙軸輪廓誤差的CCC與單軸的ILC相結(jié)合的控制(ILC&CCC)仿真實驗和ILC&CCILC仿真實驗,比較3種控制方法的單軸跟蹤誤差和輪廓誤差。不同的控制參數(shù)會使系統(tǒng)產(chǎn)生不同的誤差,為了達到最好的控制效果,控制算法中的各個控制參數(shù)需要針對不同的控制對象和運動軌跡通過調(diào)試來確定。

3.1 行切運動仿真

進行行切運動軌跡仿真實驗時,仿真時間t=6 s,采樣周期為2 ms,學習周期為6 s。位置控制器參數(shù)kppx、kppy為35、45；速度控制器參數(shù)設(shè)置如下:kvpx、kvpy為150、180,kvix、kviy為2、2.5。行切運動軌跡的ILC&CCILC的PD型迭代學習律參數(shù)設(shè)置見表1所列,雙軸期望行切運動軌跡如圖4所示。

表1 行切運動軌跡的PD型迭代學習控制器參數(shù)

圖4 雙軸期望行切運動軌跡

3種控制方法的行切運動軌跡仿真結(jié)果如圖5～8所示,其均方根誤差見表2所列。由表2可知，進行行切運動時,ILC&CCILC和ILC&CCC控制方法的單軸跟蹤誤差都明顯小于CCILC控制方法。ILC&CCILC 控制方法的x軸、y軸跟蹤誤差為ILC&CCC控制方法的79.88%、87.35%；ILC&CCILC 控制方法的輪廓誤差分別為ILC&CCC和CCILC控制方法的82.38%和53.72%。。

圖5 行切運動軌跡3種控制方法的x軸跟蹤誤差

圖6 行切運動軌跡3種控制方法的y軸跟蹤誤差

圖7 行切運動軌跡3種控制方法的輪廓誤差

圖8 行切運動軌跡的最大輪廓誤差絕對值與迭代次數(shù)的關(guān)系

3.2 螺旋線運動仿真

雙軸期望螺旋線運動軌跡如圖9所示。

圖9 雙軸期望螺旋線運動軌跡

螺旋線仿真實驗時,仿真時間t=8 s,采樣周期為2 ms,學習周期為8 s。取kppx、kppy為145、85；速度控制器參數(shù)設(shè)置如下:kvpx、kvpy為480、270,kvix、kviy為4.5、2。螺旋線軌跡方程為:x(t)=0.2tsin(4t),y(t)=0.2tcos(4t),t∈[0,8]。螺旋線運動軌跡的ILC&CCILC的PD型迭代學習律參數(shù)設(shè)置見表3所列。

表3 螺旋線運動軌跡的PD型迭代學習控制器參數(shù)

3種控制方法的螺旋線運動軌跡仿真結(jié)果如圖10～13所示。其中,圖10、圖11、圖12為第100次迭代學習時,單次執(zhí)行螺旋線軌跡時的單軸跟蹤誤差和輪廓誤差。

圖10 螺旋線運動軌跡3種控制方法的x軸跟蹤誤差

圖11 螺旋線運動軌跡3種控制方法的y軸跟蹤誤差

圖12 螺旋線運動軌跡3種控制方法的輪廓誤差

圖13 螺旋線運動軌跡最大輪廓誤差絕對值與迭代次數(shù)的關(guān)系

螺旋線運動軌跡3種控制方法的均方根誤差見表4所列。從表4可以看出,無論是單軸跟蹤誤差還是輪廓誤差,ILC&CCILC和ILC&CCC控制方法都明顯小于CCILC控制方法。ILC&CCILC控制方法的x軸、y軸跟蹤誤差為ILC&CCC控制方法的77.71%、78.25%,輪廓誤差為77.68%。

表4 螺旋線運動軌跡3種控制方法的均方根誤差 nm

從圖8可知,經(jīng)過約60次迭代,行切運動最大輪廓誤差絕對值可以減小到3×10-3mm左右;從圖13可知,經(jīng)過約50次的迭代,螺旋線運動軌跡最大輪廓誤差絕對值可以削減到10-3mm左右。根據(jù)仿真結(jié)果,不同的運動軌跡迭代次數(shù)會有所不同,但輪廓誤差均會在較少的迭代次數(shù)內(nèi)收斂到一個很小的穩(wěn)態(tài)值。目前隨著控制器硬件性能快速提高,迭代運算會在極短的時間內(nèi)運行完成,基本不會影響到算法的實際應(yīng)用。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于雙迭代學習-交叉耦合的雙軸誤差控制方法，仿真結(jié)果表明，無論是直線運動還是曲線運動,該方法都可以降低雙軸運動系統(tǒng)的單軸跟蹤誤差,提高單軸的跟蹤性能,同時也能增加各軸之間的匹配程度,顯著減小運動系統(tǒng)的輪廓誤差,提高輪廓加工精度。

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Dual-axiserrorcontrolbasedondouble-iterativelearningandcross-coupling

XU Wan, ZHENG Wei, YANG Wei, CAO Song, LUO Xi

(School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China)

In dual-axis high precision contour machining, the tracking errors of single axis load and the contour errors caused by the discordant motion of dual-axis have an influence on machining accuracy when processing parts. A dual-axis motion control strategy based on double-iterative learning and cross-coupling was proposed. The iterative learning control(ILC) of single axis and the dual-axis cross-coupled control(CCC) were combined with the ILC of contour errors. The tracking performance of single axis was improved by ILC of single axis, thus decreasing the tracking errors of single axis. The dual-axis CCC was used to increase the matching degree among axes, thus reducing the contour errors. The ILC of contour errors could improve the contour tracking performance. The simulation results indicate that the dual-axis motion control system based on double-iterative learning and cross-coupling can not only effectively decrease the tracking errors of single axis, but also significantly reduce the contour errors.

cross-coupling; iterative learning; contour error; tracking error; double-iterative learning and cross-coupling

2016-07-02；

2017-01-13

國家自然科學基金資助項目(51405144);湖北省自然科學基金面上資助項目(2014CF598)和湖北省科技支撐計劃資助項目(2014BAA006)

許 萬(1979-),男,湖北武漢人,博士,湖北工業(yè)大學副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.002

TP273. 22

A

1003-5060(2017)09-1158-07

(責任編輯 胡亞敏)