積分計算中的遞推式及其解法探討

(山東科技大學 山東 青島 266590)

積分計算中的遞推式及其解法探討

王雪建

(山東科技大學山東青島266590)

積分遞推式是探究積分求解問題中不可避免的問題。積分遞推式是積分求解問題中的一把鑰匙，對研究各類積分有著至關(guān)重要的作用。本文整理并歸納高等數(shù)學中常見遞推式，用分部積分法,拆項法等基本解法導(dǎo)出積分的遞推式。為了使讀者更加容易讀懂本篇文章，本文就積分遞推式的應(yīng)用加以說明,列舉經(jīng)典而實際的例題，使學生加深對遞推公式和解題方法的認識,開發(fā)學生解題能力和技巧,在學習和推論中體會高等數(shù)學的樂趣。

積分遞推式；不定積分；歐拉積分

一、緒論

(一)研究背景

積分遞推式問題歸根結(jié)底是積分的計算問題。積分問題是微分問題的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在實際應(yīng)用上，積分的作用遠遠不止這些，它一般被大量應(yīng)用于求和問題，常用的就是求曲邊三角形的面積。積分遞推式巧妙的解決了復(fù)雜的積分求和問題，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。積分問題最早起源于極限和微積分的問題。

(二)研究意義

在大學中的高等數(shù)學中，積分的遞推公式證明以及推導(dǎo)問題，和一般的計算題和應(yīng)用題相比，證明過程對基礎(chǔ)一般的學生來說是很困難的，本文的寫作目的也是利用分部積分，換元積分，拆項積分等方法推導(dǎo)出積分遞推式，解決每一類可能遇見的積分遞推式問題，使大家能夠快速的找準解決問題的辦法，更容易理解推導(dǎo)過程。積分遞推式的推導(dǎo)結(jié)果用來解決實際問題即積分計算問題。本文就積分遞推式的應(yīng)用加以說明。

(三)積分遞推式定義

積分遞推公式?jīng)]有明確定義，相對明確的定義出自于2007年，在高等教育出版社出版的《經(jīng)濟數(shù)學-微積分》第二版。提到一般函數(shù)遞推公式遞推法的基本定義：當被積的函數(shù)是一個簡單函數(shù)的高次冪函數(shù)時，我們可以恰當選擇u′、v′，通過一系列積分法則如分部積分拆項積分等方法，得到這個簡單函數(shù)的高次冪函數(shù)和低次冪函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，這個關(guān)系就是所謂的遞推公式，這個推導(dǎo)過程稱作遞推法。

二、(不)定積分中常見積分遞推式及解法探討

解決積分中遞推公式問題我們最多的采用分部積分法和換元積分法。其它方法本章會另外加以說明。

(一)分部積分法與積分遞推式

引理:對于用分布積分法解決積分問題有其必要的前提條件，分部積分法的公式和應(yīng)該滿足的條件：設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則

含ex型積分遞推式

被積函數(shù)滿足分部積分法條件，采用分部積分法：

=xnex-nIn-1,

In=xnex-nIn-1.

(2.1)

(二)換元積分法與積分遞推式

引理:對于換元積分法解決積分問題有其必要的前提條件，換元積分法的公式和應(yīng)該滿足的條件：

設(shè)1.f(x)在[a,b]上連續(xù)；2.φ(t)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，其中a=φ(α)，b=φ(β)，

a≤φ(t)≤bt∈[α,β]，且φ′(t)在(α,β)內(nèi)保持定號。則：

特殊三角函數(shù)積分

被積函數(shù)滿足換元積分條件，采用換元積分法，

令t=arcsinx，則x=sint

則有

=tnsint+ntn-1·cost-n(n-1)In-2

于是

(2.2)

三、解法分析

不論是分式函數(shù)還是三角函數(shù)亦或是一般簡單函數(shù)，如果被積函數(shù)的次數(shù)較高時，在用一般的方法求解中，求解過程會相當繁瑣，結(jié)果的形式也相當較復(fù)雜，并且不能保證每一部的正確性。本文的目的便是建立積分中可能遇見的各種函數(shù)的積分遞推公式，并總結(jié)其解法探討，使我們更加容易分析運用積分遞推式，從而用積分遞推公式求解各類積分問題。

本文我們在求解定積分和不定積分的遞推式過程中使用最多的方法是換元積分法，分部積分法，拆項法等。我們采用分部積分法求解各類不定積分的積分遞推式，但是當被積函數(shù)是一般三角函數(shù)時，我們一般用分部積分法，當被積函數(shù)是反正弦反余弦等函數(shù)時我們用換元積分會更加容易些。

四、小結(jié)

積分遞推式是一把鑰匙，一把輕松開啟積分計算大門的鑰匙。若采積分遞推關(guān)系的方法來解決積分計算問題,會大大減少計算時間。本文整理并歸納各個大學高等數(shù)學中關(guān)于不定積分中常見遞推公式的定義與常見類型。整理并歸納高等數(shù)學中常見遞推式，用分部積分法,拆項法等基本解法導(dǎo)出積分的遞推式。使學生加深對遞推公式和解題方法的認識,開發(fā)學生解題能力和技巧,在學習和推論中體會高等數(shù)學的樂趣。

[1]華東師大數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]李文榮.分析中的問題研究[M].北京:中國工人出版社,2001.

王雪建(1991-)，男，山東濱州，碩士研究生，山東科技大學，研究方向圖像處理。