“隱函數(shù)的求導(dǎo)”教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的運用

李霞

摘要： 本文首先對大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法的重要性做了簡要介紹，然后重點講解了微積分中幾種常見的數(shù)學(xué)思想方法，通過“隱函數(shù)的求導(dǎo)”具體教學(xué)過程中的教學(xué)案例，闡明數(shù)學(xué)思想方法的運用在微積分教學(xué)中的重要性。

Abstract： In this paper， the importance of mathematical thought in the process of mathematics teaching is introduced briefly， and then it highlights the calculus in several common mathematical thinking methods， and through the teaching process of "the derivation of implicit function"， clarifies the importance of using mathematics thinking method in calculus teaching.

關(guān)鍵詞： “隱函數(shù)的求導(dǎo)”教學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法；微積分

Key words： the teaching of “derivative of implicit function”；mathematical thought；calculus

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）32-0209-02

0 引言

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法不僅是高校素質(zhì)教育的重要途徑，也是大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識向數(shù)學(xué)觀念轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。任何知識都必然會形成一個系統(tǒng)的知識體系，最終在大腦中形成基本的觀念，數(shù)學(xué)亦是如此，然而要想將固有的、書面的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為科學(xué)的、內(nèi)在的數(shù)學(xué)觀念，在具體的課堂教學(xué)中，教師要想將數(shù)學(xué)知識真正地輸送到學(xué)生的腦子里，讓學(xué)生自己形成數(shù)學(xué)觀念，應(yīng)在講清基本數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，講究數(shù)學(xué)知識教學(xué)的方式方法，使學(xué)生在了解數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，形成自身的數(shù)學(xué)精神，進而實現(xiàn)我們的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育。

1 微積分中幾種常見的數(shù)學(xué)思想方法

1.1 函數(shù)思想

函數(shù)思想是學(xué)習微積分的一種策略性的指導(dǎo)方法，其研究重點是在于研究狀態(tài)到研究變化的過度，在函數(shù)思想運用中，一個變量會隨著另一個變量的變化而發(fā)生改變，它符合辯證唯物主義。微積分學(xué)科可以當做是以極限思想研究函數(shù)特性的學(xué)科，它和函數(shù)思想的本質(zhì)不謀而合，因此采用函數(shù)思想學(xué)習和解決微積分問題效果極佳。

1.2 極限思想

在數(shù)學(xué)中，極限思想指的是利用無限變化的趨勢來分析有限變化的思想，具體來說就是通過極限思想可將有限用無線變化描述出來，將精確用近似描述出來，因此，極限思想對于微積分問題的解決也具有重要意義。極限思想是高等數(shù)學(xué)的一個重要思想，它描述的是一種變化趨勢中無窮小的過程，并以此思想為基礎(chǔ)，逐漸引出了廣義積分、定積分、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)性等。事物存在的根本屬性是運動，且存在突變和漸變之分，極限思想屬于一種漸變思想，它通過研究變化趨勢來確定不變的問題，比如將極限思想應(yīng)用在求解曲邊梯形的面積時，可以直代曲，最終求出曲邊梯形面積，如圖1所示。

1.3 化歸思想

在微積分教學(xué)中，化歸思想的應(yīng)用指將較為抽象或較難的問題轉(zhuǎn)化為較容易的問題，或者將還未解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，最終實現(xiàn)問題的解決。由此可知，化歸思想的關(guān)鍵是簡化或者轉(zhuǎn)化，在具體的應(yīng)用化歸思想的過程中，首先應(yīng)該明確化歸對象，其次確立化歸目標，再者選擇化歸途徑。通常轉(zhuǎn)化問題可通過以下幾種方法：命題形式的轉(zhuǎn)化；復(fù)雜問題簡單化；引入輔助元素的轉(zhuǎn)化；抽象問題形象化；陌生問題熟悉化。

在解決問題時，化歸原則的一般模式如圖2所示。

1.4 類比思想

類比思想的應(yīng)用關(guān)鍵在于抓住事物之間的相似性，然后對比分析實際問題和類似問題，進而找到解決實際問題的突破口，事實上，高等數(shù)學(xué)中很多公式和定理都是通過類比得到的，且類比方法還能夠用于對相似問題的研究，有利于推廣數(shù)學(xué)研究。在高等數(shù)學(xué)中很多概念都是相互關(guān)聯(lián)的，必然存在一定的相似性。在微積分教學(xué)中可利用各個概念之間的相似性，先講解較為簡單的數(shù)學(xué)知識，然后層層推進，講解較為抽象的數(shù)學(xué)知識。

1.5 數(shù)形結(jié)合思想

在微積分教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的運用指的是針對數(shù)學(xué)問題，將數(shù)與形之間建立起相應(yīng)的聯(lián)系，然后通過觀察形的變化來分析數(shù)的變化，或者根據(jù)數(shù)的變化來判斷形的變化趨勢，從而找出對應(yīng)點，將問題解決掉。

1.6 數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言和方法對各種實際對象做出抽象或模仿而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實世界中原型進行具體構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，是問題解決的一個重要方面和類型，將考察的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過研究和解答數(shù)學(xué)模型，可將相關(guān)的實際問題解答出來。數(shù)學(xué)教育的一個重要目的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和實際應(yīng)用能力，使數(shù)學(xué)和實際應(yīng)用結(jié)合在一起，而不是將數(shù)學(xué)束之高閣。數(shù)學(xué)模型思想就是將各類實際問題轉(zhuǎn)化為可以解決的數(shù)學(xué)問題，然后利用數(shù)學(xué)思想和方法尋求問題的答案，從而解決實際問題。

1.7 整體與局部的思想

整體和部分是相對而言的，整體是由部分組成的，若整體不存在，那么部分也必然不存在，但部分雖然是整體的組成，有時也可以是一個整體。在數(shù)學(xué)中，可從問題的整體性質(zhì)入手，分析和改造問題的整體結(jié)構(gòu)，將整體結(jié)構(gòu)特征分析出來，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。簡而言之整體思想就是觀察和認識問題時從整體入手，從而解決問題。數(shù)學(xué)學(xué)習抽象且復(fù)雜，利用整體思想可將較為抽象和復(fù)雜的問題簡化，從整體入手解決問題，擁有大局意識，不拘泥常規(guī)，解決問題的效率將事半功倍。endprint

2 “隱函數(shù)的求導(dǎo)”教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的具體運用

下面就以“隱函數(shù)的求導(dǎo)”教學(xué)為例具體介紹數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的具體運用?！半[函數(shù)的求導(dǎo)”這一節(jié)的內(nèi)容相對來說理解起來比較困難，很多學(xué)生初次接觸都不太理解，那如果在講解過程中結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法來講解，可以大大提高學(xué)生的理解力，能更好地掌握本節(jié)內(nèi)容，并知道“隱函數(shù)的求導(dǎo)”和“復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)”間的關(guān)系。

例1：已知由ey+x2y=2x確定的y=y（x），求y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)。

分析：首先y=y（x）這個函數(shù)是隱函數(shù)，這題就是求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。我們先看題目中的函數(shù)ey，它相當于復(fù)合函數(shù)，因為指數(shù)y也是一個函數(shù)，但是與一般的復(fù)合函數(shù)又有些不一樣，這說明該函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的關(guān)聯(lián)性比較大，而復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)我們已經(jīng)學(xué)會，所以就將隱函數(shù)的求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，即：

隱函數(shù)的求導(dǎo)？圯復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

而這個思想就是數(shù)學(xué)化歸思想，通過這樣的轉(zhuǎn)化讓學(xué)生了解它們兩者間的關(guān)系：隱函數(shù)的求導(dǎo)實質(zhì)意義就是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，這樣就將未知的知識？圯已知的知識，學(xué)生理解起來稍微簡單些。再將這兩者的求導(dǎo)過程做比較，在類比中辨別它們的異同點，可以更直觀地掌握它的求導(dǎo)方法。

從上面求導(dǎo)的過程中可以看出，兩個函數(shù)的求導(dǎo)過程是一樣的，都運用了復(fù)合函數(shù)鏈式法則進行求導(dǎo)，只不過前一個函數(shù)y=y（x）是未知的函數(shù)，而后一個函數(shù)中的y=y（x）是已知的，這也是隱函數(shù)和顯函數(shù)的區(qū)別，但它們的求導(dǎo)都屬于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，這一過程就采用了類比的數(shù)學(xué)思想方法，更直觀地說明了問題，從而加深了學(xué)生的理解。而復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中復(fù)合函數(shù)的分解是求導(dǎo)的關(guān)鍵，上面的解題過程中均有所體現(xiàn)，而復(fù)合函數(shù)的分解就是利用整體換元的思想由外到內(nèi)，層層分解，最后分解成基本初等函數(shù)，那么這里就體現(xiàn)整體的數(shù)學(xué)思想，在講解過程中結(jié)合這些數(shù)學(xué)思想方法進行授課，可以幫助學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容，并能加深對概念的印象，并且可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)起它們想要探索其他數(shù)學(xué)思想方法的動力。

那么這題的整體解題過程如下：

方程兩邊對x求導(dǎo)得：

只要對函數(shù)ey求導(dǎo)過程理解的話，那么對整個方程左右兩邊的函數(shù)的求導(dǎo)就會迎刃而解。

下面再通過一個例題來加以鞏固，了解學(xué)生的掌握情況。

例2：求由方程x3y+xy3=5所確定的函數(shù)y=y（x）的導(dǎo)數(shù)。

這道題目讓學(xué)生來解，解題過程如下：

3x2y+x3y′+y3+x·3y2y′=0

（x3+3xy2）y′=-（3x2y+y3）

∴y′=-

這道題目又稍微復(fù)雜些，除了有隱函數(shù)的求導(dǎo)，還涉及到導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，學(xué)生在解題過程中要加以注意，否則兩者結(jié)合在一起，很容易混淆導(dǎo)致錯誤，但通過在講解過程中介紹數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生接收新知識就比較容易，從解題的過程就可以看出，與沒有講授數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)生相比教學(xué)效果明顯不同，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有效滲透數(shù)學(xué)思想方法是非常必要和重要的。

3 結(jié)論

盡管無法量化考核數(shù)學(xué)思想的教學(xué)效果，但是不可忽視數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要作用，它對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習能力和創(chuàng)新意識具有重要意義，數(shù)學(xué)思想方法能夠讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在意義和知識形成背景，有針對性地掌握和記憶相關(guān)數(shù)學(xué)知識，而不是死記硬背。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)充分意識到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，將其應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)及研究工作中，教學(xué)效果將事半功倍。

參考文獻：

[1]楊晶.微積分教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法的探究[J].高教學(xué)刊，2016，17.

[2]邵亞斌.例談數(shù)學(xué)思想方法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教學(xué)，2016，20.

[3]王嬌.淺談高數(shù)微積分思想及其在實踐中的應(yīng)用[J].科技視界，2015，14.endprint