例談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

張港

[摘 要] 導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念，幾乎貫穿于整個數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中。同時，導(dǎo)數(shù)在高中階段也有相應(yīng)的應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)，可以求解切線的方程、證明不等式、求解函數(shù)的極值和最值。因此，導(dǎo)數(shù)既是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，也是高等數(shù)學(xué)的核心概念。

[關(guān) 鍵 詞] 導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；實踐方程

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）13-0174-01

一、導(dǎo)數(shù)的來龍去脈

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)記為f′（x0），也記作y′|x=x0或■|x=x0，即f′（x0）=■■=■■.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)描述這個函數(shù)在這一點附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實數(shù)的話，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進行局部的線性逼近。例如，在運動學(xué)中，物體的位移對于時間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時速度。

二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程

例1 求曲線y=xex-1在點（1，1）處的切線方程。

解：因為y′=（xex-1）′=ex-1+xex-1，所以y=xex-1在點（1，1）處的導(dǎo)數(shù)是y′|x=1=e1-1+e1-1=2，故曲線y=xex-1點（1，1）處的切線斜率是2，故曲線y=xex-1在點（1，1）處的切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1.

評注：利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程的常規(guī)方法是：（1）求出所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）將曲線上某一點的橫坐標帶入導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)值；利用點斜式求出切線方程。

（二）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值

求函數(shù)的極值時，首先要判斷函數(shù)在特定區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值得正負情況，導(dǎo)數(shù)值為正，函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)值為負時，函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減，進而求出函數(shù)的極值情況。

例2 已知函數(shù)f（x）=（x2+bx+b）■（b∈R）.

（1）當b=4時，求f（x）的極值；

（2）若f（x）在區(qū)間（0，■）上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。

解：（1）當b=4時，f′（x）=■，由f′（x）=0得x=-2或x=0

所以當x∈（-∞，-2）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；當x∈（-2，0）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當x∈（0，■），f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，故f（x）在x=-2處取得極小值f（-2）=0，在x=0處取得極大值f（0）=4.

（2）f′（x）=■，易知當x∈（0，■）時，■<0，依題意當x∈（0，■）時，有5x+（3b-2）≤0，得b≤■。所以b的取值范圍是（-∞，■）。

評注：對于含有參數(shù)的問題，難度稍微大一點，需要深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，提高計算能力。要求函數(shù)的最值，要求出函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性，這可通過求導(dǎo)運算得到。具體步驟是：①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；②令導(dǎo)數(shù)為0，求出導(dǎo)數(shù)的零點；③分區(qū)間討論，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值，再結(jié)合端點值，得到函數(shù)的最值。

（三）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

不等式的證明是重點，同時也是難點。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時，首先，根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)；其次，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；再次，判斷導(dǎo)數(shù)的正負情況；最后，利用函數(shù)的最值證明不等式。

例3 已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a為常數(shù)）的圖像與y軸交與點A，曲線y=f（x）在點A的切線斜率為-1。

（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；

（2）證明：當x>0時，x2

解：（1）由f（x）=ex-ax，得f′（x）=ex-a.又f′（0）=1-a=-1，得a=2，所以f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2。令f′（x）=0，得x=ln2

當xln2時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增。

所以當證明：x=ln2 時，f（x）取得極小值，且極小值為

f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4，

f（x）無極大值.

（2）證明：令g（x）=ex-x2，則g′（x）=ex-2x由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=2-ln4>0，故g（x）在R上單調(diào)遞增，又g（0）=1>0，

所以當x>0時，g（x）>g（0）>0，即x2

評注：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，首先，要構(gòu)造函數(shù)；其次，對所構(gòu)造的函數(shù)進行求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性；再次，利用函數(shù)的單調(diào)性得到極值或最值，和0進行比較；最后，借助函數(shù)的最值，證出不等式。

總之，導(dǎo)數(shù)就是一個工具，利用這個工具，可以求曲線的切線方程，可以求最值和極值，可以證明不等式。在應(yīng)用過程中，要加強對基礎(chǔ)知識的理解和基本思想方法的掌握。在不等式的證明中，可以和其他的證明方法進行比較，全面深刻地理解導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)。

參考文獻：

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