時(shí)滯離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

康 衛(wèi)，陳 昊，郝云力

（1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041；2.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

時(shí)滯離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

康 衛(wèi)1，陳 昊2，郝云力1

（1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236041；2.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

本文主要研究了具有時(shí)變時(shí)滯的離散線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題。首先構(gòu)造一個(gè)新穎的李雅普諾夫泛函，然后結(jié)合離散形式的Wirtiner-based不等式和倒凸不等式技巧，給出了系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的線性矩陣不等式形式。最后，給出了一個(gè)數(shù)值實(shí)例來(lái)詮釋了本文的方法能夠減少系統(tǒng)的保守性以及通過(guò)數(shù)值仿真說(shuō)明結(jié)果的可行性。

時(shí)變時(shí)滯；有限時(shí)間穩(wěn)定；離散系統(tǒng)；線性矩陣不等式

時(shí)滯現(xiàn)象經(jīng)常存在于各類實(shí)際系統(tǒng)中，如生物系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。然而，由于時(shí)滯的存在可能導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定或者較差的性能。因此，對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的研究是非常有必要的，特別是對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究。于是，近年來(lái)許多研究者得到了很多富有成效的結(jié)論[1-3]。值得注意的是，大部分的研究成果都是關(guān)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定和控制問(wèn)題。但是，隨著信息科技的飛速發(fā)展，對(duì)于離散系統(tǒng)的研究尤為迫切，尤其是在計(jì)算機(jī)仿真和模擬計(jì)算過(guò)程中通常都需要把連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)。因此，關(guān)于離散時(shí)間系統(tǒng)的研究也引起了許多學(xué)者的注意，也取得的一些結(jié)果[3,4,8-11]。比如，文獻(xiàn)[3]研究了離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]研究了離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無(wú)源性問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]和[11]給出了具有實(shí)際應(yīng)用背景的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，分別是擺鐘系統(tǒng)和簡(jiǎn)易縱向飛行系統(tǒng)。

另一方面，在很多文獻(xiàn)中，在討論時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，大部分成果都是研究漸進(jìn)穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定。但是，有限時(shí)間穩(wěn)定在控制理論中也具有重要的作用。正因?yàn)榇?，也有一些學(xué)者研究系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定并且取得了很多成果[4-7]。比如，參考文獻(xiàn)[6-7]研究了離散時(shí)間系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。但是，目前仍然有很大的空間進(jìn)一步研究離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。鑒于此，本文主要研究離散時(shí)滯線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

本文考慮如下離散系統(tǒng)：

其中，x(k)是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,A=(aij)n×n,B=(bij)n×n是常數(shù)矩陣；時(shí)滯τ(k)滿足τm≤τ(k)≤τM；且τm,τM為正整數(shù)，ψ(i)是系統(tǒng)的初始條件。另外，定義η(i)=x(i)-x(i-1),ηT(i)η(i)≤δ,i∈{-τM,…,-1}。

接下來(lái)的引理和定義對(duì)研究時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定非常重要。

引理1[9]對(duì)于給的正定矩陣Z和離散時(shí)間變量x(i+)→Rn，當(dāng)h≥1時(shí)，下列不等式成立：

引理2[8]對(duì)任意的向量ξ1,ξ2，給定矩陣T,N,參數(shù)α＞0,β＞0且

定義1[7]對(duì)于給定的矩陣A＞0和k∈{1,2,…,N},離散系統(tǒng)（1）關(guān)于(c1,c2,A,N)有限時(shí)間穩(wěn)定，如果

2 主要結(jié)果

為方便起見(jiàn)，定義如下矩陣和變量：

定理1 給定參數(shù)α＞1，離散系統(tǒng)（1）關(guān)于(c1,c2,A,N)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，如果存在正定矩陣P,Q1,Q2,Z1,Z2和任意矩陣U1,U2,U3,M∈R2n×2n以及參數(shù)λi(i=1,2,…,6)，使得下列不等式成立：

沿著系統(tǒng)（1）計(jì)算差分算子得到：

根據(jù)引理1和引理2，可以得到：

其中，

另一方面，對(duì)于任意的矩陣U1,U2,U3，利用系統(tǒng)（1）方程可以得到：

因此，結(jié)合（5）到（14），可以得到結(jié)論

根據(jù)定理1，有

進(jìn)一步，可以推導(dǎo)出V(k) ＜αkV(0)。

另外，根據(jù)系統(tǒng)（1）的初始條件和構(gòu)造的李雅普諾夫泛函，有

從而，可以得到

又由于V(k) ＞λ1xT(k)Ax(k)，有xT(k)Ax(k)≤。故系統(tǒng)（1）是有限時(shí)間穩(wěn)定的。證畢。

3 數(shù)值實(shí)例

例1 考慮系統(tǒng)（1）模型具有如下的參數(shù)

在這個(gè)例題中當(dāng)τm=2時(shí)，根據(jù)定理1可以計(jì)算出系統(tǒng)的最大時(shí)滯是13，這個(gè)結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于參考文獻(xiàn)[6]和[7]的結(jié)果。另外，系統(tǒng)取不同的最小時(shí)滯的情況，具體如表1。

表1 τm取不同的值τM的最大上界

由表1，可以看出該結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于參考文獻(xiàn)[6,7]給出的結(jié)果，說(shuō)明了本文方法的優(yōu)越性。圖1還給出了系統(tǒng)當(dāng)初始值x(0)=[-1,1]的仿真圖形。由圖1可以看出系統(tǒng)（1）關(guān)于(2.1,80,I,80)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

圖1 例1所給系統(tǒng)當(dāng)初始值x(0)=[-1,1]的仿真圖形

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Finite-time stability for discrete-time system with time-varying delay

KANG Wei1，CHEN Hao2，HAO Yun-li1
(1.School of Information Engineering,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236041,China;2.School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,Huaibei Anhui230039,China)

In this paper,the problem of finite-time stability for discrete-time system with time-varying delay is investigated.By constructing a novel Lyapunov-Krasovskii functional and discrete Wirtinger-based inequality,reciprocally convex approach,the improved finite-time stability criteria are derived in form of linear matrix inequalities.Finally,a numerical example is given to show the less conservatism and effectiveness of the proposed method.

time-varying delay;finite-time stability;discrete-time system;linear matrix inequalities

O231，O193

A

1004-4329（2017）03-001-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-001-04

2017-03-12

安徽省高校自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2016A555,KJ2016A625）；安徽省中青年優(yōu)秀人才基金項(xiàng)目（gxyq2017158）；阜陽(yáng)師范學(xué)院校級(jí)研究項(xiàng)目（2016FSKJ07）資助。

康 衛(wèi)（1985- ），男，博士生，講師，研究方向：控制工程與應(yīng)用。