假設(shè)檢驗案例教學研究

宋繼革

一、引言

推斷統(tǒng)計中的一個重要內(nèi)容，就是假設(shè)檢驗。通過多年的教學實踐，發(fā)現(xiàn)學生對這部分教學內(nèi)容接受困難。甚至在畢業(yè)多年之后，還坦言，自己當時沒有搞清楚。通過思考，引入了一個“中大獎”判斷的例子，將假設(shè)檢驗的基本思想與方法串連起來，取得了非常好的教學效果。

二、案例的引入

假設(shè)檢驗是統(tǒng)計學一個非常重要的內(nèi)容，思想性強。學生們往往把假設(shè)檢驗這部分內(nèi)容當成數(shù)學來學，忽略了其中的部分主觀性。原假設(shè)與備擇假設(shè)、小概率原理、兩類錯誤、拒絕域與接受域、P值檢驗等概念本身的邏輯性與連貫性，需要一個背景簡單的案例串連起來，以便取得良好的教學效果。

1、“中大獎”問題的提出

如果，作為統(tǒng)計學教師的我，今天向大家宣布：我昨天買了一張彩票，中了500萬。你們信不信？信的同學有自己的理由：這是老師說的。不信的同學也有理由：可能性太小了。這就需要統(tǒng)計學意義上的假設(shè)檢驗。

2、原假設(shè)與備擇假設(shè)概念的引入

誰來做假設(shè)檢驗?zāi)?？是不信的同學，他們希望收集證據(jù)，以支持不信的觀點。這就是假設(shè)檢驗的主觀性，它是有立場的。假設(shè)檢驗不是純粹的數(shù)學。

原假設(shè)：研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)稱為原假設(shè)，記為 ；備擇假設(shè)：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，記為 。這里，原假設(shè)應(yīng)該是“老師說的是真話”，備擇假設(shè)應(yīng)該是“老師說的是假話”。 原假設(shè)與備擇假設(shè)是“非此即彼”的關(guān)系。

3、小概率原理與顯著性水平的引入

一個事件如果發(fā)生概率很小，那么它在一次試驗中是不可能發(fā)生的。通常把5%作為一個界限，發(fā)生概率在5%以下的事件，被稱為小概率事件。如果老師說的話，連5%的可能性都沒有，我們就有充分的理由拒絕相信。假設(shè)檢驗的核心思想就是，在肯定原假設(shè)的基礎(chǔ)上，是不是會引起小概率事件？如果發(fā)生了小概率事件，就拒絕原假設(shè)；如果沒有發(fā)生小概率事件，就不能拒絕原假設(shè)。這個5%，就是顯著性水平。我們可以設(shè)的更小，以增加說服力。

4、兩類錯誤

其實，我們無論是信，還是不信，都無法避免出錯。棄真錯誤：原假設(shè)為真，拒絕原假設(shè)。取偽錯誤：原假設(shè)為假，接受原假設(shè)。我們拒絕老師說的話，認為他不可能中大獎時，有可能犯棄真錯誤；我們接受老師說的話，認為他中了大獎，有可能犯取偽錯誤。一般認為，需要控制棄真錯誤的概率，使之不超過5%、1%等。

5、拒絕域與接受域、P值檢驗

基本概念了解之后，拒絕域與接受域、P值檢驗不過是具體操作過程，來進行判斷了。我們可以到彩票站收集樣本數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)中大獎的概率不足5%，甚至不足萬分之一。中大獎完全是一個小概率事件，拒絕原假設(shè)，理由是充分的，犯錯誤的概率很小，遠低于顯著性水平。

三、假設(shè)檢驗基本原理的實際應(yīng)用

1、問題分析

由統(tǒng)計資料得知，去年某地區(qū)新生兒平均體重為3190克，標準差80克?，F(xiàn)從今年新生兒中隨機抽取了100個，測得其平均體重為3210克，請問今年與上一年相比新生兒體重有無明顯差異？

20克的差異究竟意味著什么呢？兩種觀點。第一種觀點： 20克的差異不過是抽樣的隨機性引起的，也就是說抽取的100個新生兒中恰好有幾個超重的，拉高了平均值。不需要進一步調(diào)查分析。第二種觀點：20克的差異太大了，抽樣的隨機性不足以解釋這么大的差異。有必要進一步調(diào)查分析。所以，假設(shè)檢驗工作是由持第二種觀點的人做的。

2、原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定

原假設(shè)是研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)。進行假設(shè)檢驗的人，是持第二種觀點的人。所以，原假設(shè)應(yīng)該是：“今年與去年相比，新生兒體重沒什么變化”，備擇假設(shè)則與之相反，應(yīng)該是：“今年與去年相比，新生兒體重有明顯變化”。我們把它用數(shù)學語言來描述，就是： （這是一個雙側(cè)檢驗， 過大或是過小，都將導致推翻原假設(shè)）

3、檢驗統(tǒng)計量的確定

假設(shè)檢驗從邏輯上說，是一種反證法，在肯定原假設(shè)的基礎(chǔ)上，看看是不是能推導出一個小概率事件。如果說，“今年與去年相比，新生兒體重沒什么變化”是正確的話，那么根據(jù)中心極限定理， 。這就是我們構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量。樣本均值是一個均值為總體均值，方差為總體方差的N分之一倍。

4、拒絕域和接受域的確定

令 =0.05，即顯著性水平為5%。我們犯第一類錯誤的概率不超過5%， =±1.96。這樣，接受域和拒絕域就確定下來了。如果原假設(shè)是正確的，檢驗統(tǒng)計量落入接受域的概率為0.95。

5、計算檢驗統(tǒng)計量的值，作出推斷： ，落入拒絕域，我們有充分的理由拒絕原假設(shè)，20克的差異無法用抽樣隨機性解釋。結(jié)論：去年與今年相比，新生兒的平均體重確實有明顯差異（原因不屬于統(tǒng)計學的研究范圍）。如果原假設(shè)是正確的，導致一件真實發(fā)性的事件成為不可能的小概率事件。所以，我們拒絕原假設(shè)是有充分理由的。

（作者單位：滄州師范學院經(jīng)濟管理學院）