薛 梅
(江蘇省如皋市第二中學,江蘇 如皋 226575)
化繁為簡不走尋常路
——例談解析幾何中轉化與化歸思想的巧用
薛 梅
(江蘇省如皋市第二中學,江蘇 如皋 226575)
解析幾何是高考的重點、熱點和難點,因綜合性強、計算量大而讓很多考生望而生畏.本文將轉化與化歸思想巧妙融入解析幾何的解題中,提出三種方法,讓學生能夠化繁為簡不走尋常路,巧解題,少用時,多拿分.
轉化與化歸思想;高中數(shù)學;解析幾何
解析幾何是高中數(shù)學的重點,是高考命題的熱點,同時也是學生解題的難點.筆者結合平時教學,總結出轉化與化歸思想在解析幾何解題中的三種常用方法,讓學生解題時能化繁為簡不走尋常路.
我們研究解析幾何時常用代數(shù)方法來處理,但會遇到計算繁雜、費時耗力、容易出錯、難得結果等情況,這時我們引入轉化與化歸思想,進行“數(shù)”與“形”的有機轉化,巧妙地將解析幾何問題轉化成平面幾何問題去處理,就能使解題變得簡單上手.恰如著名數(shù)學家華羅庚所講“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休”.
例1Q為圓x2+y2=1上任意一點,已知兩個定點F1(-2,0)、F2(2,0),F(xiàn)1關于Q的對稱點是M,線段MF1中垂線與MF2相交于P點,求P點軌跡.
解析如果假設Q點坐標,代入圓方程進行計算則比較麻煩,如果運用數(shù)形結合思想,把問題轉化為幾何問題,此題就變得容易解決.
連接OQ,O是F1F2中點,O是MF1中點,所以OQ∥MF2,MF2=2即|PM-PF2|=2,因為P為線段MF1中垂線上一點,所以PF1=PM,所以|PF1-PF2|=2,又因為F1,F2為兩定點,且|F1F2|=4>2,由雙曲線定義易知P點軌跡是雙曲線.
“動靜結合”是道家研習武學的至高境界之一,而在高中數(shù)學解題中也常會用到一種與之類似的思想方法,叫做“動定結合”,通過同一對象在動與定角色間的不斷轉化,巧妙破解難題.就像在解析幾何中,動點和定點往往不是固定而是相對的,對于同一對象可根據(jù)解題需要變換動點與定點“角色”,特別是在處理含有多個動點問題時,可先將一個動點視為定點,得出相關結論后,再考慮其是動點的問題,這樣通過動點與定點的相互轉化,就能使問題找到解決辦法.
近年來,求解極值和取值范圍問題是高考解析幾何中的常見題型,這類題目知識面廣、綜合性強、新穎度高、難度也較大,因能很好地考查學生的數(shù)學思想和數(shù)學思維,一直受到命題專家的青睞.考生在處理這類題目時,如果抓不住關鍵而用普通方程就題解題,便會落入復雜計算的“陷阱”不能輕易“脫身”.其實,解答這類題目,我們應采用轉化與化歸思想,對題干進行適當?shù)募庸?、改造和變化,使之變得簡潔、明了和熟悉,將運算復雜的普通方程轉化成便于化簡的參數(shù)方程,從而省時省力事半功倍.
(1)求m的值和橢圓方程;
美國著名教育和心理學家布盧姆指出:數(shù)學轉化與化歸思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”.因此,高中數(shù)學教師在平時的教學中要注重滲透轉化與化歸思想,有意培養(yǎng)轉化與化歸思維,著力引導轉化與化歸解題,讓學生通過巧妙的變換,撥云見日,化繁為簡不走尋常路,找到答題的“終南捷徑”,從而使轉化與化歸思想成為解析幾何的破題之法、解題之術、拿分之招.
[1]趙雪妍.向量在解析幾何中的應用[J].中學生數(shù)理化(高中版·學研版),2011(05).
[2]袁輝.運用化歸思想,培養(yǎng)有效思維[J].數(shù)理化學習(高中版),2011(09).
G632
A
1008-0333(2017)22-0044-02
2017-06-01
薛梅(1981.11-),女,江蘇省南通市,大學本科,中學一級,從事數(shù)學學科教學與研究.
責任編輯:楊惠民]