探究一道高考三角形面積最值試題的解法

劉 剛 趙 毅

(北京市第十二中學高中部，北京 100071)

探究一道高考三角形面積最值試題的解法

劉 剛 趙 毅

(北京市第十二中學高中部，北京 100071)

2013年高考福建數(shù)學文科第21題考查了一道以等腰直角三角形為背景，求內(nèi)接三角形面積最值問題．試題既要立足圖形，分析圖形特征，又要借助代數(shù)運算求解，是一道典型的數(shù)形結(jié)合的題目．試題解法靈活，使不同學生有了更多的選擇，體現(xiàn)了新課標理念．

高考;等腰直角三角形;面積最值

課題項目：本文系北京市豐臺區(qū)“十三五”重點課題《新課程背景下高中數(shù)學競賽教學研究》(課題批準號：2016237-J)階段成果之一．

一、試題

圖1

(Ⅱ)若點N在線段MQ上,且∠MON=30°,問:當∠POM取何值時,ΔOMN的面積最小?并求出面積的最小值.

二、解法探究

(Ⅰ)略．(Ⅱ) 設(shè)∠POM=α,則0°≤α≤60°．具體解法如下：

分析1 在△OMP與△ONQ中分別利用正弦定理表示出OM,ON，然后借助兩邊及夾角的三角形面積公式表示出三角形的面積，運用兩角和公式及二倍角公式進行三角恒等變換，最后分析三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值．

解法1直接表示△OMN的面積

分析2 由于MN在等腰直角△POQ的斜邊PQ上運動，所以過點O作PQ的垂線段OR構(gòu)造直角△RON、△ROM，利用銳角三角函數(shù)分別表示RN，RM，在此基礎(chǔ)上就可以表示出MN，然后借助基本不等式進行求解，解題過程體現(xiàn)了分類與整合、數(shù)形結(jié)合的思想方法．

解法2化斜為直表示MN

過點O作OR⊥PQ于點R，則點R是PQ的中點，OR=2，設(shè)∠ROM=β．

圖2

(ⅰ)如圖2，當點M,N在點R兩側(cè)時， 則0°<β<30°，所以∠NOR=30°-β．在Rt△RON中，NR=2tan(30°-β)，在Rt△ROM中，MR=2tanβ，所以

MN=2[tan(300-β)+tanβ]

圖3

分析3 在△OMN中先利用面積表示出兩邊OM,ON之間的關(guān)系，然后利用余弦定理表示出MN，最后借助均值不等式進行求解．

解法3均值不等式法

分析4 本題是一道動態(tài)中的三角形面積最值問題，有不少學生都能直觀猜出當∠POM=30°時△OMN的面積最小，但是為什么最小，一些學生并沒有進行證明，造成了不必要的失分，當然跟不會證有關(guān)．實際上以∠POM=30°時的△OMN為基準，證明在其它位置時三角形的面積都大，即MN都長即可，證明過程中要結(jié)合正弦定理以及三角形性質(zhì)進行說明．大膽猜想，小心求證是解決動態(tài)問題的常用方法．

解法4先猜后證法

猜想α=30°時，△OMN的面積有最小．如圖4，設(shè)α=30°時的△OMN記為△OM′N′，此時OM′=ON′．

圖4

(ⅰ)當0°<α<30°時，設(shè)∠MOM′=β，則∠NON′=β．

(ⅱ)同理可得當30°<α<60°時，MN>M′N′．

[1]劉剛，趙毅．一道高考三角形試題的多解與多變 [J]．中學數(shù)學雜志，2016，5．

[2]劉剛 趙毅．一道習題的求解與拓展[J]．數(shù)理天地(高中版)，2016，9．

[3]劉剛．對一道競賽三角試題的探究與變式 [J]．數(shù)學通訊(上半月)，2017，5.

G632

A

1008-0333(2017)22-0025-02

劉剛(1975.4-)，男，大學本科，中學高級教師，從事數(shù)學教育.趙毅(1977.5-)，女，大學本科，中學高級教師,從事數(shù)學教育.

責任編輯：楊惠民]