含參不等式恒成立問題的解題技巧

潘素梅

(安徽省阜陽市臨泉第一中學(xué)，安徽 阜陽 236400)

含參不等式恒成立問題的解題技巧

潘素梅

(安徽省阜陽市臨泉第一中學(xué)，安徽 阜陽 236400)

由于含參不等式恒成立問題具有靈活多變，綜合性強(qiáng)和知識(shí)點(diǎn)涵蓋多等特點(diǎn)，一度成為學(xué)生們?nèi)〉酶叻值慕O腳石.含參不等式恒成立問題技巧性較強(qiáng)，因此，正確的解題思路和解題技巧，至關(guān)重要！

高中數(shù)學(xué)；恒成立問題；解題技巧

高中數(shù)學(xué)中，含參不等式恒成立問題多以函數(shù)、三角、解析幾何以及導(dǎo)數(shù)等作為載體，相互轉(zhuǎn)換，綜合性比較強(qiáng)，相應(yīng)的解法也是多變的，技巧性也相對比較強(qiáng).學(xué)生們只要學(xué)好這些方法與技巧，靈活運(yùn)用，就如同行云流水般，便可巧妙地化解含參不等式恒成立問題.因此解決含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵就在于函數(shù)、數(shù)形結(jié)合以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

一、變換主元，構(gòu)造函數(shù)

有時(shí)候，學(xué)生們在做題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一道題中有許多變換的元，想要試求去消元，結(jié)果無功而返.這時(shí)候?qū)W生們可以轉(zhuǎn)換思路，看看是否可以選取其中某一個(gè)變換的元作為主元，同時(shí)將其他變換的元就看作常量，這時(shí)候就可以簡化解題的過程，從而達(dá)到一種減元的效果，轉(zhuǎn)化成自己熟悉的題型，可謂是“柳暗花明又一村”！

例1 已知a∈[-1,1]，不等式x2+(a-4)x+4-2a?0恒成立，求x的取值范圍.

解析由題意，可以知道，該題是一道關(guān)于含參不等式恒成立的問題，仔細(xì)觀察，可以把不等式左邊看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記作f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，則f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立，故{f(-1)>0f(1)?0，代入化簡解得x<1或x>3，即x的取值范圍是(-,1)∪(3,+).

點(diǎn)撥在解含參不等式恒成立問題時(shí)，學(xué)生們要清晰地認(rèn)識(shí)參數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，要能輕松地將關(guān)于x的不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于參數(shù)的不等式.本題中關(guān)鍵點(diǎn)就是將不等式左邊轉(zhuǎn)換成關(guān)于a的一次函數(shù)，再根據(jù)條件，求解x的取值范圍.這兩者之間互相制約，互相依賴！

二、數(shù)形結(jié)合，巧求參數(shù)

在含參不等式恒成立問題的求解過程中，光憑借代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，有的時(shí)候只能解決其中的一些問題，還有的問題依靠代數(shù)的轉(zhuǎn)換可能就變得越來越復(fù)雜，這時(shí)候，如果學(xué)生們能畫出相對應(yīng)的圖象關(guān)系，反而會(huì)更巧妙的求解出答案，因此，“數(shù)形結(jié)合”思想，也是求含參不等式恒成立問題的一把金鑰匙！

綜上所述，存在實(shí)數(shù)k∈[3,+)使得關(guān)于x的不等式4-kx-≤0在x>0恒成立.

點(diǎn)撥本題中運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，更加清晰明了，直觀地看出了函數(shù)間的節(jié)點(diǎn)，就可以獲得對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，是解本道題的關(guān)鍵所在.因此，學(xué)生們在解含參不等式恒成立問題時(shí)，要準(zhǔn)確無誤地畫出函數(shù)的圖象關(guān)系，找到節(jié)點(diǎn)，方能給解題打開思路，同時(shí)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”可以簡化思路，提高題解效率.

三、構(gòu)造函數(shù)，巧求最值

在遇到求最值的問題時(shí)，學(xué)生們要想到構(gòu)造函數(shù)的思想，通過構(gòu)造出的新函數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系.構(gòu)造函數(shù)求最值一般有兩種方法：一是分離參數(shù)法；二是利用二次函數(shù)性質(zhì).

解析由題意易知，x2+2x+a?0恒成立，故a>-(x2+2x)恒成立，x∈[1,+).此時(shí)可以看出是二次函數(shù)，可以設(shè)g(x)=-(x2+2x)，整理之后可以知道g(x)在x∈[1,+)上單調(diào)遞減，故g(x)max=g(1)=-3，即a>-3，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈(-3,+).

點(diǎn)撥此題看似很短，可是涉及到的知道點(diǎn)很多，如果腦海里沒有構(gòu)造函數(shù)的想法，對于解這道題是比較難的.前面講到分離參數(shù)法，有這樣的結(jié)論：若函數(shù)f(x)有最小值，則a≤(<)f(x)恒成立?a≤(<)f(x)min，同理，若函數(shù)f(x)有最大值，則a≥(>)f(x)恒成立?a≥(>)f(x)max.

通過對含參不等式恒成立問題的分析，相信學(xué)生們受益匪淺，雖然含參不等式恒成立問題屬于比較難的一類題型，但是只要掌握相應(yīng)的解題技巧，靈活多變，就會(huì)不攻自破.當(dāng)然本文只是對涉及到此類題型解題技巧的些許講解，還有更多的解題方法與解題技巧，需要學(xué)生們在今后的學(xué)習(xí)中不斷地探索與總結(jié)！

[1]馬剛.含參不等式恒成立問題的求解策略[J].教育教學(xué)論壇,2012(12).

[2]樓建忠.問題驅(qū)動(dòng) 引領(lǐng)探究——對“含參不等式恒成立問題”教學(xué)反思[J].中國校外教育,2015(9).

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1008-0333(2017)22-0056-02

2017-05-01

潘素梅(1982.11-)，女，安徽臨泉人，中學(xué)一級(jí)教師，碩士學(xué)歷，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育.

責(zé)任編輯：楊惠民]