三角函數(shù)最值問題解題方法探究

張成中

(云南省富源縣第四中學(xué),云南 曲靖 655503)

三角函數(shù)最值問題解題方法探究

張成中

(云南省富源縣第四中學(xué),云南 曲靖 655503)

本文主要介紹了配方法、單調(diào)性法和換元法解決三角函數(shù)最值問題.

三角函數(shù)最值；配方；單調(diào)性；換元

三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，具有很強(qiáng)的靈活性，其一直也是高考的重點(diǎn)，所以學(xué)生在高考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)于這類問題應(yīng)打起十二分的注意，掌握多種方法解決此類問題非常有必要.

一、配方法求三角函數(shù)最值

通過配方法解決三角函數(shù)問題是高考中的重要考點(diǎn)，通過對(duì)所求的三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為完全平方式，進(jìn)而求出函數(shù)最值.配方法是求三角函數(shù)最值的重要方法，這種方法思路清晰，簡(jiǎn)潔明了.下面的例子就是通過配方法求三角函數(shù)最值的典型例題.

例1 求三角函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值.

分析此題中的三角函數(shù)是由sinx和cos2x組成，通過函數(shù)圖象或者求導(dǎo)都無(wú)法得到函數(shù)的最值.但是通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)求最值，那么題目自然迎刃而解.

評(píng)注本題如果用常規(guī)的求導(dǎo)法求解，求解過程會(huì)非常繁瑣，此時(shí)明智的做法是通過恒等變形，將原三角函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為完全平方式，以熟悉的函數(shù)為載體來求最值，可以使得解題過程大大簡(jiǎn)化，方便求解.

二、單調(diào)性法求三角函數(shù)最值

通過單調(diào)性法來求函數(shù)最值是一種普遍方法.這種方法在求三角函數(shù)最值時(shí)也同樣適用，通過判斷三角函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，可以很快地求出函數(shù)最值.

評(píng)注對(duì)于本題，不能被題目中的函數(shù)形式所迷惑而使用基本不等式法，應(yīng)該認(rèn)真審題，避開陷阱，采用單調(diào)性法來解答此題.

三、換元法求三角函數(shù)最值

通過換元法求三角函數(shù)最值是高考中的熱點(diǎn)，對(duì)于此類三角函數(shù)問題，一般采用局部換元的方法，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)，再通過求導(dǎo)法求出函數(shù)最值.這種方法思路清晰，自然便捷，是一種不可多得的好方法.

分析本題中的函數(shù)含有兩個(gè)三角函數(shù)乘積，直接求解非常麻煩.但是若能通過換元法，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出未知函數(shù)的最大值.

綜上所述，本文通過多種方法研究了三角函數(shù)最值問題，學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)該多下功夫，只有對(duì)這些方法全部熟練掌握，才能打贏高考復(fù)習(xí)攻堅(jiān)戰(zhàn)，在高考中遇到三角函數(shù)的最值問題才能胸有成竹、得心應(yīng)手.

[1]胡進(jìn).基于不等式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化,2014(08).

[2]張志剛.探討三角函數(shù)解題思路與方法[J].理科考試研究,2014(02).

G632

A

1008-0333(2017)22-0040-02

張成中(1981.03-)，男，云南富源，中學(xué)一級(jí)，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

責(zé)任編輯：楊惠民]