構(gòu)造法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

黃水山

(福建泉州第五中學(xué)， 福建 泉州 362000)

構(gòu)造法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

黃水山

(福建泉州第五中學(xué)， 福建 泉州 362000)

構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問(wèn)題得以解決.構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒(méi)有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體的問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法.其基本的方法是：借用一類(lèi)問(wèn)題的性質(zhì)，來(lái)研究另一類(lèi)問(wèn)題的思維方法.

構(gòu)造法；初等數(shù)學(xué)

在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助.本文就從以下幾點(diǎn)談?wù)勗跀?shù)學(xué)解題過(guò)程中如何使用構(gòu)造法.

一、構(gòu)造方程

(tanα-tanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ).

證明構(gòu)造方程

(tanγ-2tanα)x2-2(tanα-tanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0(*).

(1)tanγ-2tanα=0時(shí)，

∵(tanα-tanβ)2≥0，

∴不等式成立．

(2)tanγ-2tanα≠0時(shí)

當(dāng)x=-1時(shí)，

(tanγ-2tanα)+2(tanα-tanβ)+(2tanβ-tanγ)=0，

說(shuō)明形如：

B2-AC≥0(或≤0)型不等式的證明可嘗試用構(gòu)造二次方程的方法來(lái)解.

例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0求證：x，y，z成等差數(shù)列.

分析拿到題目感到無(wú)從下手，思路受阻.但我們細(xì)看，題設(shè)條件酷似一元二次方程根的判別式.這里a=x-y，b=z-x，c=y-z，于是可構(gòu)造方程(x-y)u2+(z-x)u+(y-z)=0.由已知條件可知方程有兩個(gè)相等根u1=u2.又顯然u=1是方程的根，故u1u2=1.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有即z-y=y-x，x+z=2y，∴x，y，z成等差數(shù)列.

遇到較為復(fù)雜的方程組時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生會(huì)把難的先簡(jiǎn)單化，可以構(gòu)造出我們很熟悉的方程.

二、構(gòu)造數(shù)列

例3 設(shè)a1,a2,…，an(n≥2)都大于-1且同號(hào)，求證：

(1+a1)(1+a2)…(1+an)>1+a1+a2+…+an.

證明構(gòu)造數(shù)列：xn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)-(1+a1+a2+…+an)，

則xn+1-xn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)an+1-an+1

=an+1[(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1](n≥2).

若ai>0(i=1,2,…,n+1)，則易知xn+1-xn>0；

若-1

又-10.

因此，對(duì)一切n≥2,有xn+1>xn.但

x2=(1+a1)(1+a2)-1-a1-a2=a1a2>0,

所以，對(duì)一切n≥2,xn>x2>0,從而原不等式成立.

說(shuō)明涉及與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明時(shí)，可以用數(shù)學(xué)歸納法，但若用構(gòu)造遞增(或遞減)數(shù)列的方法，有時(shí)會(huì)更簡(jiǎn)便一些.

三、構(gòu)造圖形

例4 已知銳角α,β,γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，

證明如右圖所示，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，其長(zhǎng)，高，寬分別為a,b,c,其一對(duì)角線B1D與棱BB1,A1B1,B1C1的夾角分別為α,β,γ，

∴cotα·cotβ·cotγ

∴cotα·cotβ·cotγ

說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的思想非常重要，在用數(shù)形結(jié)合時(shí)要記住一些常有的結(jié)論.

例2 解不等式||x-5|-|x+3||<6.

分析對(duì)于這類(lèi)題目的一般解法是分區(qū)間求解，這是比較繁雜的.觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線，求解更簡(jiǎn)捷.

解設(shè)F(-3，0)，F(xiàn)(5，0)，則|F1F2|=8，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為O(1，0)，又設(shè)點(diǎn)P(x，0).當(dāng)x的值滿足不等式條件時(shí)，P點(diǎn)在雙曲線的外部，

∴1-3

說(shuō)明運(yùn)用構(gòu)造法就可以避免了煩雜的分類(lèi)討論，使解題方便得多了，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái).

四、構(gòu)造函數(shù)

例1 已知0

證明將x視為變量，y、z視為常量，將不等式左邊整理得：x(1-y-z)+z+y(1-z).

構(gòu)造函數(shù)：

f(x)=x(1-y-z)+z+y(1-z),x∈(0,1)，

由題意知，現(xiàn)只需證：f(x)<1.

∵f(0)=z+y(1-z)

f(1)=1-yz<1，

∴當(dāng)0

即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

說(shuō)明對(duì)于多變量的不等式證明，方法較難把握.這時(shí)可固定某些變量，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到解題的目的.

易證f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以有

說(shuō)明構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使原不等式(或經(jīng)變形后)的左右兩邊具備函數(shù)的特性(如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性等)，再利用這些性質(zhì)就可以證明不等式.

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各部分之間有著緊密的聯(lián)系，構(gòu)造法作為一個(gè)數(shù)學(xué)方法，需要勤于觀察，善于聯(lián)想，勇于探索，大膽設(shè)計(jì)，才能在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí)，培養(yǎng)自己的創(chuàng)造能力.通過(guò)上面幾個(gè)例題，可見(jiàn)其在解題中的重要性，作為培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的重要工具，在將應(yīng)試教育轉(zhuǎn)向素質(zhì)教育的今天，有著光明的發(fā)展前途.

[1]于慶.淺析“構(gòu)造法”在初等數(shù)論中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(21):69.

[2]肖鋒.巧用定積分構(gòu)造和證明的一系列不等式[J].青少年日記：教育教學(xué)研究,2015(11):118-119.

G632

A

1008-0333(2017)22-0035-02

黃水山(1974.4-)，男，福建泉州人，中學(xué)高級(jí)教師，本科，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

責(zé)任編輯：楊惠民]