利用主元法處理函數(shù)中的不等關(guān)系的有效途徑

蔡自力

(廣東省韶關(guān)市廣東北江中學(xué)，廣東 韶關(guān) 512026)

利用主元法處理函數(shù)中的不等關(guān)系的有效途徑

蔡自力

(廣東省韶關(guān)市廣東北江中學(xué)，廣東 韶關(guān) 512026)

構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的的性質(zhì)，進(jìn)而解證不等式是近幾年全國(guó)高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)與難點(diǎn).這類問題往往涉及到多個(gè)變量和參數(shù)，我們可以嘗試選擇其中一個(gè)字母作為研究的主要對(duì)象看作是主元，而將其余各字母視作參數(shù)或常量，然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)可以找到解題的思路．本文擬從幾個(gè)教學(xué)實(shí)例出發(fā)，探討如何利用主元法處理函數(shù)中的不等關(guān)系的有效途徑.

主元法 ；不等關(guān)系；途徑

構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而解證不等式是近幾年全國(guó)高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)與難點(diǎn).這類問題往往涉及到多個(gè)變量和參數(shù)，如何構(gòu)造易于求導(dǎo)和求最值的函數(shù)是決定成敗的關(guān)鍵.

事實(shí)上，這類問題可選擇其中一個(gè)字母作為研究的主要對(duì)象看作是主元，而將其余各字母視作參數(shù)或常量，然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)可以找到解題的思路．本文擬從幾個(gè)教學(xué)實(shí)例出發(fā)，探討如何利用主元法處理函數(shù)中的不等關(guān)系的有效途徑.

一、用變量為主元，替換參數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)

處理含參數(shù)的函數(shù)不等式相關(guān)問題，通過審題，可嘗試找到參數(shù)與變量之間的關(guān)系式，實(shí)施換元，通過構(gòu)造新函數(shù)使問題獲解.

例1 (2009全國(guó)卷Ⅱ理第22題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(1+x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1

(Ⅰ)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調(diào)性；

分析在第(Ⅱ)問中，直接計(jì)算f(x2)是很難證出結(jié)果的，若能想到用x2表示a實(shí)施換元，則問題可迎刃而解.

⑴當(dāng)x∈(-1,x1)時(shí)，f′(x)>0,∴f(x)在(-1,x1)內(nèi)為增函數(shù)；

⑵當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f′(x)<0,∴f(x)在(x1,x2)內(nèi)為減函數(shù)；

⑶當(dāng)x∈(x2,+)時(shí)，f′(x)>0,∴f(x)在(x2,+)內(nèi)為增函數(shù).

則h′(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x).

⑵當(dāng)x∈(0,+)時(shí)，h′(x)<0，∴h(x)在(0,+)單調(diào)遞減.

二、多變量問題，可將一個(gè)變量視為主元，構(gòu)造輔助函數(shù)

例2 函數(shù)f(x)=aln(x2+1)+bx,g(x)=bx2+2ax+b,(a>0,b>0).已知方程g(x)=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根x1,x2.

(1)求證：x1+x2<-2;

(2)若實(shí)數(shù)λ滿足等式f(x1)+f(x2)+3a-λb=0，求λ的取值范圍.

分析(1)用判別式和韋達(dá)定理易解

(2)由第(1)問知，x1+x2,x1x2均可用a,b來表示，故可考慮用a,b為主元.

解(1)由g(x)=bx2+2ax+b=0方程有兩個(gè)不同的非零實(shí)根，

(2)由(1)知x1x2=1.

因此λ>2ln2+1.

例3 (湖南省2017屆十三校聯(lián)考第一次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷第22題第(3)問)

已知函數(shù)f(x)=x2-2x+alnx(a>0).若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2(x1

令f′(x)=0?2x2-2x+a=0.又∵函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2(x1

∴2x2-2x+a=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1、x2(x1

例4 (四川省資陽市2017年高考模擬考試數(shù)學(xué)理第22題第2問)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax，對(duì)任意x2≥e,x1>0，存在x∈(-1,+)，使>成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)p(x)=-f(x)-a，即p(x)=-ln(x+1)-ax-a，

當(dāng)a≥0時(shí)，p(x)為(0，+)上的減函數(shù)，且其值域?yàn)镽，可知符合題意．

三、當(dāng)參數(shù)與變量均給出取值范圍時(shí)，可考慮將參數(shù)視為主元，嘗試變更主元法

(Ⅰ)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性；

分析第(Ⅱ)問含有a,λ,x1,x2四個(gè)字母，據(jù)題意需要建立關(guān)于λ的函數(shù)，因含有絕對(duì)值，故先去絕對(duì)值符號(hào)，又實(shí)數(shù)a有范圍，不妨嘗試將a設(shè)為主元，再設(shè)法將λ與x進(jìn)行變量分離.

解(Ⅰ)過程略，結(jié)論為

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)和(2a+1，+)上分別單調(diào)遞增，在(1，2a+1)上單調(diào)遞減．

則g(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，

化簡(jiǎn)得x2-(2a+2)x2+(2a+1)x+λ≥0，

所以只需(2x-2x2)2+x3-2x2+x+λ≥0，

即x3-6x2+5x+λ≥0對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立．令h(x)=x3-6x2+5x+λ，x∈[1，2]，

顯然，h′(x)=3x2-12x+5<0在[1，2]上恒成立，

所以，函數(shù)h(x)在[1，2]上為減函數(shù)，

所以，只需h(x)min=8-24+10+λ≥0，得λ≥6.

所以λ的取值范圍是[6，+)．

眾所周知，在處理函數(shù)不等式時(shí)，經(jīng)常會(huì)受到多變量的困擾，只要我們認(rèn)真審題，選準(zhǔn)其中某個(gè)變?cè)獮橹髟?，逐步消元，多次?gòu)造函數(shù)層層推進(jìn)，就可以達(dá)到排除字母間的干擾，簡(jiǎn)化問題結(jié)構(gòu)最終使問題獲解的目的.

[1]張奠宙,過伯祥.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海:上海教育出版社,1996.

[2]陶華君.構(gòu)造函數(shù)在解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011.

[3]劉良華.數(shù)學(xué)構(gòu)造思想方法的探索與實(shí)踐[D].華中師范大學(xué),2004.

G632

A

1008-0333(2017)22-0015-03

2017-06-01

蔡自力(1962.9-)，男，漢族，湖南省懷化人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，本科學(xué)士，特級(jí)教師，主要研究高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).

責(zé)任編輯：楊惠民]