極限運(yùn)算解題技巧解析

李慧敏+紀(jì)素娟

摘要：《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容是函數(shù)的微積分，極限思想恰是研究函數(shù)微積分的重要方法。對學(xué)生而言，學(xué)好極限、掌握極限運(yùn)算的類型和技巧對其學(xué)好微積分至關(guān)重要。本文就極限運(yùn)算常見的集中類型進(jìn)行匯總、分析，在此基礎(chǔ)上提出解題技巧，幫助學(xué)生提高做題速度和準(zhǔn)確率。

關(guān)鍵詞：極限；運(yùn)算；分類；解析

很多實(shí)際問題的精確解，僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是求不出來的，必須通過分析一個(gè)無限變化過程的變化趨勢才能求得，由此產(chǎn)生了極限概念和極限方法。極限理論是《高等數(shù)學(xué)》的基礎(chǔ)，也是這門課程的基本推理工具，是研究函數(shù)微積分的重要方法，將貫穿高等數(shù)學(xué)的始終。學(xué)生掌握極限及連續(xù)的基本概念，并能熟練運(yùn)用它們的一些主要性質(zhì)，對學(xué)好微積分至關(guān)重要。

任教10年來，筆者發(fā)現(xiàn)極限的概念及運(yùn)算對各屆學(xué)生來說（包括本、?？茖W(xué)生），都是一個(gè)難點(diǎn)。首先，極限思想不好理解，其次，函數(shù)類型多變，極限方法又很多，學(xué)生不知如何下手。本文從極限思想的引入出發(fā)，總結(jié)了極限運(yùn)算的常見題型，并指出解決方法，希望能給同行的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供有益的參考。

1 極限思想的引入

要想讓學(xué)生樹立極限思想，理解極限的概念，必須以生活中他們所熟知或者容易理解的現(xiàn)象為引例，讓他們感知極限。筆者認(rèn)為，可引用我國古代數(shù)學(xué)史上的一些極限思想：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法——割圓術(shù)，就是用極限思想研究幾何問題。他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率的結(jié)果，并提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作。《莊子，天下篇》中提到“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！苯榻B這些歷史知識(shí)，一方面，可以增強(qiáng)學(xué)生的民族榮耀感，另一方面，學(xué)生在了解數(shù)學(xué)史的過程中，腦海中已經(jīng)建立了數(shù)學(xué)思想的雛形，達(dá)到深入淺出的效果。

2 一元函數(shù)極限運(yùn)算的分類和解題技巧

學(xué)生有了極限思想后，任課教師順勢給出極限的定義，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢有關(guān)，即自變量不同的變化趨勢下，函數(shù)的極限也不盡相同。實(shí)踐證明，如此安排教學(xué)，學(xué)生易于接受和理解。掌握函數(shù)極限的定義后，引入函數(shù)的極限運(yùn)算法則。運(yùn)算法則告訴我們，在自變量的同一變化過程中，如果各函數(shù)的極限存在，則四則運(yùn)算和極限運(yùn)算可交換次序，即，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于各函數(shù)極限的和、差、積、商（分母極限不為零），常數(shù)可提出不參與運(yùn)算。筆者在教學(xué)過程中總結(jié)了函數(shù)極限運(yùn)算的心得，其中心思想是：先判斷類型，然后對癥下藥。第一類為多項(xiàng)式函數(shù)求極限，根據(jù)運(yùn)算法則可得到極限值等于函數(shù)值的結(jié)論；第二類為多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的分式求極限，該類題目又分為五種類型，不同的類型有不同的解決方法；首先，判斷類型的方法是：趨向于幾，就把該數(shù)字帶入分子、分母，若都是非零常數(shù)，則為型，根據(jù)運(yùn)算法則該極限值等于分子、分母極限的商，數(shù)值上等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值；若分子為零，則為型，由運(yùn)算法則知該極限為零；若分母為零，則為型，因分母極限為零，所以運(yùn)算法則失效，但根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系，可知該極限為無窮大，即極限不存在；若分子、分母同時(shí)為零，則為型，可通過因式分解或有理化將零因子消掉，就可化為多項(xiàng)式或型，即可解決。另也可用洛必達(dá)法則，先對分子、分母求導(dǎo)，然后再求極限；若分子、分母都無限增大，則為型，分子、分母同除以的最高次數(shù)，其中若，可用重要結(jié)論。對于型和型，在學(xué)過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用后，可用洛必達(dá)法則，即分子、分母先求導(dǎo)然后再求極限。第三類是被求極限的函數(shù)形式和兩個(gè)重要極限的形式類似，則利用兩個(gè)重要極限解題。以上思想可用下圖說明：

另外，在極限運(yùn)算過程中，可適當(dāng)使用等價(jià)無窮小代換：

3多元函數(shù)極限的引申與推廣

對于多元函數(shù)，有命題：一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以，要求多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)處的極限，直接求函數(shù)值即可。若不在定義域中，可嘗試用變量代換的方法，將多元函數(shù)的極限問題，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題。

例： 求

解：

原式=

即轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題

由重要極限可知，該極限為1.

極限運(yùn)算的題目類型多，方法也很多，如何根據(jù)題目的特征準(zhǔn)確、快速的找到解題方法，是困擾學(xué)生的一大問題。本文所總結(jié)的類型和解題技巧是筆者教學(xué)和實(shí)踐中的一些心得，初學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中，可參考本文先判斷出極限題目的類型，然后根據(jù)本文所給的解題思路和技巧，輕松、快速、準(zhǔn)確地得到答案，對其提高極限運(yùn)算的能力和學(xué)好微積分有很大幫助，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]吳麗華，李彪.高等數(shù)學(xué)第一版[M].吉林大學(xué)出版社，2010，4

[2]于海波，齊振東.高等數(shù)學(xué)第一版[M].新華出版社，2008，6

[3]盛耀祥.高等數(shù)學(xué)第二版[M].高等教育出版社，2003，1